第二节向量组的线性相关性 与线性无关性
第二节 向量组的线性相关性 与线性无关性
冷定义1设α1,2,…,αm,β是一组n维 向量,若存在m个实数k1,k2,…,kn使得 阝=k1a1+k2a2+…+kmam,则称β可以 由α1,α2,…,am线性表示( linear epresentation)。或称α1,Q2,…,am线性 表示( inear generate)阝 例如:a1=(1,2,0)T,a2=(1,0,3),a3= (3,4,3),则a3=2a1+a2,即存在实数k =2,k2=1使得a3=k1a1+k2a2,故Q3可以 由α1,a2线性表示。(大家想一想,这里的常 数k1=2,k2=1是怎么求出来的?)
❖ 定义1 设α1 ，α2 ，…，αm ，β是一组n维 向量，若存在m个实数 k1 ，k2 ，…，km使得 β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm ，则称β可以 由α1 ，α2 ，…，αm线性表示( linear representation )。或称α1 ，α2 ，…，αm线性 表示(linear generate)β。 例如：α1 = (1, 2, 0) T ，α2 = (1, 0, 3) T, α3 = (3, 4, 3)T，则α3 = 2α1 + α2 ，即存在实数k1 ＝2，k2 ＝1使得α3 = k1α1 + k2α2，故α3可以 由α1 ，α2线性表示。（大家想一想，这里的常 数k1 ＝2，k2 ＝1是怎么求出来的？）
冷定义2设α1,q2,…,αm是一组n维向量, 如果存在m个不全为0的常数k1,k2,…,kn使得 k1a1+k2a2+…,+kmnm=0,则称向量组 a1,Q2,…,αn线性相关( linearly dependent);否则,称向量组a1,q2,…,αm 线性无关
❖ 定义2 设α1，α2，…，αm是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，则称向量组 α1 ，α2，…，αm线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm 线性无关
例1若一个向量组仅由一个向量Q组成,则由 定义2易知它线性相关的充要条件是α=0。 令例2若一个向量组仅由α,β两个向量组成, 则α,β线性相关是指α,β这两个向量的分量 对应成比例,换句话说,即是指α与β平行或α, β共线 证明:a,β线性相关存在不全为0的两 个数k1,k2使得k1Q+k2B=0,不妨假设k 0,则由k1a+k2阝=0知a=阝,此即说明α β的分量对应成比例
❖ 例1 若一个向量组仅由一个向量α组成， 则由 定义2 易知它线性相关的充要条件是α = 0 。 ❖ 例2 若一个向量组仅由α，β两个向量组成， 则α，β线性相关是指α，β这两个向量的分量 对应成比例，换句话说，即是指α与β平行或α， β共线。 证明： α，β线性相关 存在不全为0的两 个数k1，k2使得k1α + k2β = 0 ，不妨假设k1 0，则由k1 α + k2 β = 0 知α = β, 此即说明α ， β的分量对应成比例
冷注:类似可以证明,若一个向量组仅由α,β, 个向量构成,则α,β,Y线性相关的充要 条件是a,β,V共面 令上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无 关的定义,下面我们将用肯定的表述来说明线 性无关这个概念。为此,我们先检查线性相关 的定义。称Q1,Q2,…,am线性相关是指存 在不全为0的m个常数k1,k2…,km使得k1 Q1t,天知级的方程(实际上若 +ka=0 这即是说:以k k1a1+k2a2+….+knm=0有非零解(k1 2
❖ 注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α，β， γ三个向量构成，则α，β，γ线性相关的充要 条件是α ，β ，γ共面。 ❖ 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无 关的定义，下面我们将用肯定的表述来说明线 性无关这个概念。为此，我们先检查线性相关 的定义。称α1，α2，…，αm 线性相关是指存 在不全为0的m个常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0 , 这即是说：以k1， k2，…，km为未知数的方程（实际上，若按向 量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α1 + k2 α2 + … +km αm = 0 有非零解（k1 ， k2 ，…，km）
因此,我们有下述几种等价说法: 冷1,Q2,…,am线性无关 以k1,k2,…,kn为未知数的方程k1a1+k2Q2 +…+kmam=0没有非零解 k1α1+k2α2+…+kmm=0只有零解:k1= =k=0 n 令由k1α1+k2α2+…+kmQm=0一定可以推出 2 K=0 今若k,k2,…,km不全为0,则必有k11+k2 2 ka≠0
因此，我们有下述几种等价说法： ❖ α1，α2，…，αm线性无关 ❖ 以k1，k2，…，km为未知数的方程k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0没有非零解 ❖ k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0只有零解：k1 = k2 = … = km = 0 ❖ 由k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0一定可以推出 k1 = k2 = … = km = 0 ❖ 若k1，k2，…，km不全为0，则必有k1α1 + k2 α2 + … + km αm 0
令注意:对线性无关这个概念的理解,要多多思 考。或许有同学这样认为:a1,2,…,n线 性无关是指当系数k1,k2,…,km全为0时 有K1q1+k2Q2+…+knam=0。实际上,这 种看法是错误的。大家想一想,当系数 ,k全为0时,ka1+k22+…+ αm当然是零向量,这与α1,q2,…,m线性相 关或线性无关没有任何联系
❖ 注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线 性无关是指当系数k1，k2，…，km全为0时， 有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这 种看法是错误的。大家想一想，当系数k1 ， k2 ，…，km全为0时 ，k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1，α2，…，αm线性相 关或线性无关没有任何联系
从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出: ,am线性无关是指,只有当k=k2 =…=km=0时才有k1a1+k2a2+….+kmam =0。或者换句话说,在k11+k2Q2+…+kn αm=0这个条件下,一定可以推出k=k2 =…,=km=0。实际上,以后我们证明一个向 量组线性无关时,一般均采用此观点,即先假 设k1a1+k2Q2+…,+kmm=0,然后在此假 设条件下去证明k=k2 k=0 m
❖ 从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出： α1，α2，…，αm线性无关是指，只有当k1= k2 = … = km = 0时才有k1α1+ k2 α2 + … + km αm = 0。或者换句话说，在k1α1+ k2 α2 + …+ km αm = 0这个条件 下，一定可以推出k1= k2 = … = km = 0。实际上，以后我们证明一个向 量组线性无关时，一般均采用此观点，即先假 设k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0，然后在此假 设条件下去证明k1= k2 = … = km = 0
冷例设e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0, 1)证明:e1e2,e3线性无关。 证明:如果存在数k1,k2,k3使得k1e1+k2 2 33 0,即 0 0 k|0+k2|1+k30 000 0 通过左边的数乘和加法,上述等式即是 k)(0 k2=0 0
❖ 例 设e1 = (1, 0, 0 ) T , e2 = (0, 1, 0 ) T , e3 = (0, 0, 1) T , 证明：e1 , e2 , e3线性无关。 ❖ 证明：如果存在数k1 ，k2 ，k3使得 k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 = 0，即 通过左边的数乘和加法，上述等式即是 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 k k k + + = 1 2 3 0 0 0 k k k =
所以k=k2=k2=0。 因此,⊙1e2,e3线性无关。 定理1向量组a1Q2,…,amn(m2)线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可 以由其余m-1个向量线性表示。 证明:先证必要性。 因为a1,q2,…,αnm线性相关,所以存在 不全为0的m个常数k1,k2,…水m使得K1+ k22+….+knm=0。不妨设k10,则
所以 k1= k2 = k3 =0 。 因此，e1 , e2 , e3 线性无关。 ❖ 定理1 向量组α1，α2，…，αm ( m 2 ) 线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可 以由其余m－1个向量线性表示。 证明：先证必要性。 因为 α1，α2，…，αm线性相关，所以存在 不全为0的m个常数k1 , k2 , … ,km使得k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。不妨设 k1≠0, 则
