(A2)卷 、填空(每空2分,共20分) 1、设方程组{2x-x2+x3=0的系数矩阵为A,且存在非零三阶矩 3x1+x2-x3=0 阵B,使得AB=0,则=1 2、二次型f(x1,x2)=2x2+2x2+3x2在x2+x2=1的条件下的最大值等于 7 3、若n阶方阵A,B,C满足ABC=E,则CAB=.E 4、设A为n阶方阵且满足A-24+3B=0,则4=3(2E-4 5、设a1=(211-1),a2=(12,13),ax3=(2.5),如果向量组B1,B2,B3,B4 与向量组∝1a2,a3等价,则向量组B1,B2,B3,B4的秩等于 6、设(…)表示排列的逆序数,则(-1)48312645)+(-1)4234156 7、设η,V2,…,v是AX=0的基础解系,a1,a2…an为的n个列向量,若 B 则方程组AX=B的通解为 X=kv+k2n2+…+k1/1 8、二次型f(x1,x2,x3)=16xx2+2x1x3-2x2x3的矩阵表达式为 x1 f(x1,x2,x3)=_(x2x380-1x2 10 x3 9、设A,B,C都是n阶方阵|q1≠OH且ACBC=C,则A-B等于 0设n阶可逆矩阵A的每行元素之和为da≠0),则数_1 定是A1的特征值 、解答下列各题(本大题共2小题,总计16分)
（A2）卷 一、 填空（每空 2 分，共 20 分） 1、设 方 程 组 + − = − + = + − = 3 0 2 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的 系 数 矩 阵 为 A， 且 存 在 非 零 三 阶 矩 阵 B， 使 得 AB = 0,则 =_____1_______. 2 、 二 次 型 ( ) 1 2 2 2 2 f x1 , x2 = 2x1 + 2x + 3x x 在 1 2 2 2 x1 + x = 的 条 件 下 的 最 大 值 等 于 ____ 7 2 __________ 3、若 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABC=E，则 CAB=.__E______ 4、设 A 为 n 阶方阵且满足 2 3 0 2 A − A + E = ，则 −1 A =__ (2 ) 3 1 E − A _____ 5、设 (2,1,1, 1) 1 = − , (1,2,1,3) 2 = , (1,1,2,5) 3 = ， 如 果 向 量 组 1 2 3 4 , , , 与 向 量 组 1 2 3 , , 等 价， 则 向 量 组 1 2 3 4 , , , 的 秩 等 于__3______ 6、设 t() 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) −1 + −1 t 312 645 t 234156 =___0____ 7、设 r v ,v , ,v 1 2 是 AX = 0 的 基 础 解 系， a a an , , 1 2 为 A 的 n 个 列 向 量， 若 = a1 + a2 ++ an ， 则 方 程 组 AX = 的 通 解 为 _ = + + + + 1 1 1 1 1 2 2 r r X k v k v k v ______. 8、二 次 型 f (x , x , x ) x x x x x x 1 2 3 =16 1 2 +2 1 3 −2 2 3 的 矩 阵 表 达 式 为 f (x , x , x ) 1 2 3 =__ − − 3 2 1 1 2 3 1 1 0 8 0 1 0 8 1 ( ) x x x x x x ______ 9、设 A，B，C 都 是 n 阶 方 阵 , C 0£ 且 A C-B C=C,则 A- B 等 于 ____E___________. 10、设 n 阶 可 逆 矩 阵 A 的 每 行 元 素 之 和 为 a(a 0)，则 数 ___ a 1 _______ 一 定 是 A −1 的 特 征 值 二、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 16 分)
120 求(4+E)(42-E) 3-2-1 22 14+l=001≠0.可逆 (4+E)(2-E)=A-E 8 003 2、设A=315,用初等变换法求A 32 (AE)=315010 323001 72 (EA-) 01 乙-I77E 723 63 12 、解答下列各题(本大题共2小题,总计16分) 1、计算D 111 1111 0-200 E-00
1、 设 − − = − 3 2 1 0 1 1 1 2 0 A ,求 ( ) ( ). 1 2 A+ E A − E − A+ E = − 2 2 0 0 0 1 3 2 0 0, 可 逆 4 ( ) ( ) . 1 2 A+ E A − E = A− E − 8 − − = − 3 2 2 0 2 1 0 2 0 10 2、设 = 3 2 3 3 1 5 3 2 1 A , 用 初 等 变 换 法 求 A −1 . = 3 2 3 0 0 1 3 1 5 0 1 0 3 2 1 1 0 0 (AE) ( ) 2 1 0 2 1 0 0 1 0 1 0 1 1 2 2 3 3 2 6 7 1 0 0 −1 = − − − − → E A 8 − − − − = − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7 1 A 10 三、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、计 算 D = − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r 4 1 3 1 − − r r 2 − 1 D 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 − − − 8 = −8 10
2、判定二次型f(x,x2,x3,x)=x2+x2+14x2+7x2+6xx12+4x-4x12x3是 否正定。 302 A1=1>0, A 0-2140 -8<0 2007 故f(x,2,X3,X)非正定 四、解答下列各题(本大题共2小题,总计16分) 1、设a1=(12.3-4),a2=(2,3-41),a3=(2.-5.8-3),a1=(5,26-9-12) a3=(3-41,2),求向量组a1,a2a3,a,a3的秩。 令A=四a2aaa],对A作初等行变换: 、0-1-916-10 00000 故向量组a1,a2a32a4,a5的秩为3。 2、设A=010求A的特征值和特征向量 A的特征值为A1=1,A2=2,A3=0 对应的特征向量分别为k|1 k,≠0(=1,2,3)6 五、解谷下列各题(本大题共3小题,总计21分 2x1+x2-x3=1 1、解方程组{x-3x2+4x3=2 llx1-12x2+17x2=3 原方程组无解
2、 判 定 二 次 型 1 2 1 4 2 3 2 4 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + x +14x + 7x + 6x x + 4x x − 4x x 是 否 正 定。 − − = 2 0 0 7 0 2 14 0 3 1 2 0 1 3 0 2 A , 1 2 1 0 1 3 3 1 8 0 = = = − , 5 故 f(X ,X ,X ,X ) 1 2 3 4 非 正 定。 10 四、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 16 分) 1 、 设 (1,2,3, 4) 1 = − , (2,3, 4,1) 2 = − , (2, 5,8, 3) 3 = − − , (5,26, 9, 12) 4 = − − , (3, 4,1,2) 5 = − , 求 向 量 组 1 2 3 4 5 , , , , 的 秩。 令 1 2 3 4 5 A = ， 对 A 作 初 等 行 变 换： − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 9 16 10 1 2 2 5 3 A 8 故向 量 组 1 2 3 4 5 , , , , 的 秩为 3。 10 2、设 − − = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 求 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 。 A 的 特 征 值 为 1 =1 , 2 = 2 , 3 = 0 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 0 1 0 1 k , −1 0 1 2 k , 1 0 1 3 k , k 0 (i =1,2,3) i 6 五、解答下列各题(本大题共 3 小题，总计 21 分) 1、解 方 程 组 − + = − + = + − = 11 12 17 3 3 4 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 原 方 程 组 无 解. 10
x1-4x2+5x3+3x4=0 2、求方程组{3x1-6x2+4x3+2x4=0的基础解系 4x1-8x,+17x3+1lx4=0 0 A=3-642 0075 6 0000 10 0 3、A,B均为n阶方阵,且A~B(~表示相似,求证:A~B 因A~B,存在可逆矩阵P使P-AP=B 2 则B′=(P-AP)=PA(P) 记(P-)=Q,则q=【P)广=P,故B'=QAQ 即B′~A 六、解谷下列各题 (本大题11分) 设A=032求正交矩阵了,使TA7为对角阵 023 AE-A=02-3-2=(-22-1-5)=0,A的特征值为 2、1、5 正交矩阵T=0 TAT= 10
2、求 方 程 组 − + + = − + + = − + + = 4 8 17 11 0 3 6 4 2 0 2 4 5 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的 基 础 解 系. − − → − − − → − − − = 0 0 0 0 7 5 0 0 1 7 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 7 5 2 2 1 1 4 8 17 11 3 6 4 2 2 4 5 3 A 6 = 7 - 5 0 2 , 0 0 1 2 a1 10 3、 A,B 均为 n 阶 方 阵，且 ~ ( ~ " A B 表 示 相 似), 求 证: A ~ B. 因 A ~ B ， 存 在 可 逆 矩 阵 P 使 P AP B − = 1 2 则 = = − − B (P AP) P A (P ) 1 1 4 记 (P ) Q − = 1 ， 则 Q P P − − − = = 1 1 1 [( ) ] ， 故 = − B Q A Q 1 8 即 B ~ A 10 六、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 ) 设 = 0 2 3 0 3 2 2 0 0 A 求 正 交 矩 阵 T， 使 TAT 为 对 角 阵。 ( 2)( 1)( 5) 0 0 2 3 0 3 2 2 0 0 = − − − = − − − − − − = E A , A 的 特 征 值 为 2、1、5, 4 正 交 矩 阵 − = 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 1 0 0 T , = 5 1 2 T AT 。 10
