第二节n阶行列式的定义
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义,让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的(6)我们定义 13 c21C2c2|=cnC2C3+c12c2c31+c13C2132 -C,Cac 31-C12C21C C,, C 112332 对行列式中元素第一个下标表示元素所在 的行,称为行标;第二个下标表示元素所在的列, 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点: (1)表达式共有3!=6项求代数和。且每项均为
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义 c c c c c c c c c , c c c c c c c c c c c c c c c c c c 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 − − − = + + 对行列式中元素 ，第一个下标i表示元素所在 的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点： ij c （1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积 (2)6项中有3项的代数符号为正,3项的代数符 号为负; (3)如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列,则每一项元素的列标排列分别为123,231,312以 及321,213,132,恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。 (4)排列123,231,312的逆序数分别为0,2,2, 而排列321,213,132的逆序数分别为3,1,1,即在6项 求和中,取行标为标准顺序的排列时,其列标排列为 偶排列时,则该项的代数符号为正;当列标排列为奇 排列时,则该项的代数符号为负
不同行不同列的三个元素的乘积； （2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负； （3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。 （4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负
因此,我们可以把三阶行列式的定义写成 an1a2c3=∑(- C1p, C2p.ps P1p2p3 32C3 33 其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列,t是这 个排列的逆序数,共有3!=6项求和。其中求和符号 ∑表示连加。 完全类似,我们可以定义n阶行列式。 定义1设有n2个数,排成n行n列的数表
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成 ( 1) . 1 2 3 1 1 2 2 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = − p p p p p p t c c c c c c c c c c c c 其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。 完全类似，我们可以定义n阶行列式。 定义1 设有 个数，排成n行n列的数表 2 n
12 22 2 n3 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以 符号(-),得到形如 P1"2P2 的项,其中P1P2…Pn为自然数1,2, n的 个全排列,t为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有n!个,因此形如(1)式的项共有n项。所有 这n!项的代数和
1 2 3 21 22 2 11 12 1 n n n n n a a a a a a a a a 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以 符号 , 得到形如 t (−1) p p npn a a a 1 1 2 2 t (-1) (1) 的项，其中 为自然数1，2，……，n的 一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有 这n!项的代数和 p1 p2 pn
pi 2p pn P1P2…Pn 称为n阶行列式( determinant),记为 12 C D 22 2 或者简记作△(a)或者det(a 数a1n(i=1,2,…,m;=1,2,…,n)称为行列式△ (an)的元素。 显然,按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
称为n阶行列式（determinant），记为 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 或者简记作Δ（ a ）或者 ij det( ) aij 。 数 ai j(i =1,2, ,n; j =1,2, ,n) 称为行列式Δ ( ) aij 的元素。 显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列 n n p p p a p a p anp 1 2 1 1 2 2 t (-1)
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见,我们称行列式中a1,C2,,am 为行列式的主对角线, 21 而称a1n2C2m12an1的线段为行列式的次对角线或副对 角线 例1证明主对角行列式(其中对角线上的元素为 a1(i=12,…n)其余的元素为0)的值为
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见，我们称行列式中 a a ann , , , 11 22 为行列式的主对角线， n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 而称 的线段为行列式的次对角线或副对 角线。 1 2 1 1 , , a n a n− an 例1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为 a (i 1,2, ,n) ii = 其余的元素为0）的值为
nn 00 次对角行列式(其中对角线上的元素为an,计+j=n+1 i=1,2,…,n,其余的元素为0)的值为 0 0 a n /=(-1)-2 In 2n-1 00 证:第一式是显然的。下面我们只证明第二个结 果
n n n n a a a a a a 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 = 次对角行列式（其中对角线上的元素为 a ,i + j = n +1, ij i =1,2, ,n ，其余的元素为0）的值为 1 2 1 1 ( 1)/ 2 1 2, 1 1 ( 1) 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n a a a a a a − − − = − 证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结 果
根据行列式的定义 0 0 0 0 a d P12p2 P1"Pn 00|=(-1) 其中t为n(n-1)…21的逆序数,因此由第一节的例2 可知t=n(n-1)/2 例2证明下三角行列式 0 D 1122
根据行列式的定义 = − 0 0 0 0 0 0 1 2, 1 1 n n n a a a n n p p p a p a p anp 1 2 1 1 2 2 t (-1) 1 2, 1 1 t (-1) = a n a n− an 其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2 可知t＝n(n－1)/2。 例2 证明下三角行列式 n n n n n n a a a a a a a a a D 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 = =
证:由于当j>时,an=0,因此行列式的求和 表达式中可能不为0的项的n个因子的下标i应有≤i 即P1s1,P2≤2,…,P,sm而在所有排列P1P2…Pn中 能满足上述关系的排列只有一个,即1,2……n,所以 行列式中可能不为0的项只有一项,即(-1)a12…am, 这一项的符号显然为正(因为t=0),所以
= 0 ij 证： 由于当j > i时， a ，因此行列式的求和 表达式中可能不为0的项的n个因子的下标 i ip 应有 p i i 即 p1 1, p2 2, , pn n 而在所有排列 p1 p2 pn 中， 能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以 行列式中可能不为0的项只有一项，即 , 这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以 a11a22 ann t (-1) D = a11a22 ann