湖南大学：《线性代数》第四章 线性方程组

大学数学(二) 第四章 线性方程组 脚本编写:曾金平刘楚中 课件制作:曾金平刘楚中

大学数学（二） 脚本编写：曾金平 刘楚中 课件制作：曾金平 刘楚中

51线性方程组的Gaus消元法 本节讨论线性方程 a1x1+a12x2+…+a1xn=b12 x1 t aox t. ta 211 b X1t b 的消元法

§1 线性方程组的Gauss消元法 本节讨论线性方程 a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn =b1 , a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn =b2 , as1x1 + as2x2 + …+ asnxn =bs 的消元法. (1.1) ………………

先看例子 2x1-x2+3x3=1 例11解方程组:{4x1+2x2+55 2x +2x2=6 解:第二个方程减去第一个方程的2倍,第三 个方程减去第一个方程,得 2x1-x2+3x3=1, 4x2-x3=2,同解方程组 5

先看例子 例1.1 解方程组： 2x1−x2+3x3=1, 4x1+2x2+5x3=4, 2x1 +2x3=6. 解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三 个方程减去第一个方程，得 2x1− x2 + 3x3=1, 4x2 − x3=2， x2 − x3=5; 同解方程组

交换第二、三个方程 2x1-x2+3x3=1 4x nX 2-3 第三个方程减去第二个方程的4倍 2x1-x2+3x2=1 18

交换第二、三个方程 2x1−x2+3x3=1, x2 − x3=5, 4x2 − x3=2; 第三个方程减去第二个方程的4倍 2x1−x2+3x3= 1, x2 − x3= 5, 3 x = −18; 3

第三个方程乘以 x 1-2 +3x 第二个方程加第三个方程 2x1-x2+3x2=1 6

第三个方程乘以 3 1 2x1−x2+3x3= 1, x2 − x3= 5, x3= −6; 第二个方程加第三个方程 2x1−x2+3x3= 1, x2 = − 1, x3= −6;

第一个方程加第二个方程再减第三个方程的3倍 2x 18 2x1-x2+3x3=1, 第一个方程乘以

第一个方程加第二个方程再减第三个方程的3倍 2x1 = 18, x2 = − 1, x3= −6; 第一个方程乘以 2 1 x1 = 9, x2 = − 1, x3 = −6. 2x1−x2+3x3= 1, x2 = − 1, x3= −6;

在上述求解过程中,不难看出,我们实际上 反复对方程组进行如下三个基本变换 用一非零数乘某一方程, 2.把一个方程的倍数加到另一个方程, 3.互换两个方程的位置 定义11上述三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理11方程组经初等变换变成同解方程组

在上述求解过程中，不难看出，我们实际上 反复对方程组进行如下三个基本变换： 1. 用一非零数乘某一方程， 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程， 3. 互换两个方程的位置. 定义1.1 上述三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理1.1 方程组经初等变换变成同解方程组

下面考虑一般线性方程组(11) 先检查x1的系数如果全为零则(1.1)对x1没有 限制x1可任意取值.即(1.1)可看作x2x32…,xn 的n-1元线性方程组否则,x的系数不全为零 则可用初等变换3,使(1.1)变成第一个方程中x系 数不为零的同解方程组.故可不妨令a1≠0 利用变换2.将第i个方程加上第一个方程的 (-n)倍,于是(1.1变为 11

下面考虑一般线性方程组(1.1): 先检查 x1 的系数，如果全为零，则 (1.1) 对 x1 没有 限制. x1 可任意取值. 即 (1.1) 可看作 x2 , x3 , …, xn 的 n−1 元线性方程组. 否则， x1的系数不全为零， 则可用初等变换3，使 (1.1) 变成第一个方程中 x1 系 数不为零的同解方程组. 故可不妨令a110. 利用变换2. 将第 i 个方程加上第一个方程的 ( ) , 11 1 倍 a ai − 于是(1.1)变为

auxtajx2+.tarn bl, 0222+.+2AX02 qx2+...+a b 其中 d i ai ta y( g dil alila b’=b;+b

a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1 , a’22 x2+…+a ’ 2nxn =b’2 ,  a ’ s2 x2+…+a ’ snxn =b’s . (1.2) 其中 a’ij =aij +a1j ( ) 11 1 a ai − = aij−ai1 a1j /a11, b’i =bi +b1 ( ) 11 1 a ai − = bi−ai1 b1 /a11

因此解方程组(1.1)就归结于解n-1元方程组 22x2+..+cl b (1.3) a、x2+.+al、uxn=b 也即(1.1)有解一→(1.2)有解←→(1.3)有解 再对(1.3)作类似变换,易知,最后方程组变成 同解的阶梯形方程组,为方便起见,不妨设所 得方程组为

因此解方程组 (1.1) 就归结于解n−1元方程组 a' 22x2+…+a' 2nxn =b' 2  a' s2x2+…+a' snxn =b' s (1.3) 也即 (1.1) 有解 再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成 同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所 得方程组为  (1.2) 有解 (1.3) 有解