湖南大学：《线性代数》第一章习题

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)1-4-1=2x(-4×3+0×(-1x(-1)+1×1×8 0×1×3-2×(-1)×8-1×(4)×(-1) 24+8+16-4=-4 b (2)b c a=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a-b3-c3 (3)a b c=be 2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a) y xt j (4)yx+yx t y J =x(r+y)y+ux(x+y)+(x+y)yx-y'-(x+y-x =3xv(x+y)-y3-3x2y-3y2x-x3-y3-x 2(x+y 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1234; (2)4132; (3)3421 (4)2413

第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： .解 （1） = − − − 1 8 3 1 4 1 2 0 1 2(−4) 3 + 0(−1)(−1) + 118 − 01 3 − 2(−1) 8 − 1(−4)(−1) = − 24 + 8 + 16 − 4= − 4 （2） = c a b b c a a b c acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc 3 3 3 = 3abc − a − b − c （3） = 2 2 2 1 1 1 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 bc + ca + ab − ac − ba − cb = (a − b)(b − c)(c − a) （4） x y x y y x y x x y x y + + + = x(x + y) y + yx(x + y) + (x + y) yx 3 3 3 − y − (x + y) − x 3 2 2 3 3 3 = 3xy(x + y) − y − 3x y − 3y x − x − y − x 2( ) 3 3 = − x + y 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

(5)13…(2n-1)24…(2n); 6)13·(2n -1)(2n)(2n-2) 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:41,43,42,32 (3)逆序数为5:32,31,42,41,21 (4)逆序数为3:21,41,43 (5)逆序数为 n(n-1) 2 1个 52,54 2个 72,74,76 3个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,…,(2n-1)(2n-2)(n-1) 个 (6)逆序数为n(n-1) 32 52,54 2个 (2n-1)2 1)4,(2n-1)6 (2n-1)(2n-2)(n-1) 42 1个 62,64 2个

（5）1 3 … (2n − 1) 2 4 … (2n) ； （6）1 3 … (2n − 1) (2n) (2n − 2) … 2. 解（1）逆序数为 0 （2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 n(n − 1) ： 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 7 2，7 4，7 6 3 个 ……………… … (2n − 1) 2，(2n − 1) 4，(2n − 1) 6，…，(2n − 1) (2n − 2)(n − 1) 个 （6）逆序数为 n(n − 1) 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 ……………… … (2n − 1) 2，(2n − 1) 4，(2n − 1) 6，…，(2n − 1) (2n − 2)(n − 1) 个 4 2 1 个 6 2，6 4 2 个 ……………… …

(2n)2,(2m)4,(2n)6,…,(2n)(2n-2) (n-1)个 3.写出四阶行列式中含有因子a1,a,的项 解由定义知,四阶行列式的一般项为 (-1)ana2a3nan,其中t为P1P2P2P的逆序数由于p1=1,P2=3 已固定,P1P2P3P4只能形如13口口,即1324或1342.对应的t分别 为 0+0+1+0=1或0+0+0+2=2 ∴-a14a23a32a4和a1a23a31a2为所求 4.计算下列各行列式: 4-12-10 解(1) 1202c2-c31202 10520c4-7c31032-14 01 00 0 1-10 4-110 C+c 12 103 14 10314 9910 00-2=0 171714 3-122 (2) 506

(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n − 2) (n − 1) 个 3.写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) p p p p t − a a a a ，其中 t 为 p1 p2 p3 p4 的逆序数．由于 p1 = 1, p2 = 3 已固定， p1 p2 p3 p4 只能形如 13 □□，即 1324 或 1342.对应的 t 分别 为 0 + 0 + 1 + 0 = 1 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2 − a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 为所求. 4.计算下列各行列式： 解(1) 0 1 1 7 10 5 2 0 1 2 0 2 4 1 2 4 4 3 2 3 c 7c c c − − 0 0 1 0 10 3 2 14 1 2 0 2 4 1 2 10 − − − = 4 3 ( 1) 10 3 14 1 2 2 4 1 10 +  − − − − = 10 3 14 1 2 2 4 1 10 − − 2 3 1 1 2 3 c c c c + + 17 17 14 0 0 2 9 9 10 − =0 (2) 5 0 6 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 − 4 2 c − c 5 0 6 2 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 −

I-52 3-1 4234 200 4230 0 ab ac e b c (3) bd -cd de=adfb -ce b =adice 1-11=4abcdef 0 1+ab a 0 0r;+ar,-1 (4) 0-1c1 00-1d 00 1 d 1+ab a 0 1+ab C3+ =(-1)(-1)2+1 1 c 1+cd 1 d 0 -1)221+mb abcd +ab+cd +ad+1 11+cd b 5证明:(左边=°-2ab-a2b-2a 0 9/+ b-a 26-2a 6+ =(b-a)(b-a =(a-b)3=右边 12

4 2 r − r 2 1 4 0 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − 4 1 r − r 0 0 0 0 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − =0 (3) bf cf ef bd cd de ab ac ae − − − = b c e b c e b c e adf − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − adfbce = 4abcdef (4) d c b a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 − − − 1 ar2 r + d c b ab a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 − − − + = 2 1 ( 1)( 1) + − − d c ab a 0 1 1 1 1 0 − − + 3 dc2 c + 0 1 0 1 1 1 − − + + c cd ab a ad = 3 2 ( 1)( 1) + − − cd ab ad − + + 1 1 1 = abcd + ab + cd + ad + 1 5.证明:(1) 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 a b a b a a ab a b a c c c c − − − − − − 左边 = b a b a ab a b a 2 2 ( 1) 2 2 2 3 1 − − − − = − + 1 2 ( )( ) a b a b a b a + = − − = (a − b) 3 = 右边

(2在边按第一列可+b"+b + b 分开+bxax+b+b2an+bxax+b z ax+by ay+bz x ax+by ay+bz 分别再分 ay+ bz z az+ bx ay az+bx x+0+0+bz x ax+ by by y y ay+ 分别再分 ay Z z x y y Z J a3yzx+byzx(-1)2=右边 +(2a+1)(a+2)2(a+3) (3)左边 bb2+(2b+1)(b+2)(b+3) c2c2+(2c+1)(c+2)(c+3) d2a2+(2d+)(d+2)2(d+32 2a+14a+46a+9 C2-c1|b22b+14b+46b+9 C3-c1c2c+14c+46c+9 c4-c1d22d+14+46d+9 a2a4a+46a+9a214a+46a+9 按第二列b2b4b+46b+9b214b+46b+9 分成二项 c4c+46c+9 14c+46c+9 dd4d+46d+9d14d+46d+9 4 第一项 a214a6 C b b4 9b 1 4b 6b 第二项 14c6

(2 z ax by ay bz y az bx ax by x ay bz az bx a + + + + + + 分开 按第一列 左边 x ax by ay bz z az bx ax by y ay bz az bx b + + + + + + + + + + + + + 0 0 2 z ax by y y az bx x x ay bz z a 分别再分 x y ay bz z x ax by y z az bx b + + + x y z z x y y z x b z x y y z x x y z a 3 3 + 分别再分 = 3 + 3 (−1) 2 = 右边 z x y y z x x y z b z x y y z x x y z a (3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) + + + + + + + + + + + + + + + + = d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 2 2 2 4 1 3 1 2 1 + + + + + + + + + + + + − − − d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 2 2 2 2 2 + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项 按第二列 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 2 2 2 2 + + + + + + + + + d d d c c c b b b a a a 4 9 4 9 4 9 4 9 9 4 6 4 2 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 2 d d c c b b a a c c c c c c c c − − − − 第二项 第一项 0 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 2 2 2 2 + = d d d c c c b b b a a a

0 b-a c-a d-a 4)左边= c-a d-a b(b2-a2)c(c2-a2)d2(d2-a2) -(b-ac-ad-a)b+a C十a d +a b2(b+a)c2(c+a)d(d+a) =(b-a)(c-a)(d-a) b+a C-b d-b b(+a)c2(c+a)-b(b+a)d'(d+a)-b(b+a) =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) (c+bc +6)+a(c+b)(d+bd+b)a(d+b) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) (5)用数学归纳法证明 当n=时,D2= x+a2,命题成立 2x+a1 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即 Dn1=x21+a1x"-2+…+an2x+an1, 则D按第列展开:

(4) 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 a b a c a d a a b a c a d a a b a c a d a − − − − − − − − − 左边 = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )( )( ) 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a + + + − − − + + + = (b − a)(c − a)(d − a)  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 2 2 2 b b a c c a b b a d d a b b a b a c b d b + + − + + − + + − − = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 c + bc + b + a c + b d + bd + b + a d + b = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) (5) 用数学归纳法证明 , . 1 2 , 1 2 2 2 1 当 时 2 x a x a 命题成立 a x a x n D = + + + − = = 假设对于 (n − 1) 阶行列式命题成立，即 , 2 1 2 1 1 1 − − − − − = + + + n + n n n Dn x a x  a x a 则 按第1列展开: Dn

10 00 00 D,=xD-+a (1) =xDn1+an=右边 所以,对于n阶行列式命题成立 6.设m阶行列式D=dean),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或 依副对角线翻转,依次得 D In 11 n( n-1) 证明D1=D2=(-1)2D,D3=D 证明∵D=det(an) nI 1 an ∴D,=

1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ( 1) 1 1 − − − = + − + − x x D xD a n n n n         = xDn−1 + an = 右边 所以，对于 n 阶行列式命题成立. 6.设 n 阶行列式 det( )ij D = a ,把 D 上下翻转、或逆时针旋转  90 、或 依副对角线翻转，依次得 n n nn a a a a D 11 1 1 1     = ， 11 1 1 2 n n nn a a a a D     = ， 1 11 1 3 a a a a D n nn n     = ， 证明 D D D D D n n = = − = − 3 2 ( 1) 1 2 ( 1) , . 证明 det( )ij  D = a n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a D 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)          −  = = −       = − − = − − n n nn n n n n a a a a a a a a 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ( 1) n nn n n n a a a a      1 11 1 1 2 = (−1) (−1) (−1) − −

D=(-1)2D n(n-1)11 n(n-1) 同理可证D2=(-1)2 =(-1)2D=(-1)2D a1 (-1)2(-1)2D=(-1)mD=D 7.计算下列各行列式(D为阶行列式) 0 00 .解()D|00a 00按最后一行展开 000 a 0 (再按第一行展开 (-1)":(-1 +a=a"-a"-2=a"(a2-1) (2)将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得

D D n n n n 2 ( 1) 1 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) − + + + − + − = − = −  同理可证 n nn n n n a a a a D     1 11 1 2 ( 1) 2 ( 1) − = − D D n n T n n 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) − − = − = − D D D D D n n n n n n n n = − = − − = − = − − − − 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 7.计算下列各行列式（ Dk为k阶行列式 ）： .解(1) a a a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1            = 按最后一行展开 ( 1) ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1) −  − + − n n n a a a           ( 1)( 1) 2 ( 1) − − + −  n n n a a a  ( 再按第一行展开 ) n n n n n a a a = −  − + − − + ( 2)( 2) 1 ( 1) ( 1)  −2 = − n n a a ( 1) 2 2 = − − a a n (2)将第一行乘 (−1) 分别加到其余各行，得

a 0 0 D=a-x0 x 0 00x 再将各列都加到第一列上,得 x+(n-D)a a a 0 0 0 00x =x+(n-1)al(x-a) (3)从第n+1行开始,第n+1行经过n次相邻对换,换到第1行,第 行经(m-1次对换换到第2行…,经m+(m-1)+…+1=mm+次 行 交换,得 n(n+i)a n-n (a n-n 此行列式为范德蒙德行列式 n(n+1) (-1) I(a-i+1)-(a-j+1) n+12i>1 n(n+1 n(n+1) -(i-j)=(-1) n+12i>j21 n+12i>2l

a x x a a x x a a x x a x a a a Dn − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0         再将各列都加到第一列上，得 x a x a x a x n a a a a Dn − − − + − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1)         [ ( 1) ]( ) 1 x n a x a n = + − − − (3)从第 n + 1 行开始，第 n + 1 行经过 n 次相邻对换，换到第 1 行，第 n 行经 (n − 1) 次对换换到第 2 行…，经 2 ( 1) ( 1) 1 + + − + + = n n n n  次 行 交换，得 n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a n D ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 ( 1) 1 − − − − − − = − − − − + +         此行列式为范德蒙德行列式  +    + + = − − + − − + 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) [( 1) ( 1)] n i j n n n D a i a j   +    + − + + + +    + = − − − = − • − • − 1 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1) [ ( )] ( 1) ( 1) [( )] n i j n n n n n i j n n i j i j 

n+12i>≥l b (4)D2n=0 n-1 按第一行0 b1 展开 0 0 d 0 bi 2 0 +(-1)2nb, 0 都按最后一行展形ndnD2n2-b,CnD2 由此得递推公式: D,=(a, d-b,C)D 即 (a1d1-b,c1)

 +    = − 1 1 ( ) n i j i j (4) n n n n n c d c d a b a b D 0 0 0 1 1 1 1 2     = n n n n n n d c d c d a b a b a 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − −       展开 按第一行 0 0 0 0 0 0 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 c c d c d a b a b b n n n n n n n − − − − + + −     n n 2n−2 − n nD2n−2 都按最后一行展开a d D b c 由此得递推公式： 2 2 2 ( ) n = n n − n n D n− D a d b c 即 = = − n i D n aidi bi ci D 2 2 2 ( )