中山大学：《数学分析》第一讲 整体与部分

数学分析方法论选讲 第一讲整体与部分3 姚正安 §1.3重极限和路径极限 本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径 极限)的关系.为方便起见,我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及 上、下极限与连续性.值得注意的是单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言 趋于某点仅有两个方向,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多 问题131海涅(Heme)定理:lmf(x,y)存在的充要条件是对任给的点列 {Pn}mP=P=(xo,y),Pn≠Pn{Pn}落在f(x,y)的定义域内且mf(P)存在 证明本问题的证明与问题124的证明完全类似证明留给读者 在多就是函数中所谓的方向极限即沿某一方向取极限所谓的路径极限即是沿某 路径取极限. 问题1.32重极限存在,则任两条路径极限存在且相等. 分析:所谓的路径极限即是某曲线C落在∫(x,y)的定义域中,且此曲线C过点 (x0,y),当(xy)∈C,取(x,y)→(x02y)时f(x,y)的极限 证明:设 imf(x,y)=A,则对任给的E>0,存在δ>0,当 y→0 0<|x-x<60<y-y|<6且(xy)落在f(xy)的定义域中时有(xy)-4<E 由路径C过点(xn,y),且(x,y)∈C,(x,y)→(x0,y),从而 0<x-x<00<y-y0<6时,有 <E 于是有,mf(x,y)=A 方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时, 落在定义域的方向极限一定存在,反之不一定正确,我们也常用问题1.3.1的逆否命题 来证明。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧

数学分析方法论选讲 第一讲 整体与部分 3 姚正安 § 1.3 重极限和路径极限 本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径 极限)的关系.为方便起见,我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及 上、下极限与连续性.值得注意的是单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言 趋于某点仅有两个方向,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多. 问 题 1.3.1 海涅 (Heine) 定 理 : f (x y) y y x x lim , 0 0 → → 存 在 的充 要条 件是 对任 给 的点 列 Pn , ( ) 0 0 0 lim P P x , y n n = = → , Pn  P0 ,Pn  落在 f (x, y) 的定义域内且 ( ) n n f P → lim 存在. 证明:本问题的证明与问题 1.2.4 的证明完全类似,证明留给读者． 在多就是函数中,所谓的方向极限即沿某一方向取极限.所谓的路径极限即是沿某一 路径取极限． 问题 1.3.2 重极限存在，则任两条路径极限存在且相等. 分析: 所谓的路径极限即是某曲线 C 落在 f (x, y) 的定义域中,且此曲线 C 过点 ( ) 0 0 x , y ,当 (x, y)C ,取 ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y 时 f (x, y) 的极限. 证明:设 f (x y) A y y x x = → → lim , 0 0 , 则对任给的   0 , 存 在   0 , 当 0  x − x0   ,0  y − y0   且 (x, y) 落在 f (x, y) 的定义域中时,有 f (x, y)− A   . 由路径 C 过 点 ( ) 0 0 x , y , 且 (x, y)C , ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y , 从而当 0  x − x0   ,0  y − y0   时,有 f (x, y)− A   , 于是有 ( ) ( ) ( ) f (x y) A x y C x y x y =  → lim , , 0 0 , , . 方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时, 落在定义域的方向极限一定存在，反之不一定正确，我们也常用问题 1.3.1 的逆否命题 来证明。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧

数学分析方法论选讲 问题133(1)证明当(x,y)→>(00)时,函数xy的方向极限存在但重极限不存 (2)lm_x不存在,但沿任意方向,方向极限为0 【证明】(1)设通过原点的方向为6,则方向极限为 co p(cos Bo +sin Bo) 我们看到x+y=0不在定义域内,但如某点无限靠近x+y=0,则一可充分大 x+ y 我们用扰动方法,取C:y=-x+x3,则 xy=lim x+y 不存在 由问题132,知lm-x不存在 (2)取C1:y=0,则 取C2:y=x2,则 r,y)EC2 由问题132知m、+1 不存在,但对任给的方向b:x=pcos日,y=psn 方向极限为:

数学分析方法论选讲 问题 1.3.3 （1） 证明当 （x, y) → (0,0) 时，函数 x y xy + 的方向极限存在但重极限不存 在； （2） 4 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 不存在，但沿任意方向，方向极限为 0。 【证明】（1）设通过原点的方向为  0 ，则方向极限为 0 (cos sin ) cos sin lim lim 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 2 0 = + = +  = = → → → x y x y y x y x            , 我们看到 x + y = 0 不在定义域内，但如某点无限靠近 x + y = 0 ，则 x y xy + 可充分大， 我们用扰动方法，取 : , 3 C y = −x + x 则 3 3 0 ( , ) 0 0 ( ) lim lim x x x x x y xy x x y C y x − + = + →  → → 不存在。 由问题 1.3.2，知 x y xy y x + → → 0 0 lim 不存在。 （2）取 C1 : y = 0 ，则 0 0 lim lim 4 0 4 2 2 ( , ) 0 0 1 = = + →  → → x y x x y x x y C y x 。 取 2 2 C : y = x ，则 2 1 2 lim lim 4 4 0 4 2 2 ( , ) 2 0 0 = = + →  → → x x x y x y x x y C y x 。 由问题 1.3.2 知 4 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 不存在，但对任给的方向 0 0 0  : x =  cos , y =  sin  ， 方向极限为：

数学分析方法论选讲 ry=lim pcos sin e os6 (i)sn6=0,则coSO=±1,从而此方向极限为0 (i)snbn≠0,则方向极限为 lim p cos" 0o sin 8o 0 6+sn26 注意:从问题1.3.3的(2)可知,二元函数与一元函数的极限已有区别,在一元函数 中,两个方向极限(左、右极限)存在且相等,则极限存在,但这里则不然,即使对任给的 方向极限存在且相等,但重极限任可能不存在 问题1.34设∫(x,y)的定义域是连通的(即任给定义域中两点,可用一折线连结),则 im∫(x,y)=L的充要条件是(x,y)沿任何连续曲线趋于(x0,y)时,f(x,y)趋于L。 【证明】问题1.32已证明了必要性,下证充分性。任取(xn,yn)>(x0,y),由连续 性依次连接点列{(xny)}的相邻各点即得一连续曲线,那么∫(xy)则沿此连续曲线趋于 (x,y)时,f(x,y)趋于L。因(xn,yn)为任意趋于(x0,y)的点列,根据海涅( Heine) 定理,lmnf(x,y)=L。 y→y 其实,从证明中我们看到,如果∫(x,y)的定义域为有限个连通分支,问题134仍正确 只是我们把落在各连通分支的点分别做一连续曲线,然后可证得相应结论,现在我们可以弄 清单变量函数与多变量函数的本质区别,对单变量而言,通过点(x0,y)的连续路径总摆脱 不了左、右方向趋于(x0,y),而对多变量区域而言,一连续路径可能根本不沿任何方向, 而是绕“曲线”趋于(x0,y),如y=-x+x3,所以方向极限非本质极限,这也反映了单变 量函数部分极限的简单性和多边量函数部分极限的复杂性。同样对单变量函数和多变量函数 的微分学而言,由定义域简繁导致了本质的区别,在单变量微分学中,可导必可微,对于多 变量微分学,甚至即使所有的方向导数存在也未必可微

数学分析方法论选讲 0 2 0 2 4 0 0 2 0 4 2 2 cos , sin 0 0 cos sin cos sin lim lim 0 0            + = + → = = → → x y x y x y y x （i） sin  0 = 0 ，则 cos 0 = 1 ，从而此方向极限为 0。 （ii） sin  0  0 ,则方向极限为 0 sin 0 cos sin cos sin lim 0 2 0 2 0 2 4 0 0 2 0 = = →   +       。 注意：从问题 1.3.3 的（2）可知，二元函数与一元函数的极限已有区别，在一元函数 中，两个方向极限（左、右极限）存在且相等，则极限存在，但这里则不然，即使对任给的 方向极限存在且相等，但重极限任可能不存在。 问题 1.3.4 设 f (x, y) 的定义域是连通的（即任给定义域中两点，可用一折线连结），则 f x y L y y x x = → → lim ( , ) 0 0 的充要条件是 (x, y) 沿任何连续曲线趋于 ( , ) 0 0 x y 时， f (x, y) 趋于 L 。 【证明】问题 1.3.2 已证明了必要性，下证充分性。任取 ( , ) ( , ) 0 0 x y x y n n → ，由连续 性依次连接点列 {( , )} n n x y 的相邻各点即得一连续曲线，那么 f (x, y) 则沿此连续曲线趋于 ( , ) 0 0 x y 时， f (x, y) 趋于 L 。因 ( , ) n n x y 为任意趋于 ( , ) 0 0 x y 的点列，根据海涅（Heine） 定理， f x y L y y x x = → → lim ( , ) 0 0 。 其实，从证明中我们看到，如果 f (x, y) 的定义域为有限个连通分支，问题 1.3.4 仍正确， 只是我们把落在各连通分支的点分别做一连续曲线，然后可证得相应结论，现在我们可以弄 清单变量函数与多变量函数的本质区别，对单变量而言，通过点 ( , ) 0 0 x y 的连续路径总摆脱 不了左、右方向趋于 ( , ) 0 0 x y ，而对多变量区域而言，一连续路径可能根本不沿任何方向， 而是绕“曲线”趋于 ( , ) 0 0 x y ，如 3 y = −x + x ，所以方向极限非本质极限，这也反映了单变 量函数部分极限的简单性和多边量函数部分极限的复杂性。同样对单变量函数和多变量函数 的微分学而言，由定义域简繁导致了本质的区别，在单变量微分学中，可导必可微，对于多 变量微分学，甚至即使所有的方向导数存在也未必可微

数学分析方法论选讲 问题13.5二元函数f(x,y)在点(x0,y)可微,必存在所有方向的方向导数,而且相反 方向的方向导数互为相反数。 【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令P=√(x-x)2+(y-1)2=√Ax2+Ay2, 所谓的可微即是存在常数A、B使得 Ac-dc 这里△=f(x,y)-f(x0,y)=f(x0+Ax,y+△y)-f(x0,y) d=A(x-xo)+ B(y-yo= AAx+ bay 而沿方向b的方向导数为 lim coSco, yo t psi 【证明】设z=f(x,y)在(x0,y)可微,则由A=c+o(p),得 f(o+pcos,, yo+psin 0o)-f(xo, yo)=Apcos8+ Bpsin 0o +o(p) 由此沿6的方向导数为 af 00+ Bsin 8o 又注意到O的反方向为x+6,我们有(cos(x+6,sn(x+6)=-co,snB0), 所以可证最后的结论。 在方向导数中取O=0,即为偏导数,取=z,即得偏导数,这是在可微的 前提下,如果不可微,即使沿O=0的方向导数存在,也未必有存在。例如取 0.x≥0. f(x, y) 则沿6=0的方向导数存在,但 f(0+△x.0)-f(0,0) 不存在。一般地,我们知道,可微必可导,可微必连续,但连续与偏导数存在一般没有什

数学分析方法论选讲 问题 1.3.5 二元函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微，必存在所有方向的方向导数，而且相反 方向的方向导数互为相反数。 【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令 2 2 2 0 2 0 ＝ (x − x ) +(y − y ) = x +y ， 所谓的可微即是存在常数 A、B 使得 lim 0 0 =  − →  z dz 这里 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 z = f x y − f x y = f x + x y + y − f x y ， dz = A(x − x ) + B(y − y ) = Ax + By 0 0 。 而沿方向  0 的方向导数为       ( cos , sin ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x + y + − f x y → 。 【证明】设 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微，则由 z = dz +() ，得 ( cos , sin ) ( , ) cos sin ( ) f x0 +   0 y0 +   0 − f x0 y0 = A  0 + B  0 + o  。 由此沿  0 的方向导数为 0 0 0 cos sin   A B f = +   。 又注意到  0 的反方向为  + 0 ，我们有 (cos( ),sin( )) (cos ,sin )  + 0  + 0 = −  0  0 ， 所以可证最后的结论。 在方向导数中取  0 ＝0 ，即为偏导数 x f   ，取 2 0   = ，即得偏导数 y f   ，这是在可微的 前提下，如果不可微，即使沿  0 ＝0 的方向导数存在，也未必有 x f   存在。例如取      = 1, 0, 0, 0, ( , ) x x f x y 则沿  0 ＝0 的方向导数存在，但 x f x f x f x  +  − =    → (0 ,0) (0,0) lim 0 不存在。一般地，我们知道，可微必可导，可微必连续，但连续与偏导数存在一般没有什

数学分析方法论选讲 么关系,而且问题1.35的逆命题不正确。 问题136证明f(x,y)=√x2+y2在(0,0)沿任何方向的方向导数存在且相等,但偏导 〔不存在,从而不可微。 【证明】 f(ecos 60)-f(0.0) 0 =lim =lm不存在 同理 不存在。我们亦可用问题1.3.5来证 即使有偏导数存在,各方向导数存在也未必可微。 问题137证明f(x,y)=、在(0)存在偏导数,且存在各方向导数,证明f(x,y) 在(0,0)不可微 【证明】f(00)=1mf(0+△x0)-f(09≠ls4=0 0 同理f”(0.0)=0。对方向,有 a= lim /(coso, Psin Bo)-//(0,0) coso sin Bo 另外,假定∫(x,y)在(0,0)可微,则 dz △x+ △y=0 从而im4-d 0。但 lim /(pcos, psi e) 6snl≠0 (这里Ax= Pcos,y=psin6),矛盾 从此问题的证明中我们可以看到可微要求的是更强的条件,因为可微仍是一个二元函数的

数学分析方法论选讲 么关系，而且问题 1.3.5 的逆命题不正确。 问题 1.3.6 证明 2 2 f (x, y) = x + y 在 (0,0) 沿任何方向的方向导数存在且相等，但偏导 数不存在，从而不可微。 【证明】 1 0 lim ( cos , sin ) (0,0) lim 0 0 0 0 0 (0,0) = − = − =   → →           f f f 。 但 x x x x x f x x   =   + =    →  →0 2 2 0 (0,0) lim 0 lim 不存在。 同理 (0,0) y f   不存在。我们亦可用问题 1.3.5 来证。 即使有偏导数存在，各方向导数存在也未必可微。 问题 1.3.7 证明 f (x, y) = xy 在 (0,0) 存在偏导数，且存在各方向导数，证明 f (x, y) 在 (0,0) 不可微。 【证明】 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 0 =    =  +  −  =  →  → x x x f x f f x x x 。 同理 f y (0,0) = 0 。对方向  0 ，有 0 0 0 0 0 0 cos sin ( cos , sin ) (0,0) lim          = − =   → f f f 另外，假定 f (x, y) 在 (0,0) 可微，则 0 (0,0) (0,0)  =    +   = y y f x x f dz ， 从而 lim 0 0 =  − →  z dz 。但 cos sin 0 ( cos , sin ) lim lim 0 0 = =   − → →           z dz f （这里 x =  cos,y =  sin  ），矛盾。 从此问题的证明中我们可以看到可微要求的是更强的条件，因为可微仍是一个二元函数的

数学分析方法论选讲 极限,只是此时的变量为(△x,△y),所以我们有 问题1.38设=f(x,y)的定义域为有限个连通分支,则f(x,y)在(x0,y0)可微的充要 条件是∫(x,y)沿过点(x,y)的连续路径在点(x0y)路径可微。 【证明】所谓路径可微,即是沿连续曲线C:x=x(D,y=y()Jmy(1)=y有 Ac-dz =0,仿问题1.34的证明即可证得本问题成立 从问题136可看到方向导数存在不一定存在偏导数。下面来探讨二者之间得关系,它 们依然是部分与整体得关系。 问题1.39偏导数fx(x0,V0f"(x0,y0)存在得充要条件是沿b=0(6=)和 日=(6=-x)得方向导数存在且其值相反。 【证明】必要性设 lim ∫(xo+△x,y)-f(x0,y) 则 lir f(xo+pcos, yo psin 0)-f(ro, yo) lim f(x0+p,y)-f(x0,y0) A f(xo+pcos, yo)-f(xo, yo) f(ro-p, yo)-f(ro, yo) =-lim f(xo-P, yo)-f(xo, yo) +△x 充分性设

数学分析方法论选讲 极限，只是此时的变量为 （x,y) ，所以我们有 问题 1.3.8 设 z = f (x, y) 的定义域为有限个连通分支，则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微的充要 条件是 f (x, y) 沿过点 ( , ) 0 0 x y 的连续路径在点 ( , ) 0 0 x y 路径可微。 【 证 明 】所 谓 路径 可 微， 即 是沿 连 续曲 线 0 : ( ), ( ),lim ( ) 0 C x x t y y t y t y t t = = = → 有 lim 0 0 =  − →  z dz ，仿问题 1.3.4 的证明即可证得本问题成立。 从问题 1.3.6 可看到方向导数存在不一定存在偏导数。下面来探讨二者之间得关系，它 们依然是部分与整体得关系。 问 题 1.3.9 偏 导数 ( , )( ( , )) 0 0 0 0 f x y f x y x y   存 在 得 充 要条 件 是沿 ) 2 0(   =  = 和 ) 2 3  =  ( =  得方向导数存在且其值相反。 【证明】必要性 设 A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ， 则 A f x y f x y f x y f x y = + − = + + − → →          ( , ) ( , ) lim ( cos , sin ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ， A。 x f x x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x = −  +  − = − − − − = − − − = + −  → → → → ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( cos , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           充分性 设

数学分析方法论选讲 f(xo+p, yo)-f(xo, yo) P f(x0-p,y)-f(x0,y0) 则mnf(x+Ax)-f(x、、f4 同理可证关于f(x0,y0)的相应结论。 这里为什么不是两个方向导数相等而一元函数中这是两个方向导数相等呢?这是因为 在这里p取正值,而在一元函数中,右导数lm(x+A1)-(,Ax为正,而左导数 lim /(x+4x)-f(x) 中,△x为负。此外注意到问题136,137的例中f(x,y)有方向导 数,其方向导数与其反方向的方向导数不互为相反数,所以我们可以继续举下面的例。 问题1.3.10证明 (1)f(x,y)={x2+y (x,y)≠(00) 0 (x,y)=(0.0) 在(0.0)有各方向导数存在,各方向与其相反方向的方向导数互为相反数,但在(0,0)不 可微 (x,y)≠(00) (x,y)=(0,0) 其结论与(1)相同。 【分析】注意(1)中∫(x,y)是连续的,并且在问题135的证明中A=f(x0,y0), B=fy(x0,y0),而(2)中f(x,y)在(O0)不连续。 【证明】(1)由/00)=lmf(0+Ax,0)-f(0.0=n0=0 Ar→0△x 同理f”(00)=0。 另一方面,O= lim /(pcosBo,psi)-f00)

数学分析方法论选讲 A f x y f x y f x y f x y = − − − = − + − → →       ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 则 A。 x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 同理可证关于 ( , ) 0 0 f x y y  的相应结论。 这里为什么不是两个方向导数相等而一元函数中这是两个方向导数相等呢？这是因为 在这里  取正值，而在一元函数中，右导数 , ( ) ( ) lim 0 x f x x f x x  +  −  → x 为正，而左导数 x f x x f x x  +  −   ( ) ( ) lim 0 中， x 为负。此外注意到问题 1.3.6, 1.3.7 的例中 f (x, y) 有方向导 数，其方向导数与其反方向的方向导数不互为相反数，所以我们可以继续举下面的例。 问题 1.3.10 证明 （1）      = + 0 ( , ) 2 2 2 x y x y f x y 在 (0,0) 有各方向导数存在，各方向与其相反方向的方向导数互为相反数，但在 (0,0) 不 可微。 （2）      = + 0 ( , ) 6 2 3 x x x y f x y 其结论与（1）相同。 【分析】 注意（1）中 f (x, y) 是连续的，并且在问题 1.3.5 的证明中 ( , ) 0 0 A f x y x =  ， ( , ) 0 0 B f x y y =  ，而（2）中 f (x, y) 在 (0,0) 不连续。 【证明】（1）由 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 3 0 0 =  =  +  −  =  → x  → x f x f f x x x 。 同理 f y (0,0) = 0 。 另一方面，        ( cos , sin ) (0,0) lim 0 0 0 0 f f − f =   → (x, y)  (0,0) (x, y) = (0,0) (x, y)  (0,0) (x, y) = (0,0)

数学分析方法论选讲 0 =cos"0o sin Bo cos(0+r)sin(0 +r)=-cos6o sin 8 o(+x) 6 但注意如果取=,此时若按问题1.3.5的证明有 acos -+Bsir A+B)=0(因为A=f(00)=B=f”(0,0)=0) 但这里 af2I.TI 448 由此f(x,y)在原点(0,0)不可微。 (2)易证f2(00)=0,且f0)=0 f(pcosBo, psin 80)-0 esin e lim p cos 0+p?.=lim-pcos0o sin Bo pp‘cos°O+sm26 (分si6=0和sn60≠0两种情况讨论) 下证f(x,y)在(0,0)不连续 取路径y=x3,则 imf(x,y)=linx°_1 02x62 ≠f(0,0)=0 由此∫(x,y)在(0,0)不连续。当然在(00)不可微。 我们这里讨论的是二元函数与一元函数有本质区别的概念和问题,至于相同形式的 如上、下极限,上、下连续等我们作为练习留给读者

数学分析方法论选讲 0 0 2 2 0 0 3 3 0 cos sin 0 cos sin lim         = − = → ，            = + + = − = −  + f f 0 0 2 0 0 2 0 cos ( )sin( ) cos sin ( ) 。 但注意如果取 4 0   ＝ ，此时若按问题 1.3.5 的证明有 ( ) 0 2 2 4 sin 4 cos 0 = + = + =   A B A B f    （因为 A = f x (0,0) = B = f y (0,0) = 0 ）, 但这里 0 8 2 4 sin 4 cos 2 0 =  =       f ， 由此 f (x, y) 在原点 (0,0) 不可微。 （2）易证 f x (0,0) = 0 ，且 f y (0,0) = 0 。        ( cos , sin ) 0 lim 0 0 0 0 − =   → f f 0 cos sin cos sin lim cos sin cos sin lim 0 2 0 4 6 0 0 3 0 0 2 2 0 6 6 0 4 3 0 = + = + = → →                 。 （分 sin  0 = 0 和 sin  0  0 两种情况讨论） 下证 f (x, y) 在 (0,0) 不连续。 取路径 3 y = x ，则 (0,0) 0 2 1 2 lim ( , ) lim 6 6 0 0 0 3 = =  = → = → → f x x f x y x y x y x 。 由此 f (x, y) 在 (0,0) 不连续。当然在 (0,0) 不可微。 我们这里讨论的是二元函数与一元函数有本质区别的概念和问题，至于相同形式的 如上、下极限，上、下连续等我们作为练习留给读者