第一讲整体与部分4 姚正安 §1.4其他整体与部分问题 本节着重讨论整体区域与部分区域上函数的连续性与可积性等。显然整体区域上成立的 性质则部分区域上成立,我们这里讨论相反的问题。 问题141(1)若函数y=f(x)在(a,b][b,C)上分别连续,则y=f(x)在(a,c)上连 (2)若函数y=f(x)在(a,b),(b,C)上可积,则y=f(x)在(a,c)上可积 【分析】由y=∫(x)在(a,b]上连续,则在x=b左连续,y=f(x)在[bc)上连续, 则y=f(x)在b点右连续 【证明】(1)我们仅须证∫(x)在b点左连续且右连续,则∫(x)在b点连续(问题1.22) 由∫(x)在(a,b]上连续,于是∫(x)在b点左连续,又∫(x)在[b,c)上连续,从而∫(x)在b 点右连续 (2)由f(x)在(a,b)上可积,则在(a,b)上有界,又f(x)在(b,c)上可积,于是在 (b,c)上有界,即存在M1,M2使得 f(x)≤M,x∈(anb),|f(x)≤M2x∈(bc) 从而取M=mx{M1f(b)M2},则 (x)≤M,x∈(ac) 下证∫(x)在(a,C)上可积,任给E>0,由f(x)在(a,b)上可积,f(x)在(b,c)上 可积,则存在>0,2>0,当分划,≤,|wl2时
第一讲 整体与部分 4 姚正安 §1.4 其他整体与部分问题 本节着重讨论整体区域与部分区域上函数的连续性与可积性等。显然整体区域上成立的 性质则部分区域上成立，我们这里讨论相反的问题。 问题 1.4.1 （1）若函数 y = f (x) 在 (a,b],[b,c) 上分别连续，则 y = f (x) 在 (a,c) 上连 续。 （2）若函数 y = f (x) 在 (a,b),(b,c) 上可积，则 y = f (x) 在 (a,c) 上可积。 【分析】由 y = f (x) 在 (a,b] 上连续，则在 x = b 左连续， y = f (x) 在 [b,c) 上连续， 则 y = f (x) 在 b 点右连续。 【证明】（1）我们仅须证 f (x) 在 b 点左连续且右连续，则 f (x) 在 b 点连续（问题 1.2.2）。 由 f (x) 在 (a,b] 上连续，于是 f (x) 在 b 点左连续，又 f (x) 在 [b,c) 上连续，从而 f (x) 在 b 点右连续。 （2）由 f (x) 在 （a,b) 上可积，则在 （a,b) 上有界，又 f (x) 在 (b, c) 上可积，于是在 (b, c) 上有界，即存在 1 2 M ,M 使得 ( ) , ( , ) f x M1 x a b ， ( ) , ( , ) 2 f x M x b c 从而取 max{ , ( ), } 1 b M2 M = M f ，则 f (x) M, x(a,c) 下证 f (x) 在 (a,c) 上可积，任给 0 ，由 f (x) 在 (a,b) 上可积， f (x) 在 (b, c) 上 可积，则存在 1 0， 2 0 ，当分划 T(a,b) 1， T(b,c) 2 时
这里/=max{△x;}是分划得步长,S是达布大和,s是达布小和。现在取 6=min{1,δ, }>0 6(M 设是(ac)上的分划:a=x<x1<x2<…<xn=c,且/‖=max{Ax}<, Ax (i)设有分点xk=b,则 T(ab)a=x<X<x<…<x=b是(a,b)上的分划,从而7<6<,且 <x,=c是(bc)上的分划,从而lsr<d<2,且 于是,由Sr=S S (ⅱi)设b∈(xk-12xk)对某个k,则 Sr ,Ax,+O△x+o .Ax (这里O为f(x)在[x,x上的振幅,a,=spf(x)-mf1f(x)=M-m),取 T(a,b)为a b 则由b 卩a<6<6,从而S,-5,=∑△x+o(b-x-)0'为f(x)在(x-,b 上的振幅,F 取T为b xk <xk c,则由xk-b 卩s。<<2,于是: O,Ax, +O(xr -b)
3 ( , ) ( , ) − T a b T a b S s ， 3 ( , ) ( , ) − T b c T b c S s 。 这里 max{ }i T = x 是分划得步长， T S 是达布大和， T s 是达布小和。现在取 } 0 6( 1) min{ , , 1 2 + = M 。 设 T 是 (a,c) 上的分划： a x x x x c = 0 1 2 n = ，且 T = max{xi } ， ( , 1,2, , ) xi = xi − xi−1 i = n （i）设有分点 xk = b ，则 T(a,b): a = x0 x1 x2 xk = b 是 (a,b) 上的分划，从而 T(a,b) T 1 ，且 3 ( , ) ( , ) − T a b T a b S s 。 T b x x x c (b,c) : = k k+1 n = 是 (b, c) 上的分划，从而 T(b,c) T 2 ，且 3 ( , ) ( , ) − T b c T b c S s 。 于是，由 T T(a,b) T(b,c) S = S − s ， T T(a,b) T(b,c) s = s + s ， 得 − − + − 3 2 T T T( a,b) T( a,b) T(b,c ) T(b,c ) S s S s S s 。 （ii）设 ( , ) k 1 k b x x − 对某个 k ，则 = + − = − = + + n i k i k k i i k i T T i S s x x x 1 1 1 （这里 i 为 f (x) 在 i i x , x −1 上的振幅， i i x x x x x x i f x f x M m i i i i = − = − − − sup ( ) inf ( ) , 1 1, ），取 T(a,b) 为 a = x0 x1 xk−1 x = b ，则由 − k−1 k − k−1 b x x x ， 有 T(a,b) T 1 ，从而 − − − − = + 1 1 ( ) ( , ) ( , ) k i T T i i k S s x b x a b a b 。 为 f (x) 在 (x b k , −1 上的振幅， 3 ( , ) ( , ) − T a b T a b S s 。 取 T(b,c) 为 b x x x x c = k k+1 n = ，则由 k − k − k−1 x b x x ， 得 T(b,c) T 2 ，于是 = + − = + − n i k T sT i xi xk b b c b c 1 S ( ) ( , ) ( , )
O为f(x)在bx)上的振幅,则 另外,|o|≤2M(i=1.2…,m)Ax 6(M+1) 2M O,A (M+1) 注意,振幅的非负性,于是 S,,oam-Strma +/, -ST+o, 4x 1 <2 +2+2=6 亦即f(x)在(,c)上可积 从本问题可以看到连续性概念是所谓的局部整体概念,既要证明f(x)在(a,c)上连续, 则要证明其在每点连续,所以从部分(a,b[b,c)的连续性到整体的连续性,必须有重叠, 两个部分区间都必须含分界点b。而对于可积性(严格讲这里是黎曼( Riemannn)可积)是 一个整体概念,从而在某局部点的值(甚至是有限个点的值,无穷多个孤立点的值)都不影 响可积性,所以我们不要求重叠,而直接可以部分上升到整体可积性。此外,关于可积性的 证明一般比较复杂,我们必须把分划弄清楚,特别要掌握本问题分情形讨论的方法。这种方 法在后面我们还会经常碰到。关于整体与部分的概念和方法也远不止本讲所讨论的内容。另 外,在本书的其他部分还会涉及到这方面的内容
为 f (x) 在 ) k b, x 上的振幅，则 3 ( , ) ( , ) − T b c T b c S s 。 另外， 6( 1) 2 ( 1,2, , ), + = M M i n x i k ， 6( 1) 3 2 + M M x k k 。 注意，振幅的非负性，于是 − − + − + + + = 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) T T T T T T k k S s S s S s x a b a b b c b c ， 亦即 f (x) 在 (a,c) 上可积。 从本问题可以看到连续性概念是所谓的局部整体概念，既要证明 f (x) 在 (a,c) 上连续， 则要证明其在每点连续，所以从部分 （a,b],[b,c) 的连续性到整体的连续性，必须有重叠， 两个部分区间都必须含分界点 b 。而对于可积性（严格讲这里是黎曼（Riemannn）可积）是 一个整体概念，从而在某局部点的值（甚至是有限个点的值，无穷多个孤立点的值）都不影 响可积性，所以我们不要求重叠，而直接可以部分上升到整体可积性。此外，关于可积性的 证明一般比较复杂，我们必须把分划弄清楚，特别要掌握本问题分情形讨论的方法。这种方 法在后面我们还会经常碰到。关于整体与部分的概念和方法也远不止本讲所讨论的内容。另 外，在本书的其他部分还会涉及到这方面的内容