《线性代数》第六章 二次型（6.1）二次型的定义及其矩阵表示

第六章二次型

第六章 二次型

第一节二次型的 定义 及其矩阵表示

第一节 二次型的 定义 及其矩阵表示

定义1含有n个变量的二次齐次函数 f(x,x2…,xn)=a1x2+a2x2…+anx2+ 2a2x2+23xx3+…+2an21nx1xn(1) 称为二次型。当a1为复数时,f称为复二次型。 当a为实数时,f称为实二次型,本章仅讨论实 二次型。 若令 1<J f(x1,x2…xn)=a1x2+a2x1x2+…+anxn+ 21x2X1+a22x2+…+a2mx2xn+ +an,Xx+2m2七n2+……+amn

定义1 含有n个变量的二次齐次函数 称为二次型。当aij为复数时，f 称为复二次型。 当aij为实数时，f 称为实二次型，本章仅讨论实 二次型。 若令 则 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 (1) n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x − − = + + + + + + + a a i j ji ij =  2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 2 2 ( , , , ) n1 a n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x x x a x x a x = + + + + + + + + + + + +

即f(x1x,…x)=∑∑ 若记Aa21a2 X三 则 n2 f(x,x2…,xn)=∑∑axx1=x'Ax 把A称为二次型(1)对应的矩阵,A的秩称为二 次型(1)的秩

即 把A称为二次型（1）对应的矩阵，A的秩称为二 次型（1）的秩。 1 2 1 1 ( , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = =  11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x             = =                 若记 则 1 2 1 1 ( , , , ) ' n n n ij i j i j f x x x a x x x Ax = = = =  

例1求二次型 f(x,x2…x)=x2-x2+5x2x3+2x32+4x2 解 1000 0004

例1 求二次型 解 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 3 4 ( , , , ) 5 2 4 n f x x x x x x x x x = − + + + 5 2 5 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 4 A     −   =      

对于二次曲面 ax+bxy+cy=d 我们可以通过一个坐标旋转 x=xcos 8 x cos 0 -sinO(x y=x'sin6+y'cos0 sin e cos e八y 把二次曲面化为标准形 从代数的角度看,化标准形的过程就是通过变量 的坐标变换化简一个二次齐次多项式

对于二次曲面 我们可以通过一个坐标旋转 把二次曲面化为标准形 从代数的角度看，化标准形的过程就是通过变量 的坐标变换化简一个二次齐次多项式。 2 2 ax bxy cy d + + = 'cos 'sin cos sin ' 'sin 'cos sin cos ' x x y x x y x y y y          = − −            =  = +      即 2 2 a x c y d ' ' ' ' + =

我们下面推广坐标旋转变换的概念 定义2设变量x1,x2,…,xn能用变量y1 y2,…,yn表示为 Cuv,+C 11 12 …+C1 x 2=C21V1+C22v2t.+ Cny · xn=Cn1y1+cn2y2+……+cmyn X1 11 12 y y 即 y2 y

我们下面推广坐标旋转变换的概念。 定义2 设变量x1，x2，…，xn能用变量y1， y2，…，yn表示为 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 11 12 1 1 1 2 21 22 2 2 2 1 2 (*) n n n n n n n nn n n n n n n nn n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y x c c c y y x c c c y y C x c c c y y  = + + +   = + + +     = + + +               = =              即        

式称为从变量y1,y2,…,y到变量x1 2……,x的线性变换,其中c为常数(i,j=1 2,…,n)。矩阵C称为从变量y1,y2…,yn 到变量x1,x2,…,xn的过渡矩阵。 当C为正交矩阵时,(*)称为正交变换,如坐标旋 转变换就是正交变换

*式称为从变量y1，y2，…，yn到变量x1 , x2，…，xn的线性变换，其中cij为常数（i，j=1， 2，…，n）。矩阵 C称为从变量y1，y2，…，yn 到变量x1 , x2，…，xn的过渡矩阵。 当C为正交矩阵时，（*）称为正交变换，如坐标旋 转变换就是正交变换

对于实二次型 f(x,x2,…,xn)=∑∑axx=x'Ax i=1j=1 如果作正交变换x=cy则 f(x2x2…,x,)=∑∑a1x1=xAx (Cy)ACy=y 其中cAC仍是对称阵,y(cAc)y是 y1,y2,…,yn的一个二次型

对于实二次型 如果作正交变换 x=Cy, 则 其中CAC仍是对称阵，y (CAC)y是 y1，y2，…，yn的一个二次型。 1 2 1 1 ( , , , ) ' n n n ij i j i j f x x x a x x x Ax = = = =   1 2 1 1 ( , , , ) ' ( )' ' ' n n n ij i j i j f x x x a x x x Ax Cy ACy y C ACy = = = = = =  

因此我们只要找到正交矩阵C (即c′=C-1),使得C'AC为对角阵, 则f就化为只含有y1,y2,…,y平方项而 没有y1’y2,…,yn交叉相乘的项。称此 y1,y2,…,yn的二次型为f的标准形

因此我们只要找到正交矩阵C （即C  ＝C－1），使得C AC为对角阵， 则 f 就化为只含有y1，y2，…，yn平方项而 没有y1，y2，…，yn交叉相乘的项。称此 y1，y2，…，yn的二次型为 f 的标准形