第十章数项级数 研究级数的目的 1.借助级数表示很多有用的非初等函数。 2.解微分方程。 3.利用多项式来逼近一般的函数 4.实数的近似计算 例1 +一+… 例2 ln2=1 数值级数 收敛与发散概念 若数列{un},即a1,u2,u…un2 将(1)的项依次用加号连接起来,即l1+2+l2+…+n (2) 简写为∑un称为数值级数,简称级数。1,a2…n;…称为级数(2)的项,u称为(2)的 第n项与通项 有限和是我们熟知的,但无限和对我们是陌生的。怎样来计算无限和呢?无限和叫做什么? 因此,元很多个数的和是一个未知的新概念,它是有限和的推广 级数的定义考察前n项部分和Sn=1+2+…+n或Sn=∑l4。于是,级数(2)对应 个 分 和 S1=l1,S2=l1+l2 1 定义 如果级数(2)的部分和数列{Sn}收敛,即lnSn=S,称级数(2)收敛,并
第十章 数项级数 一 研究级数的目的 1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。 3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。 例 1 = + + + ++ + 2! 3! ! 1 2 3 n x x x e x n x 例 2 = − + − + = + + + + + + 4 1 3 1 2 1 ln 2 1 ! 1 3! 1 2 1 1 1 n e 数值级数 一． 收敛与发散概念 若数列 { }n u ，即 u1 ,u2 ,u3, un , （1） 将（1）的项依次用加号连接起来，即 u1 + u2 + u3 ++ un + （2） 简写为 n=1 n u 称为数值级数，简称级数。 u1 ,u2 , ,un , 称为级数（2）的项， n u 称为（2）的 第 n 项与通项。 有限和是我们熟知的，但无限和对我们是陌生的。怎样来计算无限和呢？无限和叫做什么？ 因此，元很多个数的和是一个未知的新概念，它是有限和的推广。 级数的定义 考察前 n 项部分和 Sn = u1 + u2 ++ un 或 = = n k Sn uk 1 。于是，级数（2）对应 着 一 个 部 分 和 数 列 ， 即 S1 = u1 , S2 =u1+u2 , S3 = u1 + u2 + u3 , Sn = u1 + u2 ++un 定义 如果级数（2）的部分和数列 { } Sn 收敛，即 Sn S n = → lim ，称级数（2）收敛，并
称S是级数(2)的和。记为S=∑un=l1+n2+l3+…+un+ 如果部分和数列{Sn}发散,称级数(2)发散,此时级数(2)没有和。 这样,级数的收敛与发散转化为它的部分和数列的收敛与发散。于是,级数的各种性质转化 为它的部分和数列的各种性质来讨论。 实质:级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式 例1以等比数列为通项的几何级数mr"=a+ar+ar2+…+arn+…的敛散性。其中 a≠0,r是公比。 解:1)当川≠1时,几何级数的部分和Sn是 S=a+ar+ar2+…+ a-ar 当1时,极限lmSn= 因此,当>1时,几何级数发散 2)当=1时 (i)r=1时,几何级数是a+a+a+…+a+ a+a+a+…+a=na imSn=lmm=a(a≠0) 1部分和数列{Sn}发散 (i)当r=-1时,几何级数是 (-1) Sn=0,当n是偶数:Sn=a,当n是奇数 即部分和数列{Sn}发散
称 S 是级数（2）的和。记为 = = + + ++ + = n n S un u u u u 1 1 2 3 如果部分和数列 { } Sn 发散，称级数（2）发散，此时级数（2）没有和。 这样，级数的收敛与发散转化为它的部分和数列的收敛与发散。于是，级数的各种性质转化 为它的部分和数列的各种性质来讨论。 实质：级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式。 例 1 以等比数列为通项的几何级数 = + + ++ + = n n n ar a ar ar ar 2 1 的敛散性。其中 a 0,r 是公比。 解：1）当 r 1 时，几何级数的部分和 n S 是 r a ar S a ar ar ar n n n − − = + + + + = − 1 2 1 i）当 r 1 时，极限 r a r a ar S n n n n − = − − = → → 1 1 lim lim 因此，当 r 1 时几何级数收敛，其和是 r a 1− ，即 = − − = 1 1 n 1 n r a ar 。 ii）当 r 1 时，极限 = − − = → r a ar S n n n 1 lim 因此，当 r 1 时，几何级数发散。 2） 当 r = 1 时 (i) r = 1 时，几何级数是 a + a + a ++ a + Sn = a + a + a ++ a = na lim = lim = ( 0) → → S na a n n n 即部分和数列 { } Sn 发散。 （ii）当 r=－1 时，几何级数是 − + − ++ (− ) + − a a a a a n 1 1 Sn = 0 ，当 n 是偶数； Sn = a ，当 n 是奇数。 即部分和数列 { } Sn 发散
由此,(1)当团<1时,几何级数收敛。 (2)当≥1时,几何级数发散。 例2 an(n-1)122334 n(n+1) 1.22·33.4 n·(n+ nn+1 于是lmSn=lim 例3证明级数1+1 1.66·1111.16 -467++…收敛,并求其和 证明:通项u,可改写为 5n-4)(5n+1)5L5n-45n+1 S 66·11 (5n 于是 lim S=lm21- n→∞ 5n+1 例4证明:调和级数1÷3+…n 是发散的。 证明:由于n都是正数,所以部分和数列S}是严格增加的,讨论子数列{s-}
由此，（1）当 r 1 时，几何级数收敛。 （2）当 r 1 时，几何级数发散。 例 2 ( ) ( ) = + + + + + + = 1 − 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 1 1 n n n n n ( ) 1 1 1 1 1 + = − + = n n n n un ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + = − + − + − − = − + − + − + + + + + + + = n n n n n n n Sn 于是 1 1 1 lim lim 1 = + = − → → n S n n n 例 3 证明级数 ( ) ( ) + − + + + + + 5 4 5 1 1 11 16 1 6 11 1 1 6 1 n n 收敛，并求其和。 证明： 通项 n u 可改写为 ( ) ( ) ( ) ( ) + − = + − − + + + − + − = − − + + + + = + − − = − + = 5 1 1 1 5 1 5 1 1 5 4 1 16 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1 5 1 5 4 5 1 1 6 11 1 1 6 1 5 1 1 5 4 1 5 1 5 4 5 1 1 n n n n n S n n n n u n n 于是 5 1 5 1 1 1 5 1 lim lim = + = − → → n S n n n 例 4 证明：调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 是发散的。 证明：由于 n u 都是正数，所以部分和数列 Sn 是严格增加的，讨论子数列 S m 2 ：
S=1+1+(11.(1、)+…+2m1+12”+2×…+1 2(34)(5678 67888 ￠×J > imS,n≥lim1+ 即mnS-=,Vn22,三唯一的自然数m使2msn∞时,有m→>∞,则lnSn=∞,即调和级数发散。 二收敛级数的性质 Th1(柯西收敛准则)级数∑n收敛的充要条件是:VE>0,N当n>N时,对任意p,有 1+l2+2+…+l4 数列{Sn}存在极限,是指对E>0,3N,当n>N时,对任给的自然数p 推论1若级数∑un收敛,则mn=0 等价命题是:如果lmun=0,则级数∑un发散 例 100n+1 lim u=lim ≠0,则级数 发散 100n+1100 100n+ 注意:mun=0仅是级数∑n收敛的必要条件,而不是充分条件,即mun=0, n→① 也可以发散
= + + + = + + + + + = + + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + → → − − − − − − m S S S S S S m m m m m m m m m m m m m m 2 lim lim 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , 2 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 7 1 6 1 5 1 , 2 1 4 1 4 1 4 1 3 1 , 2 1 2 2 1 2 1 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 , , , , , 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 4 8 2 2 1 即 = → S m m 2 lim ，n 2, 唯一的自然数 m 使 m m 2 n 2 1 − ，且有 S m Sn S m 2 2 −1 当 n → 时，有 m→ ，则 = → n n lim S ，即调和级数发散。 二 收敛级数的性质 Th 1（柯西收敛准则） 级数 un 收敛的充要条件是： 0,N 当 n N 时，对任意 p ，有 + + + un+1 un+2 un+ p 数列 Sn 存在极限，是指对 0,N ，当 n N 时，对任给的自然数 p − Sn Sn+ p 推论 1 若级数 n=1 n u 收敛，则 lim = 0 → n n u 等价命题是：如果 lim = 0 → n n u ，则级数 n=1 n u 发散。 例 100n +1 n 0, 100 1 100 1 lim lim = + = → → n n u n n n 则级数 100n +1 n 发散。 注意： lim = 0 → n n u 仅是级数 n=1 n u 收敛的必要条件，而不是充分条件，即 lim = 0 → n n u ， n=1 n u 也可以发散。 例 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1
有Imun=lm=0,而调和级数∑却是发散的。 n 从柯西收敛准则知,级数∑n收敛等价于级数∑n的充分远(即n>N)的任意片段(即 对任意Pn1+n2+…+nmp)的绝对值可以任意小,由些可见,级数∑un的敛散性仅与 级数充分远的任意片段有关,与级数∑ln任意指定的有限和无关,从而我们有 推论2若去掉,增添或改变级数∑un的有限项,则不改变级数∑un的敛散性 例如去掉几何级数的前100项,∑ar"仍收敛。去掉调和级数的前100项 仍发散 n=100+n101102 100+n (数列去掉前有限项仍具有收敛性与发散性)根据数列的运算定理,可得到级数的运算定理: 定理2若级数∑n收敛,其和是S,则级数∑Cn=C1+C2+…+cn+…也收敛,其和 是cS,其中c是常数 证明 设级数∑ln与∑cn的n项部分和分别是Sn与S,,有 Sn=cu1+c2+…cun=c{4+l2+…+ln)=cSn 已知imSn=S,有mSn=lmcS,=CS,即级数∑cun收敛,其和是cS h2可写为∑cun=CS=c∑ 即收敛级数具有分配性 h3若级数∑n与∑v收敛,其和分别是A和B,则级数 ∑(n±n)=(a1±v)+(2±n2)+…+(un±v)+…也收敛。其和是A±B
有 0 1 lim = lim = → → n u n n n ，而调和级数 n 1 却是发散的。 从柯西收敛准则知，级数 n=1 n u 收敛等价于级数 n=1 n u 的充分远（即 n N ）的任意片段（即 对任意 p un+1 + un+2 ++ un+ p , ）的绝对值可以任意小，由些可见，级数 n=1 n u 的敛散性仅与 级数充分远的任意片段有关，与级数 n=1 n u 任意指定的有限和无关，从而我们有 推论 2 若去掉，增添或改变级数 n=1 n u 的有限项，则不改变级数 n=1 n u 的敛散性。 例如 去掉几何级数的前 100 项， = + 1 1 n n ar 仍收敛。去掉调和级数的前 100 项， = + + = + + + 1 + 100 1 102 1 101 1 100 1 n n n 仍发散。 （数列去掉前有限项仍具有收敛性与发散性）根据数列的运算定理，可得到级数的运算定理： 定理 2 若级数 n=1 n u 收敛，其和是 S ，则级数 = + ++ + = n n n cu cu1 cu2 cu 1 也收敛，其和 是 cS ，其中 c 是常数。 证明： 设级数 n=1 n u 与 n=1 n cu 的 n 项部分和分别是 n S 与 n S ， 有 ( ) n n n n S = cu + cu + cu = c u + u + + u = cS 1 2 1 2 已知 Sn S n = → lim ，有 S cSn cS n n n = = → → lim lim ，即级数 n cu 收敛，其和是 cS Th 2 可写为 = = = n 1 n un cu cS c 即收敛级数具有分配性。 Th 3 若级数 n=1 n u 与 n=1 n v 收敛，其和分别是 A 和 B ，则级数 ( ) = ( )+ ( )++ ( )+ = n n n n n u v u v u v u v 1 1 2 2 1 也收敛。其和是 A B
∑12=2y+2 三同号级数 同号级数是指级数t1+l2+…+un+…的每一项un的符号是非负或非正。如果 un20(n=1,2…),称级数∑n是正项级数:如果Ln≤0(n=12 一般形式 例12:设{an}串,单调下降趋于0,讨论下列级数的收敛型 (1)>a, sin nx (2) a cos nx 解(1)当解x≠2kπ时(k∈Z) sinx的部分和sn=∑snkx。由三角公式 os(k-)x-cos(k+-)x 令k=1、2、3…n,分别有 2sin xsin -=cos -x-cos-x 2sin 2x sm Cos=x-cosx cos(n-)x-cos(n+-)x 2sn-(snx+xin2x+……+snnx)=cos=x-cos(n+=)x 当x≠2kπ时,有 cos-x-cos(n+-)x Sn=(snx+xin2x+……+snmx) cos-x-cos(n +-)x (Sin x+ xin2x +sin nx 2
6 5 3 1 2 1 4 1 3 1 12 4 3 1 1 1 = + = + = + = = = n n n n n n n n 三 同号级数 同号级数是指级数 u1 + u2 ++ un + 的每一项 n u 的符号是非负或非正。如果 u 0(n =1,2, ) n ，称级数 n=1 n u 是正项级数；如果 u 0(n =1,2, ) n 一般形式： 例 12：设{an}串，单调下降趋于 0，讨论下列级数的收敛型 （1） =1 sin n an nx （2） =1 cos n an nx 解（1） 当解 x≠2kπ时 （k∈Z） =1 sin n nx 的部分和 = = n k n s kx 1 sin 。由三角公式 k x k x x k x ) 2 1 ) cos( 2 1 cos( 2 2sin sin = − − + 令 k ＝ 1、2、3……n，分别有 x x x x 2 3 cos 2 1 cos 2 2sin sin = − x x x x 2 5 cos 2 3 cos 2 2sin 2 sin = − …… n x n x x nx ) 2 1 ) cos( 2 1 cos( 2 2sin sin = − − + x xin x nx x n x x ) 2 1 cos( 2 1 (sin 2 sin ) cos 2 2sin + ++ = − + 当 x≠2kπ时，有 x x n x s x xin x nx n 2 1 2sin ) 2 1 cos( 2 1 cos (sin 2 sin ) − + = + ++ = 2 sin 1 2 1 2sin 2 2 1 2sin ) 2 1 cos( 2 1 cos (sin 2 sin ) x x x x n x s x xin x nx n = − + = + ++ =
即当x≠2k时,部分和sn有界,有 Dirichlid判别法知收敛。当x=2kπ时 sInx=0,于是对?收敛a, sin nx收敛。 五绝对收敛的性质 Th2若级数∑an收敛其和是S,则,按顺序结合在一起,构成的新级数 l1+l2+ +l)+(+l+ +l2n)+(l2n++l2n+2+ 也收敛,其和是S 满足结合律,满足交换律 A=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1~ n 1-1/2-1/4+(1/3-1/6)-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-1/14 =(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)-1/12+(1/7-1/14 1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-l/12 1/2(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6-……)=A 级数为什么会满足交换性呢?这是因为它是条件收敛的。 Riemann证明了它一般的结果: 级数∑an条件收敛()则运算交换级数∑an,可使交换后的新级数收敛到8() (一致收敛的级数满足交换律) Thl3级ln绝对,其和为S,则的各项,其和也是S 证明: 级数∑Un的部分和是lmSn=S有∑un收敛
即当 x≠2kπ时，部分和 sn 有界，有 Dirichlid 判别法知收敛。当 x＝2kπ时， sinnx＝0，于是对？收敛 =1 sin n an nx 收敛。 _______________________________________________________________________________ 五 绝对收敛的性质 Th12 若级数 n=1 n a 收敛,其和是 S，则，按顺序结合在一起，构成的新级数 (u1 + u2 ++ un ) + (un+1 + un+2 ++ u2n ) + (u2n+ + u2n+2 ++ u3n ) + 也收敛，其和是 S {Sk’} 满足结合律，满足交换律 − − n n 1 ( 1) 1 A n A n 2 1 1/ 2(1 1/ 2 1/ 3 1/ 4 1/ 5 1/ 6 ) 1/ 2 1/ 4 1/ 6 1/ 8 1/10 1/12 (1 1/ 2) 1/ 4 (1/ 3 1/ 6) 1/ 8 (1/ 5 1/10) 1/12 (1/ 7 1/14 1 1/ 2 1/ 4 (1/ 3 1/ 6) 1/ 8 1/ 5 1/10 1/12 1/ 7 1/14 1 1 1/ 2 1/ 3 1/ 4 1/ 5 1/ 6 ( 1) 1 = − + − + − − = = − + − + − − = − − + − − + − − + − + − − + − − + − − + − = − + − + − ++ − − 级数为什么会满足交换性呢？这是因为它是条件收敛的。 Riemann 证明了它一般的结果： 级数 n=1 n a 条件收敛（）则运算交换级数 n=1 n a ，可使交换后的新级数收敛到δ（）。 （一致收敛的级数满足交换律） Th13 级 n=1 n u 绝对，其和为 S，则的各项，，其和也是 S。 证明： 设级数 n=1 n u 的部分和是 l im Sn S n = → 有 n=1 n u 收敛
VE.彐N Sx-Si时薪级数的部分和 中包含 m=∑lnq= on-SsSn-S+lq 于是(>=a时)有 o,-SsSm-S+a<E+E=2a 其他证明∑un绝对收敛,∑n级数的Pn=∑2 j=max(nI, n Pn=∑|∑k 即正项级数∑|n的部分和数列{有上界则新级数∑un绝对收敛。口 两个级数的乘积,级数乘积的定义, ∑an与∑bn的乘积是所有乘积(),即 (∑an)(∑b,)=∑ab
→ − = + + = 1 , k N k N p k N N k u p S S u N 与 级数 n=1 n u 的前 N 项 u1，u2，……，un 必都在新级数 n=1 n u 中出现 u1，u2，……， un，在新的数串 unk1，unk2，……，unkh ,令 {k1,k2,……,kh} 显然 i>=N，>=i 时薪级数的部分和 = = m n m nk u 1 中包含 = = = u q m n m nk 1 n − S Sn − S + q 于是（>=a 时）有 − S S − S + q + = 2 n n 其他证明 n=1 n u 绝对收敛， n=1 un 级数的 = = m k m nk P u 1 j = max{n1 ,n2 ,……nm} = = = m n n m k m n P u u k k 1 1 即正项级数 n=1 un 的部分和数列{}有上界则新级数 n=1 n u 绝对收敛。□ 两个级数的乘积，级数乘积的定义， n=1 n a 与 n=1 n b 的乘积是所有乘积（），即 （ n=1 n a ）（ n=1 n b ）＝ n,k=1 n k a b
a1b1a2b→a3b1↓ a2b2a2b2→>a3b2 b3←a2b3←a3b3 a1b1a2b1→a3b b2a2b2→>a3b2 a, b 3 a2b3 a3b3 两个收敛级数的乘积可以发散 条件收敛的默认 Th14∑an与∑b绝对收敛,其和分别是a与b,则他们的 证明: q n;k1,k2,………,kn} Sn≤(a|+a2|+……+an)h|+b1+…+bn 所以有∑anb绝对收敛
1 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 1 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b → → → → 两个收敛级数的乘积可以发散 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 = = − − = − − k k k n n c c n 条件收敛的默认 Th14 n=1 n a 与 n=1 n b 绝对收敛，其和分别是 a 与 b，则他们的 证明： ( )( ) + ++ + ++ = = m m n n m m m n n n S S a a a b b b q i i i k k k S a b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 max{ , , , ; , , , } 所以有 n=1 anbn 绝对收敛