中山大学：《数学分析》第一讲整体与部分2.doc_大学文库

数学分析方法论选讲问题 1.2.3 对任给的 x, y(−,+)，f (x + y) = f (x)+ f (y)+ （  为常数），且 f (x) 在某点 0 x 右连续，则 f (x) 在 (− ,+) 中连续．分析：我们仅须证明在某点连续，然后利用已知条件，证明在所有点上连续．证明：设 ( ) ( ) 0 0 0 lim f x f x x + =   ，而 f (x0 + ) = f (x0 )+ f ( )+ ，得 f (x + )− f (x )− = f ( ) 0 0 , 由此可得 ( ) = −  f x 0 lim ．另一方面， f (0 + 0) = f (0)+ f (0)+ ，得 f (0) = − ，所以， f (x) 在 x = 0 右连续．下证 f (x) 在 x = 0 左连续．由 f (0) = f ( − ) = f ( )+ f (− )+ , − f (− ) = f ( )+ − f (0) = f ( )+ 2 , 令   0 ,得 (  )   − = −  f 0 lim ,从而 lim ( ) (0) 0 f = f    ．下证 f (x) 在任意点皆连续．由 f (x + ) = f (x)+ f ( )+ ，对  取极限，注意 ( )   = − → f 0 lim ，即得 f (x + ) = f (x) →   0 lim ．其实我们后面还将证明如此的 f (x) 为线性函数．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．问题 1.2.4 海涅（ Heine ）定理： f (x) x x0 lim → 存在的充分必要条件是对任给的序列 xn  ，若满足 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），则有 ( ) n n f x → lim 存在．分析：这实际上也是整体与部分的关系．只不过我们这里的部分是离散形式．必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法，抽取子序列．证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的   0 ，存在   0 ，当 0  x − x0   时， f (x)− A   ① 设 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），则存在 N ，当 n  N 时， 0  xn − x0   ，从而满足①，即 f (x )− A   n ，亦即 f (xn ) A n = → lim ．下证充分性（１）先证若 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ）， ( ) 0 0 lim y x , y x n n n =  → ，则

数学分析方法论选讲分析：注意 (x ) f (x) f (y) y x x x f = −  −   −      0 0 0 0 0 , sup ，同时也有 (x ) f (x) f (x) x x x x f      −   −  = − 0 0 0 0 0 , sup inf ．证明：设 f (x) x x0 lim → 存在，则由柯西（ Cauchy ）收敛准则，对任给的   0 ，存在   0 ，当 0  x − x0   ，且 0  y − y0   时， f (x)− f (y)   ，由此  ( , )   0 x f ，注意当 0   1   2 时， ( ) 0 1  f x ,  ( ) 0 2  f x , ，所以必有 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ．反之，设 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ，则对任给的   0 ，存在   0 ， ( , )   0 x f ，由此 0  x − x0   ， 0  y − y0   时， f (x)− f (y)   ( , )   0 x f ．问题 1.2.6 f (x) x x0 lim → 存在的充要条件是 f (x) x x0 ___ lim → （下极限）与 f (x) x x ____ 0 lim → 此同时（上极限）存在且相等．分析：注意 f (x) x x0 ___ lim → f (x)  →  x−x  = 0 0 0 lim inf ， f (x) x x ____ 0 lim → f (x) x x   →  −  = 0 0 0 lim sup ．证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的   0 ，存在   0 ，有 A−  f (x)  A+ ，当 0  x − x0   时，注意到上、下极限的定义，则有 −   ( )  ( )  +  → → A f x f x A x x x x 0 0 ____ ____ lim lim ．由  的任意性即得 ( ) = → f x x x0 ___ lim f (x) A x x = → ____ 0 lim ．反之，设 f (x) f (x) A x x x x = = → → _____ _____ 0 0 lim lim ，则有 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ，从而由由问题 1.2.5 得证．问题 1.2.7 单变量实函数 f (x) 在点 0 x 连续的充要条件是 f (x) 在点 0 x 上连续且下连续．证明：注意上连续即为 f (x) x x _____ 0 lim → = ( ) 0 f x ，下连续即为 f (x) x x0 _____ lim → = ( ) 0 f x ，再由问题 1.2.6 即可得证．仿问题 1.2.4 的证明方法，我们可证问题 1.2.8 ( 0) f x0 + 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x > 0 x ， 0 lim x x n n = → 的

数学分析方法论选讲序列 ( ) n n f x → lim 存在； ( 0) f x0 − 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x < 0 x ， 0 lim x x n n = → 的序列有 ( ) n n f x → lim 存在．问题 1.2.9 设 f (x) 对一切 x(− ,+) 满足等式 ( ) = p f x f (x),(1 p  0) ，且 f (x) 在 x = 0 右连续，在 x =1 连续，则 f (x) 在 (− ,+) 上恒为常数．证明：由 ( ) (| | ) 1 p f x = f x ，从而 f (x) 为偶函数，仅须证 f (x) 在［ 0,+) 上连续．在［ 0,+) 上 f (x)＝ ( ) p f x ，取 p x y 1 = ，则 f (y) = ( ) 1 p f y ，所以我们不妨设 p  1 ，则对任给的 x  0 ，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 p p f x = f x = f x =… ( ) 1 n p = f x ，由 0 1 lim = → n n p ，得 1 1 → n p x ，从而用问题 1.2.4 的结论和 f (x) 在 x =1 点的连续性可知 ( ) lim ( ) (1) 1 f x f x f n p n = = → . 又 f (x) 在 x = 0 右连续，于是 (1) ( ) lim ( ) (0) 0 f f x f x f x = = =  ，所以在［ 0,+) 上 f (x) 连续，从而在 (− ,+) 上边疆且恒为常数 f (1)．以下介绍连续变量离散化方法，即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质．事实上，前面的海涅 (Heine) 定理即探讨这方面的问题．问题 1.2.10 函数 f (x) 在 a,b 上连续，则函数 f (x) 在 a,b 上达到最大值．分析：设   M f (x) x a,b sup  = ，则问题所要证的是存在 x a,b 0  ，有 f (x0 ) = M ．证明：设 M =   f (x) x a,b sup  ，则对任给的 k  N ，有 xk  a,b ，使得 ( ) k f xk M 1  − ．由 xk  有界，按致密性定理（问题 1.1.11 ），从而可选取 xk  的子序列   nk x ， 0 lim x x nk k = → ， x a,b 0  ，一方面 k n n M f x k M 1  ( )  − ，得 f xnk M k = → lim ( ) ，另一方面由连续性 lim ( ) nk k f x → ( ) 0 = f x ，由此 f (x0 ) = M ．同理，我们可证， a,b 上的连续函数 f (x) 在 a,b 上可达到最小值．此外，这里

数学分析方法论选讲 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      −  − − − −  +      −  − − − −        −  − − − −  +      −  − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f f x x x f f x f x x x f x f f x x x f f x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                     由 0 lim lim x n n n n = = → →   ,于是有 N ,当 n  N 时, n − x0   ,  n − x0   ,从而 ( ) ( ) ( ) , 0 0 0    −   − − f x x f f x n n ( ) ( ) ( )    −   − − 0 0 0 f x x f x f n n , 于是 ( ) ( ) ( ) 0 f x f f n n n n −  − −      n n n x    − − 0  + n n n x    − 0 −  = . 反之,设 0 x  n = ,则对任给的 , 0 x  n  存在 0 lim x n n = →  , n→ lim ( ) ( ) 0 0 x f f x n n − −   存在,由问题 1.2.8,可得 ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x o x x − − → + 存在,即右可导．同理可证 f (x) 在 0 x 左可导,下证左右导数相等.对 , , , , 0 0 0 0 x x x x  n   n →  n   n → 取  n  为    = + =  = 2 1. 2 , 0 n k x n k k n   取  n  为    = = +  = 2 . 2 1, 0 n k x n k k n   则 ( ) ( ) n n n n n f f A      −   −  = → lim 存在, 注意 ( ) ( ) ( ) ( ) A x f f f f x k k k k k k k k = − − =  −   −  → → 0 0 2 2 2 2 lim lim       . ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim , 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 A x f f f x f k k k k k k k k = − − =  −   −  → + + + + →       同时注意到 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim f x x f f x k k k + → =  − −   (右导数), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim f x x f f x x f x f k k k k k k − → → =  − − = − −     (左导数), 所以, ( ) 0 f x +  = ( ) 0 f x −  . 此问题很容易误证 , 最常见的是用中值公式证

中山大学：《数学分析》第一讲 整体与部分2

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