第六节综合例题
第六节 综合例题
例1证明:向量组α1(#0),α2,…,αm线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个as,1 <ssm,可用α1,a2,…,as-1线性表示 证:“必要性→”设a1,α2,…,αm线性 相关,则存在不全为0的m个数k1k2,…,kn 使得 k1a1+k2a2+…+kmnm=0, 我们记m个数k,kx23…,km中非零的数中下标 最大的那个数为ks,(即k判0,而且当sm时 有k s+1 s+2 .kn=0),则1<s≤m,因 为若s=1,则k1a1=0,从而a1=0,与题 设矛盾!于是k11+k2a2+…+kss=0, 因此
例1 证明：向量组α 1（≠0），α 2，…，α m线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个α s , 1 ＜s≤ m, 可用α 1，α2，…，αs－１线性表示． 证: “必要性” 设α 1，α 2，…，α m线性 相关，则存在不全为０的ｍ个数k1 , k2 , …, km 使得 k1α 1＋k2α 2＋…＋kmα m＝０， 我们记ｍ个数k1 , k2 , …, km中非零的数中下标 最大的那个数为k s ,（即k s≠0, 而且当s≠m时 有k s+1= k s+2 =…k m =0），则 １＜ｓ≤ｍ，因 为若ｓ＝１，则k1α 1 ＝0, 从而α 1＝０，与题 设矛盾！于是k1α 1＋k2α 2＋…＋k sα s＝０, 因此
k, “充分性<”设 k1a1+k2a2+…+k。as=0, 则α1,α2,…,α线性相关,于是由第二节 定理3知道 α1,a23…,αm线性相关
“充分性” 设 k1α 1＋k2α 2＋…＋k sα s＝０, 则α 1，α 2，…，α s线性相关，于是由第二节 定理３知道 α 1 , α 2 , …, α m线性相关． 1 2 1 1 2 1 k k k . k k k s s s s s s − = − − − − −
例2设tt2…,t是r个互不相同的数,r≤n, 证明向量组 as=(1,tt2,…,tn-1)(s=1,2,…,r 线性无关 证作矩阵A=(a1,2 (1)当r=n时,det(A)为 Vandermonde行 列式,于是 JAE ∏(t-t) 121>
例2 设t1 , t2 , …, t r是ｒ个互不相同的数，r ≤ n, 证明向量组 α s ＝(1, ts , ts 2 , …, ts n－1 )Ｔ (s =1, 2, …, r) 线性无关． 证 作矩阵Ａ＝(α1 , α 2 , …, α r ), 则 (1) 当ｒ＝ｎ时，det(A)为Vandermonde行 列式，于是 1 2 i j 1 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t | | (t t ), t t t n n i j n n n n A − − − = = −
因为i≠j时,轨,因此|A0,所以a1,a 2,…,an线性无关 (2)当r<n时,由矩阵A的定义有R(A)=r,因 此A的r个列向量线性无关。所以 α1,a2…,a,线性无关
因为ｉ≠ｊ时，t i≠tj , 因此 |A|≠0, 所以 α 1 , α 2 , …, α n线性无关． (2) 当ｒ＜ｎ时，由矩阵A的定义有R(A)＝r，因 此A的r个列向量线性无关。所以 α 1 , α 2 , …, α r线性无关
对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩这个事实在讨 论向量组的秩时也很有用。 例3已知四个向量a1,Q2,Q3,4,证明向量组a1 252 4 a4-a1线性相关。 证不妨设所讨论的向量为列向量,作矩阵 A=(a+a2Q2+a3,03-0404-0), 则 C1-c3 A→(01-(03,a2+a2,0y3-a,4-a1)→(0,a2+a3,a3-a,4-a1)
对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩这个事实在讨 论向量组的秩时也很有用。 例3 已知四个向量α 1 , α 2 , α 3 , α 4，证明向量组α 1 ＋ α2 , α 2＋α 3 , α 3－α 4 , α 4－α 1线性相关。 证 不妨设所讨论的向量为列向量，作矩阵 A＝(α 1＋ α2 , α 2＋α 3 , α 3－α 4 , α 4－α 1 )， 则 1 2 1 3 3 4 A ( , , , ) (0, , , ) 1 3 2 3 3 1 4 1 2 3 3 1 4 1 c c c c c c − − + → − + − − → + − −
因此R(A)≤3,所以A的四个列向量线性相关。 例4设a1=(2,0,-1,3),a2=(3,-2,1,-1 和β1=(-5,6,-5,9),阝2=(4,-4,3,-5) 证明向量组a1,α2与向量组β1,β2等价。 证 ÷2 a -2)10 A F2-3r 10 ll 51l
因此R(A)≤3，所以A的四个列向量线性相关。 例4 设α 1 ＝ (2, 0, －1, 3 ), α 2 ＝ (3, －2, 1, －1) 和 β1 ＝ (－5, 6, －5, 9 ), β2 ＝(4, －4, 3, －5), 证明向量组α1，α 2与向量组β1，β2等价。 证I 1 2 2 1 2 1 1 3 3 ( 2) 1 3 2 2 2 2 5 5 11 11 2 2 2 4 4 2 0 1 3 1 0 1 0 A , 3 2 1 1 0 2 0 1 r r r r − − − − − = = ⎯⎯⎯→ → − − − − −
B 56-59 B 十P B2443 4 ×(-1) 1-22-4 -4r 门÷ 4 0-号 04-511 511 4 因此矩阵A和B有相同的行最简形,所以向量组a 1,α2与向量组β1,β2等价 证 20-13 20-13 20-13 74-2n 11++210 56-59 04-511 B2|4_43-5
因此矩阵A和B有相同的行最简形，所以向量组α 1，α 2与向量组β1，β2等价。 证II 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( 1) 1 3 4 4 2 2 5 11 4 4 5 6 5 9 1 2 2 4 4 4 3 5 4 4 3 5 1 2 2 4 1 0 , 0 4 5 11 0 1 r r r r r r r r B + − + − − − − − = = ⎯⎯⎯→ − − − − − − − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − − 4 1 3 1 2 2 1 1 2 2 2 3 1 2 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 3 2 1 1 0 4 5 11 0 4 5 11 , 5 6 5 9 0 4 5 11 0 0 0 0 4 4 3 5 0 4 5 11 0 0 0 0 r r r r r r r C − + + − − − − − − − − − = = → → − − − − − − −
因此R(C)=2,而显然a1,2与向量组β1,阝2 均线性无关,故a1,a2与向量组β1,阝2都是C 的行向量组的最大无关组,所以向量组α1,a 2与向量组β1,β2等价
因此R(C)＝2，而显然α 1，α 2与向量组β1，β2 均线性无关，故α 1，α 2与向量组β1，β2都是C 的行向量组的最大无关组，所以向量组α 1，α 2与向量组β1，β2等价
对分块矩阵M规定初等变换如下: (1)互换M的两分块行(列) (2),用满秩矩阵K左(右)乘M的某一分块行 (列), (3).用非零矩阵K左(右)乘M的某一分块行 (列)加到另外一分块行(列)上。 可以证明,对分块矩阵作初等变换不改变矩阵的 秩。 矩阵的初等变换是一个非常有用的工具。对于分 块矩阵的初等变换若应用得当,则会为解决问 题带来相当大的方便
对分块矩阵M规定初等变换如下： (1). 互换M的两分块行（列）， (2). 用满秩矩阵K左（右）乘M的某一分块行 （列）， (3). 用非零矩阵K左（右）乘M的某一分块行 （列）加到另外一分块行（列）上。 可以证明，对分块矩阵作初等变换不改变矩阵的 秩。 矩阵的初等变换是一个非常有用的工具。对于分 块矩阵的初等变换若应用得当，则会为解决问 题带来相当大的方便