第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1.把下列矩阵化为行最简形矩阵: 102-1r2+(-2)1(102-1 解(1 00-13 304-3+(=3x(00-20 r2÷(-1)(102-1)r3-r2(102 001-3 001-3 +(20010 0003 r÷3(102 n2 +3r210 2 001-3 0010 0001 r+(-2)2(1000 0010 rtrs 000 0 r2×2+(-3)r1(02-3 (2)03 04-7 +(-2)r 00-1 +/02010)÷2(0105 001 0013 r+3r 0000 0000 1-13-43 r 00-48 2-23-20r1-2r00-36-6 F4-3f1 00-510-10 1-13-43 1-102 F2÷( r1-3r2 00 22 001-22 r3÷(-3 00000 001-22 00000
1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵： 解 (1) − − 3 0 4 3 2 0 3 1 1 0 2 1 3 1 2 1 ( 3) ( 2) ~ r r r r + − + − − − − 0 0 2 0 0 0 1 3 1 0 2 1 ( 2) ( 1) 3 2 ~ − − r r − − 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 2 1 3 2 ~ r −r − − 0 0 0 3 0 0 1 3 1 0 2 1 3 3 ~ r − − 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 2 1 2 3 3 ~ r + r − 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 1 2 ( 2) ~ r r r r + + − 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (2) − − − − 0 4 7 1 0 3 4 3 0 2 3 1 3 1 2 1 ( 2) 2 ( 3) ~ r r r r + − + − − − − 0 0 1 3 0 0 1 3 0 2 3 1 1 2 3 2 3 ~ r r r r + + 0 0 0 0 0 0 1 3 0 2 0 10 2 1 ~ r 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 5 (3) − − − − − − − − − 3 3 4 2 1 2 2 3 2 0 3 3 5 4 1 1 1 3 4 3 4 1 3 1 2 1 3 2 3 ~ r r r r r r − − − − − − − − − − − 0 0 5 10 10 0 0 3 6 6 0 0 4 8 8 1 1 3 4 3 ( 5) ( 3) ( 4) 4 3 2 ~ − − − r r r − − − − − 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 1 3 4 3 4 2 3 2 1 2 3 ~ r r r r r r − − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 2 3
3-7 2132 2 08 2-4 0-8891 3743 -2r2(0 77811 1020-2 r,+2r 1020-2 r分→h0 1-1-1-1 r3-8r1 00014 r2×(-1 00014 r-/1 00 -r3 000 r2+r3 0100 0010 0 2.在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?有没有等于0的r阶 子式? 解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r-1阶子式也可能存在等 于0的r阶子式 1000 0100 例如,a=0010 0000 R(a)=3同时存在等于0的3阶子式和2阶子式 3.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样 解R(A)≥R(B) 设R(B)=r,且B的某个r阶子式D≠0矩阵B是由矩阵A划去 行得 到的,所以在A中能找到与D相同的r阶子式D,由于 D,=D≠0 故而R(4)≥R(B 4.求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(,0,10,0),(1,-1,0,0,0) 解设a1,a2,ax3,ax,a3为五维向量且a1=(1,0,1,0,0)
2 (4) − − − − − − 2 3 7 4 3 3 2 8 3 0 1 2 0 2 4 2 3 1 3 7 4 2 3 2 1 2 2 3 2 ~ r r r r r r − − − − − − − − 0 7 7 8 11 0 8 8 9 12 1 2 0 2 4 0 1 1 1 1 4 1 3 1 2 1 7 8 2 ~ r r r r r r − − + − − 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 4 3 2 1 2 ( 1) ~ r r r r r − − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 3 ~ r +r − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 1 0 3 1 0 2 0 2 2．在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r −1 阶子式?有没有等于 0 的 r 阶 子式? 解 在秩是 r 的矩阵中,可能存在等于 0 的 r −1 阶子式,也可能存在等 于 0 的 r 阶子式. 例如， = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 R() = 3 同时存在等于 0 的 3 阶子式和 2 阶子式. 3．从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ,问 A,B 的秩的关系怎样? 解 R(A) R(B) 设 R(B) = r ，且 B 的某个 r 阶子式 Dr 0.矩阵 B 是由矩阵 A 划去 一行得 到的，所以在 A 中能找到与 Dr 相同的 r 阶子式 Dr ，由于 Dr = Dr 0， 故而 R(A) R(B). 4．求作一个秩是 4 的方阵,它的两个行向量是 (1,0,1,0,0) , (1,−1,0,0,0) 解 设 1 2 3 4 5 , , , , 为五维向量,且 (1,0,1,0,0) 1 =
a2=(1,1,0.0,则所求方阵可为A=a3秩为4不妨设 3=(0,0,0,x4,0) a4=(0,0,0,0,x5)取x=x5=1 a5=(0,0,0,0,0) 10100 1-1000 故满足条件的一个方阵为00010 00001 00000 5.求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式 1-12-1 解(1)|1-12-1 02 04-65 04-65秩为 04-65 0000 二阶子式 32-1-3-2)521 4-41 (2)2-131-3 0-7119 705 1\r-1r(0-213327-15 r3-3r20-7119-5秩为 00000 二阶子式
3 (1, 1,0,0,0) 2 = − ,则所求方阵可为 , 5 4 3 2 1 = A 秩为 4,不妨设 = = = (0,0,0,0,0) (0,0,0,0, ) (0,0,0, ,0) 5 4 5 3 4 x x 取 x4 = x5 = 1 故满足条件的一个方阵为 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式： 解 (1) − − − 1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 2 r 1 r 2 ~ − − − 1 3 4 4 3 1 0 2 1 1 2 1 − − − − − − 0 4 6 5 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 2 1 3 1 3 r r r r 2 0 0 0 0 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 3 2 秩为 − − − r −r 二阶子式 4 1 1 3 1 = − − ． (2) − − − − − − − 7 0 5 1 8 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2 − − − − − − − − − 0 21 33 27 15 0 7 11 9 5 1 3 4 4 1 ~ 2 7 2 1 1 2 3 1 r r r r r r 2 0 0 0 0 0 0 7 11 9 5 1 3 4 4 1 3 ~ 3 2 秩为 − − − − r − r . 二阶子式 7 2 1 3 2 = − − ．
1837 2-17 0-3-63 63) 3-2580 r2 0-2-420 了3-34 rAr2 10320 r2+3r1 r+r 000016 012-17 r2+2 000014 +1400001/楼为3 10320 n÷ -3 07-5 三阶子式580 =70≠0 20 6.求解下列齐次线性方程组: x1+x2+2x3-x4=0 +2x2+x3-x4 2x1+x2+x3-x4 0,(2){3x;+6x2-x3-3x1=0, 2x1+2x2+x3+2x4=0; 5x1+10x2+x3-5x4=0; 2x1+3x2-x3+5x4=0, 3x1+4x2-5x3+7x4=0, (3)14x1+x2-3x3+6x=0,(4)2x1-3x2+3x,-2x4=0, 3x1+x2+2x3-7x4=0, 4x1+1lx2-13x3+16x4=0, x1-2x,+4x3-7x1=0: 7x1-2x2+x3+3x4=0. 解(1)对系数矩阵实施行变换 10-10 即得 2212 00
4 (3) − − − 1 0 3 2 0 3 2 5 8 0 2 3 0 7 5 2 1 8 3 7 3 4 2 4 1 4 3 2 2 ~ r r r r r r − − − − − − − − − 1 0 3 2 0 0 2 4 2 0 0 3 6 3 5 0 1 2 1 7 3 1 2 1 2 3 ~ r r r r + + − 1 0 3 2 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 16 0 1 2 1 7 4 3 4 3 4 1 1 2 16 14 ~ r r r r r r r r − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 7 1 0 3 2 0 秩为 3 三阶子式 70 0 3 2 5 8 5 3 2 0 5 8 0 0 7 5 = − = − ． 6．求解下列齐次线性方程组: (1) + + + = + + − = + + − = 2 2 2 0; 2 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x (2) + + − = + − − = + + − = 5 10 5 0; 3 6 3 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x (3) − + − = + − + = + + − = + − + = 2 4 7 0; 4 3 6 0, 3 2 7 0, 2 3 5 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x (4) − + + = + − + = − + − = + − + = 7 2 3 0. 4 11 13 16 0, 2 3 3 2 0, 3 4 5 7 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 解 (1) 对系数矩阵实施行变换: − − 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 − − − 3 4 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 0 ~ 即得 = = = − = 4 4 3 4 2 4 1 4 3 4 3 3 4 x x x x x x x x
故方程组的解为 3 (2)对系数矩阵实施行变换: 2x,+x 36-1-3~0010即得 0 5101-5)(0000 x4=x4 故方程组的解为 0/*4,/0 0 0 (3)对系数矩阵实施行变换: x1=0 0100 0 即得 36 0010 000 0 故方程组的解为 0 (4)对系数矩阵实施行变换: 313 1717 2-33 1920 19 20 411-1316 1717 即得 0000 7-21 0000 =x
5 故方程组的解为 − = 1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换: − − − − 5 10 1 5 3 6 1 3 1 2 1 1 − 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 1 ~ 即得 = = = = − + 4 4 3 2 2 1 2 4 0 2 x x x x x x x x 故方程组的解为 + − = 1 0 0 1 0 0 1 2 1 2 4 3 2 1 k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换: − − − − − 1 2 4 7 4 1 3 6 3 1 2 7 2 3 1 5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ 即得 = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 故方程组的解为 = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x (4) 对系数矩阵实施行变换: − − − − − 7 2 1 3 4 11 13 16 2 3 3 2 3 4 5 7 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 17 20 17 19 0 1 17 13 17 3 1 0 ~ 即得 = = = − = − 4 4 3 3 2 3 4 1 3 4 17 20 17 19 17 13 17 3 x x x x x x x x x x
13 故方程组的解为2|=k1 19 +k 17 0 7.求解下列非齐次线性方程组: 4x1+2x2-x3=2, 2x+3y+z=4, (2) 少+4 (1)13x1-1x2+2x3 llx1+3x2=8; 3x+8y-2z=13, 4x-y+9z=-6; 2x+y-x+w=1, 「2x+y-z+W=1, (3){4x+2y-2z+w=2, (4){3x-2y+z-3w=4, 2x+y-乙-W=l; x+4y-3+5形=-2; 解(1)对系数的增广矩阵施行行变换有 42-12 3-1210 0-101134 000 R(4)=2而R(B)=3故方程组无解 (2)对系数的增广矩阵施行行变换 102-1 1-24-5 01-1 38-213 0000 4-19-6 0000 即得{y=z+2亦即y=k1+2 Z=Z (3)对系数的增广矩阵施行行变换: 1-11 42-212 00010 (00000
6 故方程组的解为 − − + = 1 0 17 20 17 13 0 1 17 19 17 3 1 2 4 3 2 1 k k x x x x 7．求解下列非齐次线性方程组: (1) + = − + = + − = 11 3 8; 3 1 2 10, 4 2 2, 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x (2) − + = − + − = − + = − + + = 4 9 6; 3 8 2 13, 2 4 5, 2 3 4, x y z x y z x y z x y z (3) + − − = + − + = + − + = 2 1; 4 2 2 2, 2 1, x y z w x y z w x y z w (4) + − + = − − + − = + − + = 4 3 5 2; 3 2 3 4, 2 1, x y z w x y z w x y z w 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有 − − − − − − 0 0 0 6 0 10 11 34 1 3 3 8 11 3 0 8 3 1 2 10 4 2 1 2 ~ R(A) = 2 而 R(B) = 3 ,故方程组无解． (2) 对系数的增广矩阵施行行变换: − − − − − 4 1 9 6 3 8 2 13 1 2 4 5 2 3 1 4 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ 即得 = = + = − − z z y z x z 2 2 1 亦即 − + − = 0 2 1 1 1 2 k z y x (3) 对系数的增广矩阵施行行变换: − − − − 2 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 1 1 ~
x=--y+-2 2 即得{y=y 即 k1 +k,/0 2000 0 0 (4)对系数的增广矩阵施行行变换: 3-21-34 01 14-35 00 59-70 1025-70 26-7 95 01 00 15-70 175 1 x=-z+-v+ 6-75 6 9 即得y=2x-w-即 k k z〓z I0L6 0 8.取何值时,非齐次线性方程组 ;+x,+x3=1 x1+Ax2+x3=瓦, x1+x2+x3=2 (1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解 元1 解()11≠0,即花≠12时方程组有唯一解 (2)R(A)<R(B) 111 B=1元1x 0a-1 1-a (1-) 11λx2)(00(1-4)(2+2)(1-4(+1
7 即得 = = = = − + + 0 2 1 2 1 2 1 w z z y y x y z 即 + + − = 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 k1 k2 w z y x (4) 对系数的增广矩阵施行行变换: − − − − − − − − − 0 0 0 0 0 7 5 7 9 7 5 0 1 1 4 3 5 2 1 4 3 5 2 3 2 1 3 4 2 1 1 1 1 ~ − − − − 0 0 0 0 0 7 5 7 9 7 5 0 1 7 6 7 1 7 1 1 0 ~ 即得 = = = − − = + + w w z z y z w x z w 7 5 7 9 7 5 7 6 7 1 7 1 即 + − + − = 0 0 7 5 7 6 1 0 7 9 7 1 0 1 7 5 7 1 1 2 k k w z y x 8． 取何值时,非齐次线性方程组 + + = + + = + + = 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 1, x x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解 (1) 0 1 1 1 1 1 1 ,即 1,−2 时方程组有唯一解. (2) R(A) R(B) = 2 1 1 1 1 1 1 1 B − + − + − − − 2 2 0 0 (1 )(2 ) (1 )( 1) 0 1 1 (1 ) 1 1 ~
由(1-4)(2+孔)=0,、(1-4)(1+4)2≠0 得元=-2时,方程组无解 (3)R(4)=R(B)<3,由(1-)(2+)=(1-4)+4)2=0 得元=1时,方程组有无穷多个解 9.非齐次线性方程组 2x1+x2+x3=-2, x1-2x2+x3= x1+x2-2x3= 当元取何值时有解?并求出它的解. 211 解B=1-21元 01 2-3 (-1) 22 000(x-1)(λ+2) 方程组有解,须(1-4)(λ+2)=0得x=1,4=-2 当A=1时方程组解为x2|=k1+0 当花=-2时方程组解为x 1|+2 0 (2-4)x1+2x2-2x3=1, 10.设{2x1+(5-4)x2-4x3=2, 2x1-4x2+(5-4)x3=--1, 问λ为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多 解 时求解 2-2 解 25-4-4 2 45-元-A-1 初等行变152 2 1-A 00①1-4)(10-2)(1-元)4-4)
8 由 (1 )(2 ) 0,(1 )(1 ) 0 2 − + = − + 得 = −2 时,方程组无解. (3) R(A) = R(B) 3 ,由 (1 )(2 ) (1 )(1 ) 0 2 − + = − + = , 得 = 1 时,方程组有无穷多个解. 9．非齐次线性方程组 + − = − + = − + + = − 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 , 2 2, x x x x x x x x x 当 取何值时有解？并求出它的解． 解 − + − − − − − − − − = 0 0 0 ( 1)( 2) ( 1) 3 2 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ~ 2 B 方程组有解，须 (1 − )( + 2) = 0 得 = 1, = −2 当 = 1 时,方程组解为 + = 0 0 1 1 1 1 3 2 1 k x x x 当 = −2 时,方程组解为 + = 0 2 2 1 1 1 3 2 1 k x x x 10．设 − − + − = − − + − − = − + − = 2 4 (5 ) 1, 2 (5 ) 4 2, (2 ) 2 2 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 问 为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多 解 时求解． 解 − − − − − − − − − 2 4 5 1 2 5 4 2 2 2 2 1 初等行变换 ~ − − − − − − − − − 2 (1 )(4 ) 2 (1 )(10 ) 0 0 0 1 1 1 2 1 2 5 1
当A4≠0,即 (1-4)2(10-4) ≠0∴九≠1且元≠10时,有唯一解 当 (1-)(10-) =0且 1-)(4-) ≠0,即元=10时,无解 2 当 (1-)10-2)=0且(3,》/0,即=1时,有无穷多解 此时,增广矩阵为0000 0000 原方程组的解为x2|=1+k0+0(k,2∈R) 0 11.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵 3-20-1 (1)|315 323 0121 321100 321100 解(1)315010~0-14-110 32300 002-10 3 320 00 2 0-1011-2~0-1011 9-22 002-101 001 100 010-1-1 001 72 故逆矩阵为-1-12 (2)
9 当 A 0 ,即 0 2 (1 ) (10 ) 2 − − 1 且 10 时，有唯一解. 当 0 2 (1 )(10 ) = − − 且 0 2 (1 )(4 ) − − ，即 = 10 时，无解. 当 0 2 (1 )(10 ) = − − 且 0 2 (1 )(4 ) = − − ，即 = 1 时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为 − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 原方程组的解为 + + − = 0 0 1 1 0 2 0 1 2 1 2 3 2 1 k k x x x ( k1 , k2 R ) 11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵： (1) 3 2 3 3 1 5 3 2 1 ; (2) − − − − − 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 . 解 （1） 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 3 3 1 5 3 2 1 − − − 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 4 3 2 1 ~ − − − − 1 0 1 1 1 2 2 1 0 2 3 0 0 2 0 1 0 3 2 0 ~ − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 9 2 2 7 0 0 1 0 1 0 3 0 0 ~ − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ~ 故逆矩阵为 − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7 (2)
3-20-11000 2-3-200 0221010001210001 1-2-3-20010|049510-30 0 000 02210100 1-2-3-20010 01210001 001110-3 00-2-1010-2 1-2-3-20010 01210001 000121-6-10 1-200-1-1-2-2 0100010-1 0010-1-136 000121 6-10 100011-2-4 0100010 故逆矩阵为 0010-1-136 000121-6-10 11-2-4 010 1-136 21-6-10 12.(1)设A=221B=22,求X使AX=B; 31-1 3-1 021 (2)设A=2-13,B 求X使XA=B 2-3
10 − − − − − 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 − − − − 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 0 4 9 5 0 1 2 1 1 2 3 2 ~ − − − − − − − − 0 1 0 2 1 0 3 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 ~ − − − − − − − 2 1 6 10 1 0 3 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 ~ − − − − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1` 0 1 1 1 2 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 ~ − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ 故逆矩阵为 − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 12．(1) 设 − − = − − = 3 1 2 2 1 3 , 3 1 1 2 2 1 4 1 2 A B ,求 X 使 AX = B ; (2) 设 − = − − = − 2 3 1 1 2 3 , 3 3 4 2 1 3 0 2 1 A B ,求 X 使 XA = B
