第一章行列式
第一章 行列式
第一节排列及其逆序数 引言 排列与逆序数
第一节 排列及其逆序数 ❖ 引言 ❖ 排列与逆序数
引言 我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程 组 a,x, +b,x 2 (1) axI+b2X2=c2 a 当两个方程的未知数系数不成比例,即a≠b时, 我们有 b a, c an c X (2) a a a 为方便记忆,我们引入二阶行列式
一、引言 我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程 组 + = + = 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a x b x c a x b x c （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2 1 2 1 b b a a 时， 我们有 . a b a b a c a c , x a b a b b c b c x 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 − − = − − = （2） 为方便记忆，我们引入二阶行列式
ad-bC (3) 则(2)可以表示为 a,c a C (4) a a a a 即当(1)的系数行列式/b≠0时,(1)的解可以 a 2 用二阶行列式表示为(4)
ad bc b d a c = − （3） 则（2）可以表示为 . a b a b a c a c , x a b a b c b c b x 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 = = （4） 即当（1）的系数行列式 0 a b a b 2 2 1 1 时，（1）的解可以 用二阶行列式表示为（4）
用高斯消元法,对三元一次线性方程组 ax,tax tax= X1 +axtax,=b (5) 2 a31x1+a2x2+a3x3=b2 我们也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式 C2!C22C23=C1C2C33+c12C23C31+c13C2C32 (6) 则当(5)的系数行列式
用高斯消元法，对三元一次线性方程组 , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 + + = + + = + + = a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b （5） 我们也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式 c c c c c c c c c , c c c c c c c c c c c c c c c c c c 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 − − − = + + （6） 则当（5）的系数行列式
a ≠0 (7) a 32a a 时,方程组(5)的解可以用三阶行列式表示为 a a 23 a 21 a a a a (8) al a12 a a a 11 12 a a an a a a a 对于n元一次方程组,是否也有类似于上述(4)
0 a a a a a a a a a D 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = （7） 时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为 . a a a a a a a a a a a b a a b a a b , x a a a a a a a a a a b a a b a a b a , x a a a a a a a a a b a a b a a b a a x 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 3 3 2 1 2 2 3 1 1 1 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 = = = （8） 对于n元一次方程组，是否也有类似于上述（4）
(8)的结果呢?这就是本章要回答的问题。为解决 这一问题,我们要引入n阶行列式的概念。作为定义n 阶行列式的预备知识,下面我们将简单介绍排列的逆 序数的概念。 排列与逆序数 、排列与逆序数的定义 把n个不同元素排成一列,称为一个全排列或简 称排列( permutation)。用Pn表示n个元素所成全 排列的个数,则Pn=n!。这门课程中我们关心的主 要是一个全排列里面元素的排列次序。在这n!个不
（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题 。为解决 这一问题，我们要引入n阶行列式的概念。作为定义n 阶行列式的预备知识，下面我们将简单介绍排列的逆 序数的概念。 二、排列与逆序数 1、排列与逆序数的定义 把n个不同元素排成一列，称为一个全排列或简 称排列（permutation）。用Pn表示n个元素所成全 排列的个数，则Pn＝n！。这门课程中我们关心的主 要是一个全排列里面元素的排列次序。 在这n！个不
同的全排列中,我们规定某一个排列的次序为标准 顺序。对自然数,我们规定从小到大的排列顺序为 标准顺序。 定义1在一个排列中,当其中某两个元素的次 序与标准顺序中这两个元素的次序不一致时,我们 称这两个元素产生了一个逆序 an inverse- order) 个排列中所有的逆序数的总数称为这个排列的逆 序数( number of the inverse- orders)。 例如,排列1234的顺序为标准顺序,其逆序数为 0。在排列1324中,元素3和2的次序与它们在标准顺 序中的次序不同(标准顺序中应该是2排在3的前面
同的全排列中，我们规定某一个排列的次序为标准 顺序。对自然数，我们规定从小到大的排列顺序为 标准顺序。 定义1 在一个排列中，当其中某两个元素的次 序与标准顺序中这两个元素的次序不一致时，我们 称这两个元素产生了一个逆序(an inverse－order)。 一个排列中所有的逆序数的总数称为这个排列的逆 序数(number of the inverse-orders)。 例如，排列1234的顺序为标准顺序，其逆序数为 0。在排列1324中，元素3和2的次序与它们在标准顺 序中的次序不同（标准顺序中应该是2排在3的前面
因为2比3小),因此这两个元素产生了一个逆序, 而其它任意两个元素的排列次序都与其在标准顺序 中的次序一样,因此排列1324的逆序数为1。 实际上,根据逆序数的定义,我们可以得到逆 序数的计算方法如下: 设有n个自然数,b,b2…bn为这n个数的一个排 列。则对每个b,如果比b大且排在b前面的元素个 数为t,就称b在这个排列中的逆序数为t,而 t=t1+t2+… 就是这个排列的逆序数
因为2比3小），因此这两个元素产生了一个逆序, 而其它任意两个元素的排列次序都与其在标准顺序 中的次序一样，因此排列1324的逆序数为1。 实际上，根据逆序数的定义，我们可以得到逆 序数的计算方法如下： b b bn , , 1 2 i b i b i b 设有n个自然数， 为这n个数的一个排 列。则对每个 , 如果比 大且排在 前面的元素个 数为 i t ，就称 i b 在这个排列中的逆序数为 i t ，而 n t = t +t +t 1 2 就是这个排列的逆序数
例1求排列4321576的逆序数 解4前面没有数,因此1=0 3前面有1个数(即数字4)比它大,因此t2=1 2前面有2个数比它大,因此t3=2 1前面有3个数比它大,因此t4=3; 5前面没有数比它大,因此ts=0 7前面没有数字比它大,因此=0 6前面有1个数比它大,因此= 因此,这个排列的逆序数为: t=t1+12+t3+t4+5+b6+7=0+1+2+3+0+0+1=7
例1 求排列4321576的逆序数。 解 4前面没有数，因此 0; t 1 = 3前面有1个数（即数字4）比它大，因此 2前面有2个数比它大，因此 1前面有3个数比它大，因此 5前面没有数比它大，因此 7前面没有数字比它大，因此 6前面有1个数比它大，因此 因此，这个排列的逆序数为： 1; t 2 = 2; t 3 = 3; t 4 = 0; t 5 = 0; t 6 = 1; t 7 = 0 1 2 3 0 0 1 7 t = t 1 +t 2 +t 3 +t 4 +t 5 +t 6 +t 7 = + + + + + + =