练习(一) 姓名 班级 填空 1.五阶行列式中某项a1a2an1a,a3取正号,则s=_t 2.若 kx+y=0 有非零解,则k Ix+ky= 设A=(4a41B A=1=1则|A+B= 4.若齐次线性方程组 ax1+x2+x3=0 x+ax2+x2=0只有零解,则a应满足 的条件。 、选择题 1.n个n元线性方程组成的齐次线性方程组有非零解的充要条件是 (A)系数矩阵的行列式4=0; (B)|4≠0 (C)与系数矩阵的行列式A4无关 (10分)计算下列行列式 01 (2)D 3610 a at1 at2 at (3)D (4)D= 11+b1 aa+1a+2a+1 1+a 1 (5)计算行列式111+a l6253649 D (7)|11 9162536 49162
1 练习（一） 姓名 班级 学号 一、 填空 1．五阶行列式中某项 a11as2a43at4a35 取正号，则 s= ,t= . 2．若 + = + = 0 0 x ky kx y 有非零解，则 k= . 3．设 , 1, 1 21 11 21 22 11 12 = = = = A B a c a b B a a a a A 且 则 A+ B = 4．若齐次线性方程组 + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x ax x ax x x 只有零解，则 a 应满足 的条件。 二、选择题 1．n 个 n 元线性方程组成的齐次线性方程组有非零解的充要条件是 （ ） （A）系数矩阵的行列式 A = 0； （B） A 0 （C）与系数矩阵的行列式 A 无关。 三、（10 分）计算下列行列式 （1） 1 4 10 20 1 3 6 10 1 2 3 4 1 1 1 1 D = (2) a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 1 = （3） b b a a D − + − + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （4） a a a a a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 1 2 2 1 2 3 + + + + + + + + + = （5）计算行列式 a a a a + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （6） 4 9 16 25 9 16 25 36 1 4 9 16 16 25 36 49 D = （7） 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z u u z y x − − − −
b c d 四、证明: =(a2+b2+c2+d2)2 d -c b a a xx 五、计算Dn=xxa1…x其中a≠x≠0(=12,…,n 六、计算D=3-3-3-3 线性代数第二章复习题 姓名 班级 学号 (另用空白纸解答下列各题,要交) 1、设A为n阶方阵且满足A2-2A+3E=0,试证A为可逆矩阵,并 求 2、设方阵A满足A2-2A-5E=0,证明:A+E可逆,并求(A+E)。 设A4=0(k≥2),证明A-E可逆,并求(A-E)。 320 3010 4、设A 求 0008 0000 00040 4 5、求方阵A=0200的逆矩阵 000 6、求方阵A 0010 的逆矩阵 0800
2 四、证 明 ： a b c d b a d c c d a b d c b a a b c d − − − − − − = ( + + + ) 2 2 2 2 2 (a 0) 五、计 算 n n x x x a x x a x x a x x a x x x D 3 2 1 = 其 中 a x 0.(i 1,2, ,n). i = 六、计 算 D = − − − − − − − − − − − − 3 2 9 2 3 2 3 5 3 8 3 2 3 7 3 4 3 5 3 1 2 3 7 8 4 5 线性代数第二章复习题 姓名 班级 学号 （另用空白纸解答下列各题，要交） 1、设 A 为 n 阶方阵且满足 2 3 0 2 A − A + E = ，试证 A 为可逆矩阵，并 求 −1 A 。 2、设方阵 A 满足 2 5 0 2 A − A − E = ，证明：A+E 可逆，并求 1 ( ) − A+ E 。 3、设 A = 0,(k 2), k 证明 A − E 可逆，并求 1 ( ) − A− E 。 4、设 − − − = 0 0 0 0 4 0 0 0 8 0 1 1 1 0 0 3 0 1 0 0 1 3 2 0 0 A ，求 −1 A 5、求 方 阵 = 0 0 0 1 0 0 5 0 0 2 0 0 0 0 0 4 1 A 的 逆 矩 阵. 6、求 方 阵 − = 2 0 0 0 0 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 A 的 逆 矩 阵
005 7、设A=310,求A 210 8、设A B 求 (AB)- 9、设AB=010且B=21 则A=( 103 (4)23-1 203 13 0 10、设AB是两个n阶方阵,试求使等式A2-B2=(4-BM4+B)成立的 条件 l1、若A为可逆的n阶矩阵,B是n阶矩阵,且AB=0,证明B=0 若n阶方阵A,B,C满足ABC=E,则CAB= 12、设A为3阶方阵,A为其伴随阵,且团=-, 求/34)2-2A 13、求解矩阵方程XA=B,其中 2-10 设 121 A= B=13-2则AB=() 38-4 (A)1012:(B)(410-8:(C)(412-8 512-6 100 15、解矩阵方程210x=0-15 16、设A=0(k为正整数),证明
3 7、设 = 2 1 0 3 1 0 0 0 5 A , 求 A −1 . 8、设 − − = = 3 2 1 1 , 1 2 3 4 A B , 求 ( ) . −1 AB 9、设 , 0 0 1 0 1 0 1 1 0 AB = 且 − = − 1 2 1 2 1 1 1 0 3 B , 则 A − = 1 ( ) ( ) − − 1 1 1 2 3 1 1 1 3 A . ( ) − − 3 2 1 1 1 1 1 0 3 B . ( ) − − − 0 2 1 3 1 1 2 0 3 C . ( ) − − − − 1 3 1 2 1 1 1 1 3 D . 10、设 A, B 是两个 n 阶方阵，试求使等式 A − B = (A− B)(A+ B) 2 2 成立的 条件. 11、若 A 为可逆的 n 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵，且 AB= 0,证明 B = 0. 若 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABC=E，则 CAB= 12、设 A 为 3 阶方阵， * A 为其伴随阵，且 2 1 A = ， 求 1 * (3A) − 2A − 13、求解矩阵方程 XA=B，其中 − − = − − − = 1 1 0 0 1 1 , 2 1 0 3 2 4 1 2 3 A B 14、设 , 3 8 4 1 3 2 1 2 0 , 0 1 2 1 2 1 − = − − − A = B 则 AB=（ ） （A） − 8 − 6 10 12 4 5 ；（B） − − 5 12 6 4 10 8 ；（C） − − 5 13 6 4 12 8 15、解矩阵方程 = − 2 1 1 0 1 5 4 2 3 3 4 1 2 1 0 1 0 0 X 16、设 = 0 k A （k 为正整数），证明
(E-A)=E+A+A2+…+A4 17、设A 110 18、设A=30B 求ABAB 12 101 19、设A 10,B=122 求 ABa 215 20、设A 24,C=-314试计算AB-AC 131 130 21、设A 是n阶方阵,a1a2“,及都是实数,求4。 2、求方阵A=0400的逆矩阵 00 2 23、设A、B为n阶方阵,且AB=BA,P为可逆矩阵,适合PAP=A1 PBP=B1,证明:A1B1=BA1。 24、对任意的n阶矩阵A,证明AA为对称矩阵 25、设A而可交换,且A可逆,证明A与B也可交换 26、设AB是m阶方阵,试求使等式(4+B)=42+2AB+B2成 立的条件 27、设A,B,C都是n阶方阵(≠O且AC-BC=C则A-B等 于 20 28、设A=|0-11,求(4+B)(-E 线性代数第三、四章复习题
4 1 2 1 ( ) − − − = + + + + k E A E A A A 17、设 , 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 2 − − − A = 求 3 A 。 18、设 − − = = 3 0 1 2 1 3 , 1 2 3 0 2 3 A B ，求 AB, AB 。 19、设 − − = − = 3 1 2 1 2 2 3 1 1 , 0 1 1 1 1 0 1 0 1 A B , 求 ABA . 20、设 A = B C AB AC − = − = − − 2 2 3 5 1 4 2 1 5 3 2 4 1 3 1 1 1 5 3 1 4 1 3 0 , , ,试计算 . 21、设 = 0 0 2 1 an a a A 是 n 阶方阵， a1 ,a2 , ,an及 都是实数，求 A 。 22、求方阵 = 0 0 0 3 0 2 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 1 A 的逆矩阵。 23、设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB=BA，P 为可逆矩阵，适合 1 1 P AP = A − ， 1 1 P BP = B − ，证明： A1B1 = B1A1。 24、对 任 意 的 n 阶 矩 阵 A， 证 明 AA' 为 对 称 矩 阵. 25、设 A,B 可 交 换， 且 A 可 逆， 证 明 A −1 与 B 也 可 交 换. 26、设 A,B 是 n 阶 方 阵，试 求 使 等 式 ( ) 2 2 2 A+ B = A + 2AB + B 成 立 的 条 件. 27、设 A，B，C 都 是 n 阶方 阵, C 0£ 且 AC-BC=C,则 A-B 等 于 _______________. 28、设 − − = − 3 2 1 0 1 1 1 2 0 A ,求 ( ) ( ). 1 2 A+ E A − E − 线性代数第三、四章复习题
姓名 班级 学号 (另用空白纸解答下列各题,要交) 1.若{十y=0有非零解,则k= x+kv=0 4.设x,x2…,x为非齐次线性方程组Ax=b的一组解,如果 cx1+c2x2+…+Cx,也是Ax=b的解,则a1+c2+…+cn (10分)假设向量a1,a2,a3线性无关,讨论 a1+a2,a2+a3a3+a1的线性相关性 五、(15分)2为何值时,方程组 x, tx2-x x1-5x2+2x3+x4=-1 2x1+6x2-3x3-3x4=+1 x1+1lx2-5x3-4x4=4 (1)无解?(2)有解?并求之 1.每一个三维向量a=(a1,a2,a3)可用单位坐标向量组E,2,E3唯一地 线性表示为 的形式。 3.若齐次线性方程组 ax1+x2+x3=0 x+ax2+x=0只有零解,则a应满足 的条件。 x1+x2+x3 0 4.可逆方阵A经初等变换,总可以化为A的标准形是 五、(10分)已知a1=(1g2=(12,3)a3=(13,1) (1)t为何值时,a1,a2,a3的秩为2 当a1,a2a3线性相关时,将a3表示为a2a3的线性组合 六、(10分)求齐次线性方程组的一个基础解系 x1-x2+5x3-x4=0 x1+x2-2x3+3x4=0 3 8x3+x4=0 七、(14分)设方程组121x2=2,当为何值时,方程组 (1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解。 六、(10分)求齐次线性方程组的一个基础解系
5 姓名 班级 学号 （另用空白纸解答下列各题，要交） 1．若 + = + = 0 0 x ky kx y 有非零解，则 k= . 4．设 r x , x , , x 1 2 为非齐次线性方程组 Ax = b 的一组解，如果 r r c x + c x ++ c x 1 1 2 2 也是 Ax = b 的解，则 c1 + c2 ++ cr = 三、（10 分）假设向量 1 2 3 a ,a ,a 线性无关，讨论 1 2 2 3 3 1 a + a ,a + a ,a + a 的线性相关性。 五、（15 分） 为何值时，方程组 + − − = + − − = + − + + = − + − − = 11 5 4 4 2 6 3 3 1 5 2 1 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x （1） 无解？（2）有解？并求之。 1．每一个三维向量 ( , , ) = a1 a2 a3 可用单位坐标向量组 1 2 3 , , 唯一地 线性表示为 的形式。 3．若齐次线性方程组 + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x ax x ax x x 只有零解，则 a 应满足 的条件。 4．可逆方阵 A 经初等变换，总可以化为 A 的标准形是 五、（10 分）已知 (1,1,1), (1,2,3), (1,3, ) 1 2 3 = = = t （1） t 为何值时， 1 2 3 , , 的秩为 2 当 1 2 3 , , 线性相关时，将 3 表示为 2 3 , 的线性组合。 六、（10 分）求齐次线性方程组的一个基础解系 − + + = + − + = − + − = 3 8 0 2 3 0 5 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 七、（14 分）设方程组 = 3 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x ，当 为何值时，方程组： （1） 有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解。 六、（10 分）求齐次线性方程组的一个基础解系
x1+x2-x3+x4=0 x2+x3-x4=0 0 七、(14分)求线性方程组 (+3)x1+x2+2x3= x1+(-1)x2+x3= 3(+1)x1+x2+(+3)x3=3 有唯一解;无解;有无穷多解时,元取的值。 1.n个n元线性方程组成的齐次线性方程组有非零解的充要条件是 (A)系数矩阵的行列式A=0; (B)|4≠0 (C)与系数矩阵的行列式4无关。 2.任意n+1个n维向量是() (A)不确定;(B)必线性相关;(C)必线性无关。 2.已知向量组a1 64 则此向量组的线性相关性是 四、(8分)求向量a1=(2,13-1)a2=(3-12,0)a3=(4.26-2) a4=(4-31)的一个最大线性无关组。 五、(5分)已知向量组a1a2a3线性相关,向量组a2,a3,a线性无关, 证明a1可由a2a3线性表示,a不能由a1a2a3线性表示。 00 423 六、(10分)解矩阵方程|210X=0-15 七、(10分)求齐次线性方程组的通解 x1+x2+x3+x4=0 x1+3x2+2x3+4x4=0 2x1+x3-x4=0 八、(10分)元为何值时,非齐次线性方程
6 + + = − + − = + − + = 3 0 0 0 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x 七、（14 分）求线性方程组 + + + + = + − + = + + + = 3( 1) ( 3) 3 ( 1) ( 3) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有唯一解；无解；有无穷多解时， 取的值。 1．n 个 n 元线性方程组成的齐次线性方程组有非零解的充要条件是 （ ） （A）系数矩阵的行列式 A = 0； （B） A 0 （C）与系数矩阵的行列式 A 无关。 2．任意 n+1 个 n 维向量是（ ） （A）不确定；（B）必线性相关；（C）必线性无关。 2．已知向量组 − − = = = − − = 1 1 1 1 , 64 16 4 1 , 27 9 3 1 , 8 4 2 1 1 2 3 4 则此向量组的线性相关性是 四、（8 分）求向量 (2,1,3, 1), (3, 1,2,0), (4,2,6, 2) 1 = − 2 = − 3 = − (4, 3,1,1) 4 = − 的一个最大线性无关组。 五、（5 分）已知向量组 1 2 3 , , 线性相关，向量组 2 3 4 , , 线性无关， 证明 1 可由 2 3 , 线性表示， 4 不能由 1 2 3 , , 线性表示。 六、（10 分）解矩阵方程 = − 2 1 1 0 1 5 4 2 3 3 4 1 2 1 0 1 0 0 X 七、（10 分）求齐次线性方程组的通解 + − = + + + = + + + = 2 0 3 2 4 0 0 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x 八、（10 分） 为何值时，非齐次线性方程
x1+x2+ x1十x2+x3=1有无穷多解,并求其通解。 x1+x2+2x 1.若a1,a2,a3,a4为三维向量组,则此向量组线性 2.n元齐次线性方程组AX=0,有非零解的充要条件是 3.设有向量组A:a1,a2,…,a,及B:b,b2,…b,若A组线性 无关,且A组可由B组线性表示,则sr 二、(10分)把向量b用向量组a1,a2,a3线性表示,其中 a1=(1,0,1),a2=(1,1,1),a3=(0,-1,-1),b=(3,5, 5) 五、(10分)求向量组a1=(1,0,-1),a2=(-1,2,3), a3=(1,2,1),的一个最大线性无关组及它的秩。 七、(10分)ab为何值时,方程组 x1-2x2+3x3=4 3x1-5x2+9x3=2a有解 x1-8x2+12x2=b 4: 九、(10分)利用初等变换求矩阵的逆矩阵。 A 线性代数第五章复习题 5.已知三阶方阵A的三个特征值分别为1,-2,3,则A= 七、(12分)矩阵A 0-220 0200 B 是相似矩阵 0 00-30 求x和y
7 + + = + + = + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 x x x x x x x x x 有无穷多解，并求其通解。 1． 若 a1，a2，a3，a4 为三维向量组，则此向量组线性 2． n 元齐次线性方程组 AX=0，有非零解的充要条件是 3． 设有向量组 A： a a ar , , , 1 2 及 B： b b bs , , , 1 2 ,若 A 组线性 无关，且 A 组可由 B 组线性表示，则 s r 二、（10 分）把向量 b 用向量组 a1，a2，a3 线性表示，其中 a1=（1，0，1），a2=（1，1，1），a3=（0，-1，-1），b=（3，5， -5）。 五、（10 分）求向量组 a1=（1，0，-1），a2=（-1，2，3）， a3=（1，2，1），的一个最大线性无关组及它的秩。 七、（10 分） a,b 为何值时，方程组 − + = − + = − + = x x x b x x x a x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 8 12 3 5 9 2 2 3 4 有解。 九、（10 分）利用初等变换求矩阵的逆矩阵。 − − − − − = 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 A 线性代数第五章复习题 5．已知三阶方阵 A 的三个特征值分别为 1，-2，3，则 A = 七、（12 分）矩阵 − − = 0 0 0 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 0 x A 与 − = y B 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 2 0 0 0 是相似矩阵， 求 x和y
八、(15分)用正交变换化二次型f(x1,x2,x)=x2+x2+x2-2x2为 标准形,并写出所用的正交变换。 八、(16分)设实对称阵A=-24-2 (1)写出对应A的二次型f(x1,x2,x3) (2)已知A的特征值为1=2=5,42=-4,和对应于的一 个特征向量a3=(212),试求一个正交变换,把二次型f(x,x2,x1)化 为标准型 九、(8分)设A是可逆阵,A是A的特征值,证明是A的特征 值 若A是正交阵,则A= 八、(16分)设实对称阵A=-24-2 (1)写出对应于A的二次型f(x,x2x) (2)已知A的特征值为=-42=2=5,和对应于的 个特征向量a1=(212),试求一个正交变换,把二次型f(x1,x2,x1)化 为标准型。 4.实二次型f=x4x的矩阵为A,则A是() (A)对称的;(B)可逆的;(C)满秩的。 3.二次型f(x,y)=x2+2y2+52+2xy+6yz+2x的秩为 4.已知二次型f(x1,x2,x3)=6x2+5x2+7x2-4x2+4x3 则此二次型的正定性是 九、(12分)求一个正交变换x=Py,把二次型 f(x,x2x)=2x2+5x2+5x2+4x2-4x1x3-8x2x3化为标准型 八、(16分)求矩阵A=-430的特征值和特征向量
8 八、（15 分）用正交变换化二次型 1 2 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x + x − 2x x 为 标准形，并写出所用的正交变换。 八、（16 分）设实对称阵 − − − − − − = 4 2 1 2 4 2 1 2 4 A （1） 写出对应 A 的二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x （2） 已知 A 的特征值为 1 = 2 = 5,3 = −4 ，和对应于 3 的一 个特征向量 (2,1,2) 3 = ，试求一个正交变换，把二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x 化 为标准型。 九、（8 分）设 A 是可逆阵， 是 A 的特征值，证明 1 是 −1 A 的特征 值。 4．若 A 是正交阵，则 A = 八、（16 分）设实对称阵 − − − − − − = 4 2 1 2 4 2 1 2 4 A （1）写出对应于 A 的二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x （2）已知 A 的特征值为 1 = −4,2 = 3 = 5 ，和对应于 1 的一 个特征向量 (2,1,2) 1 = ，试求一个正交变换，把二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x 化 为标准型。 4．实二次型 f = x Ax 的矩阵为 A，则 A 是（ ） （A）对称的；（B）可逆的；（C）满秩的。 3．二次型 f (x, y,z) x 2y 5z 2xy 6yz 2zx 2 2 2 = + + + + + 的秩为 4． 已知二次型 1 2 1 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 6x1 + 5x + 7x − 4x x + 4x x 则此二次型的正定性是 九、（12 分）求一个正交变换 x = Py ，把二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 化为标准型。 八、（16 分）求矩阵 − − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值和特征向量
九、(6分)设A是可逆阵,4是A的特征值,证明是A的特 征值
9 九、（6 分）设 A 是可逆阵， 是 A 的特征值，证明 1 是 −1 A 的特 征值