中山大学：《数学分析》第一讲 整体与部分2

数学分析方法论选讲 第一讲整体与部分2 姚正安 §12左、右极限 本节我们讨论单变量实函数的左右极限,左右连续和左右导数等问题,也就是把整体问 题分成两个部分问题来讨论 问题12.1lmf(x)存在的充要条件是lmnf(x)=f(x0+0)与 lmf(x)=f(x0-0)存在并且相等 分析:整体正确则部分必正确.反之,部分正确,则可”拼”出整体正确.关键是要 弄清楚左、右极限的概念 证明:必要性显然,仅须证良分性,设mf(x)=A=lmf(x),从而对任给的 E>0,存在1>0和2>0, 当00时,当0<x-x<6时,则0<x-x0<d和 <x-x0<0二者必居其一,从而满足①或②,所以 问题122函数f(x)在x0点连续的充要条件是∫(x)左连续且右连续 证明:f(x)在x。点连续即为lmf(x)=f(x),注意左连续即为 ∫(x0-0)=f(x),右连续即为∫(x0+0)=f(x0),用问题121即可证 同理我们可证单变量实函数∫(x)在x0可导的充要条件是f(x)在x0点的左、右导数存 在且相等

数学分析方法论选讲 第一讲 整体与部分 2 姚正安 §1.2 左、右极限 本节我们讨论单变量实函数的左右极限，左右连续和左右导数等问题，也就是把整体问 题分成两个部分问题来讨论。 问题 1.2.1 f (x) x x0 lim → 存 在 的 充 要 条 件 是 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = + → + f x f x x x 与 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = − → − f x f x x x 存在并且相等． 分析：整体正确则部分必正确．反之，部分正确，则可＂拼＂出整体正确．关键是要 弄清楚左、右极限的概念． 证明：必要性显然，仅须证良分性．设 f (x) A x x = → +0 0 lim f (x) x x 0 0 → lim− = ，从而对任给的   0 ，存在  1  0 和  2  0， 当 0  − 0   1 x x 时， f (x)− A   ① 当－  2  x − x0  0 时， f (x)− A   ② 取  = min  1 , 2  0 时，当 0  x − x0   时，则 0  x − x0   和 −  x − x0  0 二者必居其一，从而满足①或②，所以 f (x)− A   ． 问题 1.2.2 函数 f (x) 在 0 x 点连续的充要条件是 f (x) 左连续且右连续． 证明： f (x) 在 0 x 点 连 续 即 为 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = → ． 注 意 左 连 续 即 为 ( ) ( ) 0 0 0 f x − = f x ，右连续即为 ( ) ( ) 0 0 0 f x + = f x ，用问题 1.2.1 即可证． 同理我们可证单变量实函数 f (x) 在 0 x 可导的充要条件是 f (x) 在 0 x 点的左、右导数存 在且相等．

数学分析方法论选讲 问题123对任给的x,y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)+f(y)+a(a为常数) 且f(x)在某点x右连续,则f(x)在(∞,+)中连续 分析:我们仅须证明在某点连续,然后利用已知条件,证明在所有点上连续 证明:设mnf(x+8)=f(x),而f(x+b)=f(x0)+f(6) f(x0+6)-f(x0)-a=f() 由此可得Imnf()=-a.另一方面,f(0+0)=f(0)+f(0)+a,得 f0)=-a,所以,f(x)在x=0右连续,下证f(x)在x=0左连续 由f()=f(-)=f()+f(-δ)+a, -f(+-)=f(O)+a-f(0)=f(6)+2a, 令6↓0,得m/(。)=,从而mf(6)=/(0 下证∫(x)在任意点皆连续,由 f(x+6)=f(x)+f(6)+a,对δ取极限,注意lmn∫()=-a,即得 imf(x+δ)=f(x) 其实我们后面还将证明如此的f(x)为线性函数.此外,在讨论函数的极限时往往必须 把连续变量离散化,下面我们来讨论这方面的问题 问题124海涅(Heme)定理:lmf(x)存在的充分必要条件是对任给的序列 xn},若满足mxn=x0(xn≠x0),则有mf(xn)存在 分析:这实际上也是整体与部分的关系.只不过我们这里的部分是离散形式.必要性的 证明是显然.充分性的证明我们用反证法,抽取子序列 证明:设mf(x)=A,则对任给的E>0,存在δ>0,当0N时,0<{xn-x<6,从而满足① 即f(xn)-4<E,亦即lm∫(xn)=A 下证充分性(1)先证若mxn=x0(xn≠x0),myn=x0,(yn≠x),则

数学分析方法论选讲 问题 1.2.3 对任给的 x, y(−,+)，f (x + y) = f (x)+ f (y)+ （  为常数）， 且 f (x) 在某点 0 x 右连续，则 f (x) 在 (− ,+) 中连续． 分析：我们仅须证明在某点连续，然后利用已知条件，证明在所有点上连续． 证明：设 ( ) ( ) 0 0 0 lim f x f x x + =   ， 而 f (x0 + ) = f (x0 )+ f ( )+ ， 得 f (x + )− f (x )− = f ( ) 0 0 , 由此可得 ( ) = −  f x 0 lim ．另一方面， f (0 + 0) = f (0)+ f (0)+ ，得 f (0) = − ，所以， f (x) 在 x = 0 右连续．下证 f (x) 在 x = 0 左连续． 由 f (0) = f ( − ) = f ( )+ f (− )+ , − f (− ) = f ( )+ − f (0) = f ( )+ 2 , 令   0 ,得 (  )   − = −  f 0 lim ,从而 lim ( ) (0) 0 f = f    ． 下证 f (x) 在任意点皆连续．由 f (x + ) = f (x)+ f ( )+ ，对  取极限，注意 ( )   = − → f 0 lim ，即得 f (x + ) = f (x) →   0 lim ． 其实我们后面还将证明如此的 f (x) 为线性函数．此外，在讨论函数的极限时往往必须 把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题． 问题 1.2.4 海涅（ Heine ）定理： f (x) x x0 lim → 存在的充分必要条件是对任给的序列 xn  ，若满足 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），则有 ( ) n n f x → lim 存在． 分析：这实际上也是整体与部分的关系．只不过我们这里的部分是离散形式．必要性的 证明是显然．充分性的证明我们用反证法，抽取子序列． 证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的   0 ，存在   0 ，当 0  x − x0   时， f (x)− A   ① 设 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），则存在 N ，当 n  N 时， 0  xn − x0   ，从而满足①， 即 f (x )− A   n ，亦即 f (xn ) A n = → lim ． 下证充分性 （１） 先证若 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ）， ( ) 0 0 lim y x , y x n n n =  → ，则

数学分析方法论选讲 limf(x,)=lim f() 取 n=2k+1,则m=n=x0、(n≠x),从而 n=2k imf(n)存在且 m(n)=mn/(=x)=mf(x,)=mf(=2)=lmn/f(,) 于是对任给的序列{xn},若lxn=x0(xn≠x),则lmf(xn)存在且极限 值与{xn}的选取无关,记为A. (2)证明lmf(x)=A(反证法),若mf(x)≠A,则有E0>0,对任给的 x→x0 x→x0 d>0,总有x满足00 即时 imf(xn)≠A,这与(1)之证矛盾 间题125设O(x0,)=supJ(x)-f(y),则lmf(x)存在的充分必要条件 是mno(x,0)=0

数学分析方法论选讲 ( ) = → n n lim f x ( ) n n f y → lim ． 取    = = + = 2 , 2 1, y n k x n k z k k n 则 ( ) 0 0 lim z x , z x n n n =  → ，从而 ( ) n n f z → lim 存在且 ( ) = → n n lim f z ( − ) = → 2 1 lim n n f z ( ) = → n n lim f x ( ) = → n n f z2 lim ( ) n n f y → lim ． 于是对任给的序列 xn  ，若 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），则 ( ) n n f x → lim 存在且极限 值与 xn  的选取无关，记为 A ． (2) 证明 f (x) A x x = → 0 lim （反证法），若 f (x) A x x  → 0 lim ，则有  0  0 ，对任给的   0 ，总有 x  满足 0  x  − x0   且使得 ( ) 0 f x  − A   ． 取  =1 ，则有 1 x 满足 0  x1 − x0   ，使得 ( ) 1 0 f x − A   取 2 1  = ，则有 2 x 满足        2 − 0  1 − 0 , 2 1 0 x x min x x ，使得 ( ) 2 0 f x − A   ， … … 取 n 1  = ，则有 n x 满足        − 0  −1 − 0 , 1 0 min x x n x x n n ，使得 ( ) 0 f x − A   n ， … … 由此可以找到 xn  满足 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），且 f (xn )− A   0  0， 即时 f (xn ) A n  → lim ，这与（１）之证矛盾． 问题 1.2.5 设 (x ) f (x) f (y) y x x x f = −  −   −      0 0 0 0 0 , sup ，则 f (x) x x0 lim → 存在的充分必要条件 是 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ．

数学分析方法论选讲 注意m/(x0,6)=spf(x)-f() 时也有 o (xo, 8)=sup f(x) inf, f(x) 证明:设lmf(x)存在,则由柯西( Cauchy)收敛准则,对任给的E>0,存在δ>0, 当00,存在6>0,o(x,0)0,存在>0,有A-Ex,lmxn=x0的

数学分析方法论选讲 分析：注意 (x ) f (x) f (y) y x x x f = −  −   −      0 0 0 0 0 , sup ，同时也有 (x ) f (x) f (x) x x x x f      −   −  = − 0 0 0 0 0 , sup inf ． 证明：设 f (x) x x0 lim → 存在，则由柯西（ Cauchy ）收敛准则，对任给的   0 ，存在   0 ， 当 0  x − x0   ，且 0  y − y0   时， f (x)− f (y)   ，由此  ( , )   0 x f ，注意 当 0   1   2 时， ( ) 0 1  f x ,  ( ) 0 2  f x , ，所以必有 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ．反之，设 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ，则对任给的   0 ，存在   0 ， ( , )   0 x f ，由此 0  x − x0   ， 0  y − y0   时， f (x)− f (y)   ( , )   0 x f ． 问题 1.2.6 f (x) x x0 lim → 存在的充要条件是 f (x) x x0 ___ lim → （下极限）与 f (x) x x ____ 0 lim → 此同时（上 极限）存在且相等． 分析：注意 f (x) x x0 ___ lim → f (x)  →  x−x  = 0 0 0 lim inf ， f (x) x x ____ 0 lim → f (x) x x   →  −  = 0 0 0 lim sup ． 证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的   0 ，存在   0 ，有 A−  f (x)  A+ ， 当 0  x − x0   时，注意到上、下极限的定义，则有 −   ( )  ( )  +  → → A f x f x A x x x x 0 0 ____ ____ lim lim ． 由  的任意性即得 ( ) = → f x x x0 ___ lim f (x) A x x = → ____ 0 lim ． 反之，设 f (x) f (x) A x x x x = = → → _____ _____ 0 0 lim lim ，则有 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ，从而由由问题 1.2.5 得证． 问题 1.2.7 单变量实函数 f (x) 在点 0 x 连续的充要条件是 f (x) 在点 0 x 上连续且下 连续． 证明：注意上连续即为 f (x) x x _____ 0 lim → = ( ) 0 f x ，下连续即为 f (x) x x0 _____ lim → = ( ) 0 f x ，再由问题 1.2.6 即可得证． 仿问题 1.2.4 的证明方法，我们可证 问题 1.2.8 ( 0) f x0 + 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x > 0 x ， 0 lim x x n n = → 的

数学分析方法论选讲 序列mf(xn)存在;f(x0-0)存在的充要条件是对任给的满足条件xn0),且 f(x)在x=0右连续,在x=1连续,则f(x)在(∞+∞)上恒为常数 证明:由f(x)=f(x|”),从而f(x)为偶函数,仅须证∫(x)在[0,+∞)上连续 在[0+2x)上f(x)=(x),取x=y,则f(y)=f(y2),所以我们不妨设P>1,则 对任给的x>0,有 f(x)=f(x)=f(x)=…=f(x”), 由m=0,得x”→1,从而用问题1.24的结论和f(x)在x=1点的连续性可知 f(x)=lim f(xP)=fO 又八(x)在x=0右连续,于是/()=(x)=lmf(x)=f(o),所以在[O+∞)上f(x) 连续,从而在(∞+∞)上边疆且恒为常数f() 以下介绍连续变量离散化方法,即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质.事实 ,前面的海涅(Heme)定理即探讨这方面的问题 问题1210函数f(x)在[ab]上连续,则函数f(x)在[ab上达到最大值 分析:设M=supf(x),则问题所要证的是存在xo∈[b],有f(x)=M ea, bl 证明:设M=s甲J(x),则对任给的k∈N,有x∈[a,使得/(x,)>M-1 由{x}有界,按致密性定理(问题11),从而可选取{x}的子序列{n} lmxn=x0,x∈[b,一方面M≥f(x1)>M-,得 n imf(xn)=M,另一方面由连续性mf(xm)=f(x0),由此f(x)=M 同理,我们可证,[a上的连续函数f(x)在[b上可达到最小值.此外,这里

数学分析方法论选讲 序列 ( ) n n f x → lim 存在； ( 0) f x0 − 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x < 0 x ， 0 lim x x n n = → 的序列有 ( ) n n f x → lim 存在． 问题 1.2.9 设 f (x) 对一切 x(− ,+) 满足等式 ( ) = p f x f (x),(1 p  0) ，且 f (x) 在 x = 0 右连续，在 x =1 连续，则 f (x) 在 (− ,+) 上恒为常数． 证明：由 ( ) (| | ) 1 p f x = f x ，从而 f (x) 为偶函数，仅须证 f (x) 在［ 0,+) 上连续． 在［ 0,+) 上 f (x)＝ ( ) p f x ，取 p x y 1 = ，则 f (y) = ( ) 1 p f y ，所以我们不妨设 p  1 ，则 对任给的 x  0 ，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 p p f x = f x = f x =… ( ) 1 n p = f x ， 由 0 1 lim = → n n p ，得 1 1 → n p x ，从而用问题 1.2.4 的结论和 f (x) 在 x =1 点的连续性可知 ( ) lim ( ) (1) 1 f x f x f n p n = = → . 又 f (x) 在 x = 0 右连续，于是 (1) ( ) lim ( ) (0) 0 f f x f x f x = = =  ，所以在［ 0,+) 上 f (x) 连续，从而在 (− ,+) 上边疆且恒为常数 f (1)． 以下介绍连续变量离散化方法，即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质．事实 上，前面的海涅 (Heine) 定理即探讨这方面的问题． 问题 1.2.10 函数 f (x) 在 a,b 上连续，则函数 f (x) 在 a,b 上达到最大值． 分析：设   M f (x) x a,b sup  = ，则问题所要证的是存在 x a,b 0  ，有 f (x0 ) = M ． 证明：设 M =   f (x) x a,b sup  ，则对任给的 k  N ，有 xk  a,b ，使得 ( ) k f xk M 1  − ． 由 xk  有界，按致密性定理（问题 1.1.11 ），从而可选取 xk  的子序列   nk x ， 0 lim x x nk k = → ， x a,b 0  ，一方面 k n n M f x k M 1  ( )  − ，得 f xnk M k = → lim ( ) ，另一方面由连续性 lim ( ) nk k f x → ( ) 0 = f x ，由此 f (x0 ) = M ． 同理，我们可证， a,b 上的连续函数 f (x) 在 a,b 上可达到最小值．此外，这里

数学分析方法论选讲 a≤xn≤b(k=1,2,…)按极限的保序性有a≤x≤b 问题1211设!n(x)为有界闭区间b上一连续函数列,且 )f(x)≥f2(x)≥…f(x)≥ (2)f(x)=lmfn(x)处处存在 试证f(x)在[ab]上必有最大值 证明:f1(x)在b上连续,故有界,从而存在M0>0,使f(x)≤M0, ab从而f(x)≤M,x∈[ab] 令M=即pf(x),则M≤M为有限数,对任给的k∈N有x∈[ab], ∫(x)>M-1.又{x}是有界数列,则有收敛子列{n},设其极限为x,即 lim ab],于是 S(xo)=lim /(x, )2 lim(M-)=M 再令n→∞,f(x)=lmfn(x0)≥M,从而f(x)=M 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理 问题1212f(x)在x0存在导数的充要条件是对任给的两数列 a.≤x5B.(n=12…,.,≠B,ma1=xn=mB,有lmB)-/()存 Br 证明若(x)存在即m()/()=r(),从而对任给的>0,存在650 当04x-x0k<δ时, <E f(Bn)-f(a x

数学分析方法论选讲 a x b nk   （ k = １，２，…）按极限的保序性有 a  x0  b． 问题 1.2.11 设 f n (x) 为有界闭区间 a,b 上一连续函数列，且 (1) f 1 (x)  f 2 (x) … f n (x)  f n+1 (x)  …， ( ) f (x) f (x) n n→ 2 = lim 处处存在． 试证 f (x) 在 a,b 上必有最大值． 证明： f (x) 1 在 a,b 上连续，故有界，从而存在 M0  0 ，使 f (x) 1  M0 ， xa,b ，从而 f (x)  M0 ， xa,b． 令 M f (x) axb = sup ， 则 M  M0 为有限数，对任给的 k  N 有 xk  a,b ， ( ) k f xk M 1  − . 又 xk  是 有 界 数 列 , 则 有 收 敛 子 列   nk x , 设 其 极 限 为 0 x , 即 0 lim x x nk k = →  a,b,于是 ( ) M n f x f x M k k n n k n k =  − = → → ) 1 lim ( ) lim ( 0 . 再令 n →, f (x ) f n (x ) M n =  → 0 0 lim ,从而 f (x0 ) = M . 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理. 问 题 1.2.12 f (x) 在 0 x 存在导数的充要条件是对任给的两数列 n n   x0   ( n = 1,2,…),  n   n , n n n n  x  → → lim = 0 = lim ,有 ( ) ( ) n n n n n f f     − − → lim 存 在. 证明:若 ( ) 0 f  x 存在,即 ( ) ( ) = − − → 0 0 0 lim x x f x f x x x ( ) 0 f  x ,从而对任给的   0,存在   0 , 当 0 | x − x0 |  时, ( ) ( ) − ( )   − − 0 0 0 f x x x f x f x . 而 ( ) ( ) ( ) 0 f x f f n n n n −  − −    

数学分析方法论选讲 B-x「(B)-/(n) f(o)-f(a,) f'lxo A B, -xo B sB,-52)=/((,-a,x-a xo -a,f(xo)-f(a B B 由man=mBn=x0,于是有N,当n>N时,an-xx,存在如mB=x,lmn/(B)-八N)在由 Bnu-xo 问题1.28可得m(x)-(存在即右可导,同理可证f(x)在x左可导下证左右导 数相等对Bn>x0,Bn→x0,an<x0,an→x0 n=2k 取a,为a n=2k+1.取为B n=2k+1, BK n=2k 则A=hmnf(Bn 存在 注意m()-/(a)=mnB)()=A B2k -a BK 同时注意到lB)-/(x)=r()(右导数 BK m()-(a)=man)-/(x)=(x)(左导数 所以,f(x0)=f(x) 此问题很容易误证,最常见的是用中值公式证

数学分析方法论选讲 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      −  − − − −  +      −  − − − −        −  − − − −  +      −  − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f f x x x f f x f x x x f x f f x x x f f x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                     由 0 lim lim x n n n n = = → →   ,于是有 N ,当 n  N 时, n − x0   ,  n − x0   ,从而 ( ) ( ) ( ) , 0 0 0    −   − − f x x f f x n n ( ) ( ) ( )    −   − − 0 0 0 f x x f x f n n , 于是 ( ) ( ) ( ) 0 f x f f n n n n −  − −      n n n x    − − 0  + n n n x    − 0 −  = . 反之,设 0 x  n = ,则对任给的 , 0 x  n  存在 0 lim x n n = →  , n→ lim ( ) ( ) 0 0 x f f x n n − −   存在,由 问题 1.2.8,可得 ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x o x x − − → + 存在,即右可导．同理可证 f (x) 在 0 x 左可导,下证左右导 数相等.对 , , , , 0 0 0 0 x x x x  n   n →  n   n → 取  n  为    = + =  = 2 1. 2 , 0 n k x n k k n   取  n  为    = = +  = 2 . 2 1, 0 n k x n k k n   则 ( ) ( ) n n n n n f f A      −   −  = → lim 存在, 注意 ( ) ( ) ( ) ( ) A x f f f f x k k k k k k k k = − − =  −   −  → → 0 0 2 2 2 2 lim lim       . ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim , 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 A x f f f x f k k k k k k k k = − − =  −   −  → + + + + →       同时注意到 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim f x x f f x k k k + → =  − −   (右导数), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim f x x f f x x f x f k k k k k k − → → =  − − = − −     (左导数), 所以, ( ) 0 f x +  = ( ) 0 f x −  . 此 问 题 很 容 易 误 证 , 最 常 见 的 是 用 中 值 公 式 证

数学分析方法论选讲 明:f(Bn)-f(an)=f(nBn-an)an<n<Bn,令n→∞,由lman=x0=lmBn得 imn=x0,然后得lmf(n)=f(x0),这里犯了两点错误:(1)f(x)在区间[an,Bn]上 并没有指出其满足中值定理条件,在必要性的证明中,我们仅知道f(x)存在,而在除x外 的其它点是否可导根本不知道.(2)即使满足中值公式条件,但导数也未必连续,所以也不 能从imrn=x推导出imf()=f(x).此外在本问题的充分性的证明中,为证明左、右 极限相等我们构造了序列{xn}和VBn},并且利用子序列的极限应等于原收敛序列的极限 这种构造性的方法望读者仔细体会

数学分析方法论选讲 明: ( ) ( ) ( )( ), , n n n n n n n n f  − f  = f  r  −   r   令 n → , 由 n n n n  x  → → lim = 0 = lim 得 0 lim r x n n = → ,然后得 ( ) ( ) 0 lim f r f x n n  =  → .这里犯了两点错误:(1) f (x) 在区间    n  n , 上 并没有指出其满足中值定理条件,在必要性的证明中,我们仅知道 ( ) 0 f  x 存在,而在除 0 x 外 的其它点是否可导根本不知道.(2) 即使满足中值公式条件,但导数也未必连续,所以也不 能从 0 lim r x n n = → 推导出 ( ) ( ) 0 lim f r f x n n  =  → .此外在本问题的充分性的证明中,为证明左、右 极限相等我们构造了序列  n  和  n  ,并且利用子序列的极限应等于原收敛序列的极限, 这种构造性的方法望读者仔细体会