《线性代数》第六章 二次型（6.2）化二次型为标准形

第二节化二次型 为标准形

第二节 化二次型 为标准形

如何通过正交线性变换x=cy, 把二次型f(x1X23…Xn)=xAx 化为y1,y2,…,y的平方和,即化为 d1y2+d2y2+…+dny2?

如何通过正交线性变换x=Cy， 把二次型 f (x1 , x2 , …, xn）= xAx 化为y1 , , y2，…，yn的平方和，即化为 2 2 2 1 1 2 2 ? d y d y d y + + + n n

在前面我们已经证明过,对于任意一个n阶实对 称矩阵A,一定存在正交矩阵P, 使得P-1AP=A,而由于P-1=P,则有 P/APEA 定理1(主轴定理)对于任意一个n元二次型 f∫(x1,x 2 9·"n )=xAx 存在正交变换x=Qy(Q为n阶正交矩阵),使得 x' Ax=y(oao)y=Myi+n,y2+.+a,y

在前面我们已经证明过，对于任意一个n阶实对 称矩阵A，一定存在正交矩阵P， 使得P－1AP=，而由于P－1=P ，则有 PAP=. 定理1（主轴定理）对于任意一个n元二次型 存在正交变换x=Qy（Q为n阶正交矩阵），使得 1 2 ( , , , ) ' n f x x x x Ax = 2 2 2 1 1 2 2 ' '( ) n n x Ax y Q AQ y y y y = = + + +    

其中1,2,…,λn是实对称矩阵A的n个特征 值,Q的n个列向量α1,a2,…,αn是A对应于特 征值入1,2,…,n的标准正交特征向量。 例2用正交变换法,将二次型 f(x12x2x3)=2x12+5x2+5x2+4x1x2-4x1x3-8x2x3 化成标准形。 解二次型对应矩阵为 22-2 A=25-4 2-45

其中1，2，…，n是实对称矩阵A的n个特征 值，Q的n个列向量1，2，…，n是A对应于特 征值1，2，…，n的标准正交特征向量。 例2 用正交变换法，将二次型 化成标准形。 解 二次型对应矩阵为 222 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 2 5 5 4 4 8 = + + + − − 2 2 2 2 5 4 2 4 5 A   −   = −       − −

其特征多项式1-4=(2-1)(2-10) A的特征值入=1,A2=1,3=10,由方程组 XI 000 和 22x1 254 000 245(x

其特征多项式 A的特征值1=1，2=1，3=10，由方程组 和 2    I A− = − − ( 1) ( 10) 1 2 3 1 2 2 0 2 4 4 0 2 4 4 0 x x x       − −      − − =                  − 1 2 3 8 2 2 0 2 5 4 0 2 4 5 0 x x x       −      − =                 

分别求得对应入=入2=1的线性无关特征向量 X=(-2,1,0),x2=(2,0,1 和入3的特征向量 3=(1,2,-2) 对x1,X2用 Schmidt.交化并单位化,再对x3单 位化,记相应的向量为 2√5√5 24√5√ 2 15153

分别求得对应1=2=1的线性无关特征向量 x1=(－2，1，0) ，x2=(2，0，1) 和3的特征向量 x3=(1，2，－2) 对x1，x2用Schmidt正交化并单位化，再对x3单 位化，记相应的向量为 1 2 3 2 5 5 2 5 4 5 5 0 5 5 15 15 3 1 2 2 3 3 3          = − =            = −    

取正交阵 52 15 √545 Q=(51,92,5) 153 0 A0=0AQ 10

取正交阵 则 1 2 3 2 5 2 5 1 5 15 3 5 4 5 2 ( , , ) 5 15 3 5 2 0 3 3 Q        −     = =         −     1 1 1 10 Q AQ Q AQ −     = =       

令X=(x1,X2,X3)和y(y1,y2y3’,作正交 变换,x=Qy,原二次型就化成标准形 x' Ax=y( 2AD)y=y1+y2+10y3 我们下面可给出这个例子的几何解释,对于在自 然坐标系e1,e2,e3下的二次曲面 2x1+5x2+5x3+4x1x2-4x1x3-8x2x3

令x=(x1， x2，x3 ) 和 y=(y1, y2 y3 ) ，作正交 变换，x=Qy，原二次型就化成标准形 我们下面可给出这个例子的几何解释，对于在自 然坐标系e1，e2，e3下的二次曲面 2 2 2 1 2 3 x Ax y Q AQ y y y y ' '( ) 10 = = + +  222 2 5 5 4 4 8 1 1 2 3 1 2 1 3 2 3 x x x x x x x x x + + + − − =

若将坐标系e1,e2,e3变换为另一直角坐 标系 25 2√545√5 15153 523 2√52√ 515 4 (1292)=(e1,e2,e3) 323 15 0

若将坐标系e1，e2，e3变换为另一直角坐 标系 即 1 2 3 2 5 5 2 5 4 5 5 0 5 5 15 15 3 1 2 2 3 3 3          = − =            = −     1 2 3 1 2 3 2 5 2 5 1 5 15 3 5 4 5 2 ( , , ) ( , , ) 5 15 3 5 2 0 3 3    e e e     −     =         −    

则在1,52,52坐标系下,二次曲面方程为 y+y2+10y3=1 由空间解析几何可知,以上式子表达的是空间的 个椭球面。该椭球的三个主轴长度分别为 与特征值的关系为 ,—

则在ξ1，ξ2，ξ3坐标系下，二次曲面方程为 由空间解析几何可知，以上式子表达的是空间的 一个椭球面。该椭球的三个主轴长度分别为 与特征值的关系为 2 2 2 y y y 1 2 3 + + = 10 1 1 1, 1, 10 1 2 3 1 1 1 , ,   