第三节矩阵的秩和初等变换
第三节 矩阵的秩和初等变换
矩阵的秩( Rank of a matrix) 定义1在mxn矩阵A中,任取k行k列(k≤m,k ≤n),位于这些行列交叉处的k2个元素,不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 式,称为矩阵A的k阶子式。 定义2如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D, 并且所有的r+1阶子式(如果有的话)全为零 则称D为矩阵A的最高阶非零子式,称r为矩阵 A的秩,记为R(A)=r,并规定零矩阵的秩等 于零
❖ 矩阵的秩(Rank of a matrix) 定义1 在mn矩阵A中，任取k行k列（k m，k n），位于这些行列交叉处的k 2个元素，不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 式，称为矩阵A的k阶子式。 定义2 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D， 并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零， 则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为 矩阵 A的秩，记为R(A) = r，并规定零矩阵的秩等 于零
如果A是n阶方阵,则R(A)≤n。当R(A)=n时, 称A为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵。显然, A为满秩矩阵的充分必要条件是A的n阶子式不 等于零,即|A|≠0 令如果R(A)=r,容易证明,对k>r,A中的k阶 子式(若存在)全部等于零。(事实上,由矩 阵秩的定义知道,P1阶子式全为零;k=r+2时 将k阶子式按行(或列)展开,得到r+2个r+1 阶子式的线性组合,而这些r+1阶子式全为零 故该k阶子式为零。于是,可用数学归纳法证 明)
❖ 如果A是n阶方阵，则R(A) n 。当R(A) = n时， 称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵。显然， A为满秩矩阵的充分必要条件是A的n阶子式不 等于零，即|A| 0 。 ❖ 如果R(A) = r，容易证明，对k > r ，A中的k阶 子式（若存在）全部等于零。（事实上，由矩 阵秩的定义知道，r+1阶子式全为零；k=r+2时， 将k阶子式按行（或列）展开，得到r+2个r+1 阶子式的线性组合，而这些r+1阶子式全为零， 故该k阶子式为零。于是，可用数学归纳法证 明）
对矩阵A,由矩阵秩的定义可得如下两个结论: (1)若A中有『阶非零子式,则R(A)≥r; (2)若A中所有阶子式全为零,则R(A)r
对矩阵A，由矩阵秩的定义可得如下两个结论： ❖ （1） 若A中有r阶非零子式，则R(A)≥r； ❖ （2） 若A中所有r阶子式全为零，则R(A)<r
例1求如下矩阵的秩 A=1-123 2-246 B 000 0200 0 2430 020 0
例1 求如下矩阵的秩 1 0 1 2 1 1 2 3 2 2 4 6 A − = − − 1 0 1 2 1 0 2 1 4 0 0 0 0 3 2 00000 B − = − −
解 可以验证,A中有一个二阶子式不为0, 而其所有的3阶子式全为0,故R(A)=2 对于B,显然R(B)=3
解： 可以验证，A中有一个二阶子式不为0， 而其所有的3阶子式全为0，故R(A)＝2。 对于B，显然R(B)＝3
令上例中的B这种类型的矩阵称为行阶梯型矩阵。 其特点为: 1元素全为零的行(如果有的话),位于矩阵的 最下面; 2自上而下各行中的第一个非零元素左边的零的 个数,随着行数的增加而增加。 以后,我们一般都是用初等变换的方法把矩阵化 为这种行阶梯型矩阵,再求秩
❖ 上例中的B这种类型的矩阵称为行阶梯型矩阵。 其特点为： 1.元素全为零的行（如果有的话），位于矩阵的 最下面； 2.自上而下各行中的第一个非零元素左边的零的 个数，随着行数的增加而增加。 以后，我们一般都是用初等变换的方法把矩阵化 为这种行阶梯型矩阵，再求秩
4矩阵的初等变换(E| ementary operation) 定义3下面的三种变换称为矩阵的初等行变换: ().对调两行(对调i、j行,记作rr) (i).以非0数乘以某一行的所有元素; (第乘k,记作kr1) (i)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第行的k倍加到第行上,记作r+k『把定义中 的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定 义(所用的记号分别为c>C1kc;c+kc1)。 矩阵的初等行变换和初等列变换,统称为初等变换 显然,每一种初等变换都是可逆的,并且其逆变换也 是同一种初等变换
❖ 矩阵的初等变换(Elementary operation) 定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： (i). 对调两行（对调i、j行，记作rirj） (ii). 以非0数乘以某一行的所有元素； （第i行乘k，记作kri） (iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去（第i行的k倍加到第j行上，记作rj+ kri把定义中 的“行”换成“列” ，即得矩阵的初等列变换的定 义（所用的记号分别为cicj, kci , cj+kci）。 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。 显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也 是同一种初等变换
定义4如果矩阵A经过有限次初等变换变 成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价( Equivalent), 记为A~B。 根据定义不难证明,矩阵的等价满足下述性质 a)反身性:A~A; b)对称性:若A~B,则B~A; c)传递性:若A~B,而B~C,则A~C
❖ 定义4 如果矩阵A经过有限次初等变换变 成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价(Equivalent)， 记为A～B。 根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述性质： a) 反身性：A～A； b) 对称性：若A～B，则B～A； c)传递性：若A～B，而B～C，则A～C
定理1如果A~B,则R(A=R(B) 即初等变换不改变矩阵的秩 证明思想:只需证明任何一种初等 变换对行列式是否为0没有影响即可。 如果我们经过初等变换将矩阵A变成 阶梯型矩阵B,得到矩阵B的秩,则由定 理1知,矩阵A的秩就等于矩阵B的秩
定理1 如果A～B，则R(A)=R(B)。 即初等变换不改变矩阵的秩。 证明思想：只需证明任何一种初等 变换对行列 式是否为0没有影响即可。 如果我们经过初等变换将矩阵A变成 阶梯型矩阵B，得到矩阵B的秩，则由定 理1知，矩阵A的秩就等于矩阵B的秩