中山大学：《数学分析》第八章 微积分的进一步应用

第七章定积分 概念 例子:1.曲边梯形的面积 2.非匀速直线运动 性质1、2 性质3对ab]的一个分法T,增加某些新分点构成a,b]的一个新分法T,有 s(T)≤s(T),S(T')≤S(T 证明:[x-1,x]只增加一个新分点x,区间分成[x-1,x[x,x],[x-,x上的最小值记 为m,【x,x]上的最小值记为m,则m≥m,m≥m,从而 m1(x1-x1)≤m(x2-x-1)+m1(x1-x) 此即S(T)≤s(T) 性质4任意分法T,T’,有 s()≤S(T),s(T)≤S(T 证明:T,T’合成T”,由性质3,可得 s(7)≤s(T")≤S(T")≤S(T) s(T)≤s(T")≤S(T")≤S(D 性质5:l0=sup{s(7)}≤nf{S(m)}= 、可积准则 从性质5,可以直观地看出,当sup{s(T)}=nf{S(m)}时,函数可积。因为 s()≤∑f(5)Ax,≤S(m 定理1(可积准则)f(x)在a,b]上可积当且仅当lmn[S(m)-s(T)]=0 (T)0 证明:必要性

第七章 定积分 一、概念 例子：1. 曲边梯形的面积 2. 非匀速直线运动 性质 1、2 性质 3 对[a, b]的一个分法 T，增加某些新分点构成[a, b]的一个新分法 T’，有 s(T)  s(T ), S(T)  S(T) 证明： [ , ] i 1 i x x − 只增加一个新分点 x  ，区间分成 [ , ],[ , ] 1 i x x x x i   − ， [ , ] 1 x x i  − 上的最小值记 为 mi ， [ , ] i x  x 上的最小值记为  mi ，则 mi mi mi  mi    , ，从而 ( ) ( ) ( ) 1 1 m x x m x x m x x i i i i i i i −    − +  − −  − 此即 s(T)  s(T ) 性质 4 任意分法 T,T  ，有 s(T)  S(T ), s(T)  S(T) 证明： T,T  合成 T  ，由性质 3，可得 ( ) ( ) S(T ) S(T) ( ) ( ) S(T ) S(T )             s T s T s T s T 性质 5： 0 0 I sup{s(T)} inf {S(T)} I T T =  = 二、 可积准则 从性质 5，可以直观地看出，当 sup{s(T)} inf {S(T)} T T = 时，函数可积。因为     n s(T) f ( i ) xi S(T) 定理 1（可积准则）f(x)在[a, b]上可积当且仅当 lim [ ( ) ( )] 0 ( ) 0 − = → S T s T l T 证明：必要性

vE>0.36>0,7,当(7)0,取δ=E,对ab]的任意分法T,当l(T)<d时,即Axk<,k=1,2,n时,有 ∑o2Ax4=∑Uf(xk)-f(x-)Ax <6∑Uf(x)-f(x1)=(x)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(x)-f(x1 ST(,)-f(ro)]=Elf(b)-f(a) 根据可积准则的充分性,单调函数f(x)在[ab]上可积 Th4.f(x)在闭区间[ab]上有界,且存在有限个不连续点,则f(x)在[a,b]上可积 证明:不妨设c∈[an,b]是一个不连续点,其余都为连续点.w=Mm,Mm分别为f(x) 在[ab]上的最大最小值.去掉小区间(c-E,c+E)后,f(x)在[a,c-E][c+E,b]上连 续,从而一致连续

        −    +        −    = = I f x I T l T f x I i n i i i n i i 1 1 ( ) 0, 0, , ( ) , | ( ) | 即 当 有 由性质 2，得到 I −   s(T)  S(T)  I +  ，或 S(T) − s(T)  2 充分性（略） 定义 振幅 n = Mn − mn 定理 1’ （可积准则）f(x) 在[a, b]上可积当且仅当 lim 0 1 ( ) 0  = = → n i i i l T  x 三、三类可积函数 定理 2 闭区间上的连续函数可积。 定理 3 f(x)在[a, b]上单调，则 f(x)在[a, b]上可积。 证明：不妨设 f(x)在[a, b]上单调增加，对[a, b]的任意分法 T，函数 f(x)在小区间 [ , ] k 1 k x x − 上 的下确界 mk与上确界 Mk分别是 ( ), ( ) k k 1 k k m = f x M = f x − 则   = − = =  = −  = −  n k k k k n k k k k n k k k x M m x f x f x x 1 1 1 1  ( ) [ ( ) ( )]   0,取 =  ，对[a, b]的任意分法 T，当 l(T)   时，即 xk   , k =1,2,,n 时，有 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 f x f x f b f a f x f x f x f x f x f x f x f x x f x f x x n n k k k k k n k k k k n k k k = − = −  − = − + − + + −  = −     = − − = − =       根据可积准则的充分性，单调 函数 f(x)在［a,b］上可积． Th4. f(x)在闭区间［a,b］上有界，且存在有限个不连续点，则 f(x)在［a,b］上可积． 证明：不妨设 c[a,b] 是一个不连续点，其余都为连续点．w=M-m, M,m 分别为 f(x) 在［a,b］上的最大最小值．去掉小区间 (c − , c +  ) 后，f(x)在 [a, c −  ] [c + ,b] 上连 续 ， 从 而 一 致 连 续 ．  1  1 1  1 x  − x   ， x  x   1 1 , [a, c −  ] 时

(x')-f(x")<同样3。2x'2-x"<δ2x2x"2∈[e-b时 (x2)-f(x")<E.取6=mm1δ1δ}当x-x<6x1,x2Ec-l时, (x)-f(x2)<6(1)当x-x<6x1x2∈e-6b]时(1)同样满足 对[ab]的一个分划T.只要L(T)<E 将区间分成两类 (D)[x1-x]全部落在[ac-4或[c+E,b中 ()[xAx-x]至少有一点落在[c-E,c+刮]中 83定积分的性质 a≠b,a<b,x)在[ab]上的定积分是「f(x)db 为了运算的需要,规定 ab时f(x)d=0 Th.在[ab]上,f(x)=c( const)则fx)=c在[a,b]上可积, 且atx=c(a-b) 证明:f(x)=c在[a,b]上的积分和 ∑八()x=c∑(x-x-)=(b-a lim ∑(5)△x=cba 即cotx=c(a-b) f1(x.f2(x)在ab]上可积,则f(x)+f(x)在[ab]上也可积, 且 If(x)+f, (xld= f, (x)ar+f,()dx 证明:f;(x)+f2(x)在[ab]上的积分和

(  ) − (  )   x 1 x 1 f f 同 样  2  2 2  2 x  − x   x  x   2 2 , [c − ,b] 时 (  ) − (  )   x 2 x 2 f f ．取 min{ , }  1  2  = 当 x − x   1 2 x x  1 2 , [a, c −  ] 时， ( ) − ( )   x1 x2 f f （１）当 x − x   1 2 x x  1 2 , [c − ,b] 时 （１）同样满足． 对［a,b］的一个分划 T．只要 L(T)  将区间分成两类： （I）［ xk xk − −1 ］全部落在 [a, c −  ] 或 [c + ,b] 中． （II）[ xk xk − −1 ]至少有一点落在 [c − , c +  ] 中． 8.3 定积分的性质 a  b ， a  b . f(x)在［a,b］上的定积分是  b a f (x)dx 为了运算的需要，规定： a=b 时  b a f (x)dx ＝０  b a f (x)dx ＝－  a b f (x)dx Th1. 在［a,b］上，f(x)＝c（const）则 f(x)＝c 在［a,b］上可积， 且 cdx c(a b) b a = −  证明： f(x)＝c 在［a,b］上的积分和 =  n k k f k x 1 ( ) ＝c ( ) 1  1 = − − n k xk xk =c(b-a) 则 lim l(T )→0 =  n k k f k x 1 ( ) ＝c(b-a) 即 cdx c(a b) b a = −  Th2. ( ) 1 f x , ( ) 2 f x 在［a,b］上可积，则 ( ) 1 f x ＋ ( ) 2 f x 在［a,b］上也可积， 且  + b a [ f (x) f (x)]dx 1 2 ＝  b a f (x)dx 1 ＋  b a f (x)dx 2 证明： ( ) 1 f x + ( ) 2 f x 在［a,b］上的积分和

()+x)x=∑()x+∑/(5)△x lim∑L(5k)+()x4-lim∑f(5)x4+lim∑/(5Axk (T)→0k=1 (T)→0k=1 叮f()+f(x)k=Jf(x+∫ Th3.f(x)在[ab]上可积,则cf(x)在[ab]上也可积,且 cf(x)dx=cf(x)dx 证明:∑(5)xk=c∑/(5)x 推论:n个函数f;(x),f2(x)…fn(x),都在区间[ab]上可积 则它们的线性组合 cf;(x)+c2.f1(x)+…+cnf(x)在[ab]上也可积 ∫c1f(x)+c2f(x)+…+f,(x)k=c∫f(x)hx+c2Jf2(x Th4,fx)在[ab]上可积则fx)在[a1,b3]sab上可积 Th5.f(x)在[a,b]与[cb]上可积,则f(x)在[a,b]上可积 f(x)dx= f(r)dx+f(x)dx 推论1若f(x)在[AB]上可积,且ab,c是[A,B]上任意三点 则 f(x)dx=f(x)dx+/(x)dr 推论2若f(x)在区间[lk-1,4k](k=1,2n)上都可积,则fx)在[l,ln]上可积 且 f()dx= f()dx+ f(x)dx +.+f(x)dx

= +  n k k f k f x x 1 1 2 [ ( ) ( )] ＝ =  n k k f k x 1 1 ( ) + =  n k k f k x 1 2 ( ) lim l(T )→0 = +  n k k f k f k x 1 1 2 [ ( ) ( )] = lim l(T )→0 =  n k k f k x 1 1 ( ) + lim l(T )→0 =  n k k f k x 1 2 ( ) 即  + b a [ f (x) f (x)]dx 1 2 ＝  b a f (x)dx 1 ＋  b a f (x)dx 2 Th3. f(x)在［a,b］上可积，则 c f(x)在［a,b］上也可积，且  b a cf (x)dx ＝c  b a f (x)dx 证明： =  n k k cf k x 1 ( ) ＝c =  n k k f k x 1 ( ) 推论：n 个函数 ( ) 1 f x ， ( ) 2 f x … f (x) n 都在区间［a,b］上可积 则它们的线性组合 1 c ( ) 1 f x ＋ 2 c ( ) 2 f x ＋….＋ n c f (x) n 在［a,b］上也可积．  + + + b a n x f x f x dx c f c ( ) ( )] 2 ( ) 1 [ 1 2  ＝ c1  b a f (x)dx 1 ＋ c2  b a f (x)dx 2 ＋…＋  b a n f (x)dx Th4 .，f(x)在［a,b］上可积则 f(x)在［ 1 1 a ,b ,］  [a,b]上可积． Th5. f(x)在［a,b］与［c,b］上可积,则 f(x)在［a,b］上可积．  b a f (x)dx ＝ +  c a f (x)dx  b c f (x)dx 推论１ 若 f(x)在［A,B］上可积，且 a,b,c 是［A,B］上任意三点 则  b a f (x)dx ＝ +  c a f (x)dx  b c f (x)dx 推论２ 若 f(x)在区间［ k k l ,l −1 ］(k=1,2,…n)上都可积，则 f(x)在[ n l ,l 0 ]上可积， 且  n l l f x dx 0 ( ) ＝  1 0 ( ) l l f x dx ＋  2 1 ( ) l l f x dx ＋…＋  − n n l l f x dx 1 1 ( )

Th6f(x)∈k|ab,Vx∈[ab]有f(x)20(或f(x)≤0)则 f(x)dr20(或f(x)dtx≤0) 证明:∑f(5)△x.20 由f(x)在[ab]上可积与极限保号性→ ∫f(x)x=im∑/(x20 Th7.f(x,g(x)∈kab],x∈a1b有f(x)≤g(x,则 f(x)k≤「g(x) Th8.f(x)∈kab→f(x)∈kab]且 ∫f(x)x|J(xk 推论f(x)∈kabf(x)|≤k(cons)则 f(x)dx≤k(b 二.积分中值定理 Th9.f(x)∈Clab]则彐c∈[ab]使 f(x)dx=f(c)(b-a) 证明:已知f(x)∈CIab],则fx)在[ab上必取到最大最小值, m≤f(x)≤M a<x≤b 由Th7与Thl有 m(ba)≤∫f(x) dx <M(b-a) f( 由介值定理得到在[ab]内至少彐一c,使

Th6 f(x)  k[a,b],  x  [a,b]有 f(x)  0 (或 f(x)  0) 则  b a f (x)dx  ０(或  b a f (x)dx  ０) 证明： =  n k k f k x 1 ( )  ０ 由 f(x)在［a,b］上可积与极限保号性   b a f (x)dx ＝ lim l(T )→0 =  n k k f k x 1 ( )  ０ Th7. f(x),g(x)  k[a,b],  x  [a,b]有 f(x)  g(x)，则  b a f (x)dx   b a g(x)dx Th8. f(x)  k[a,b]  f (x)  k[a,b]且  b a f (x)dx   b a f (x)dx 推论 f(x)  k[a,b] f(x)  k(const)则  b a f (x)dx  k(b-c) 二．积分中值定理 Th9. f(x)  C[a,b].则  c  [a,b]使  b a f (x)dx ＝f(c)(b-a) 证明：已知 f(x)  C[a,b]，则 f(x)在[a,b]上必取到最大最小值， m  f(x)  M a  x  b 由 Th7 与 Th1 有 m(b-a)   b a f (x)dx  M(b-a) 或 m  b − a 1  b a f (x)dx  M 由介值定理 得到在［a,b］内至少 一 c,使

f(c)= f(x)d a<x<b 即 几何意义图8.7 f(c) 图8.7 Ihl0.f(x)y(x)∈ C[a, by(x)在[ab]上不变号,则彐c∈[ab使 f()y(x)dx=f(c) y(x) 证明:不妨设y(x)≥0 m y(x)dxs f(x)y(x)dx sMly(x)dx VX

f(c)= b − a 1  b a f (x)dx a  x  b 即  b a f (x)dx ＝f(c)(b-a) 几何意义 图 8.7 图 8.7 Th10. f(x),y(x)  C[a,b]. y(x)在［a,b］上不变号，则  c  [a,b]使  b a f (x) y(x)dx ＝f(c)  b a y(x)dx 证明：不妨设 y(x)  0  m  b a y(x)dx   b a f (x) y(x)dx  M  b a y(x)dx 1.若  b a y(x)dx ＞０ ２．若  b a y(x)dx ＝０