第八章微积分的进一步应用 微元法 曲边梯形的面积的求法 dA=f(x)dx(矩形面积=底x高) A=dA=f(x)dx 整体量由局部围成,将实际问题抽象为定积分.从整体着眼,从局部入手,小区间在极限过 程中缩小为一点.将区间上的整体量化成区间上一点的微分,亦称为微元,然后对区间上的 各点无限累加一一连续作加 平面区域的面积 1.直角坐标系 a≤x≤b 平面区域: f(x)与y(x)所夹 S=「f(x)-y(x) 2.参数方程 曲线是参数方程x=d(t)y=(t)a≤t≤B,Φ(t),P(1)及Φ(D)在[ab]上连续,且 d(t)=a,(t)=b.D由曲线x=Φ(t),y=(1)及直线x=a与x=b围成,区域的面积 A=「y(o)t 例1.椭圆x= a cost y= b sint a=bcos xlasn x
第八章 微积分的进一步应用 一．微元法 曲边梯形的面积的求法． dA=f(x)dx (矩形面积＝底 高) A= b a dA= b a f (x)dx 整体量由局部围成，将实际问题抽象为定积分．从整体着眼，从局部入手，小区间在极限过 程中缩小为一点．将区间上的整体量化成区间上一点的微分，亦称为微元，然后对区间上的 各点无限累加――连续作加． 一．平面区域的面积． １．直角坐标系 平面区域： f (x)与y(x)所夹 a x b R SR = − b a f (x) y(x) dx 2. 参数方程 曲线是参数方程 x= (t) ,y= (t) t , (t) , (t)及 (t) 在［a,b］上连续，且 (t)＝a, (t)=b. D 由曲线 x= (t) ,y= (t)及直线 x=a 与 x=b 围成，区域的面积 A= b a (t) (t) dx 例１． 椭圆 x=a cost y=b sint A= 2 0 b cos x(a sin x)dx =ab xdt 2 0 2 sin
(1-cos 2x ddt 例2旋轮线:x=a( t-sint)y=a(l-cos)(a>00≤t≤2丌) 一拱与x轴围成的区域的面积 「a( dt 3极坐标 △A=f2(0)d a= d f2(6)d f(e 3圆p=a(00)围成区域 A=4-r2da=2 a2 cos 20d0
= 2 ab x dt − 2 0 (1 cos 2 ) = 2 ab (x- 2 1 sin2x) 0 2 =ab 例２ 旋轮线：x=a(t-sint) y=a(1-cost) (a 0 0 t 2 ) 一拱与 x 轴围成的区域的面积 A= a x dt − 2 0 2 2 (1 cos ) =3 2 a 3.极坐标 A= 2 1 2 f ( ) d A= ` dA= ` 2 ( ) 2 1 f d 3 圆 = a （0< 2 ） A= 2 0` 2 2 1 a d = 2 a 4 双纽线． cos 2 2 2 r = a （ａ＞０）围成区域． A= = 4 0 2 4 0 2 2 cos 2 2 1 4 r da a d
a2(sn2)4=a 5.三叶玫瑰线r=ac0s36 os 30de = acos230030) 三.平面曲线的弧长 定义:若当(T)→0时 lim L(t)=L MN可求长,其长为L Thl.fx)在区间[ab]上可导,且∫(x)连续,则在[ab]上的曲线可求长,且弧长 L=|√1+f2(x)dx(1) (1)式是弧长公式 证明:()=∑√x-x-)2+[f(x)-f(x- ∑√Ax)+f”(5;)-(△x2) ∑+f"(5)Ax xkL<sk <xk ∫h+f"(xl dL=√l+f2(x)ak 例9f(x)=(°+1a)dx在[0,a]上的弧长
＝ 2 2 0 a (sin 2 ) 4 = a 5．三叶玫瑰线 r = acos3 A a d = 6 0 2 2 cos 3 2 1 6 = cos 3 (3 ) 6 0 2 2 a d 三．平面曲线的弧长 2 2 ds = dx + dy 定义：若当 l(T ) → 0 时 ( ) 0 lim l T → L（T）=L MN 可求长，其长为 L Th1. f(x)在区间[a,b]上可导，且 f (x) 连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长 L= L f x dx b a = 1+ ( ) 2 （1） （1） 式是弧长公式。 证明： = = − − + − − n k k k k k L T x x f x f x 1 2 1 2 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] == + − n k k k x f x 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) == + n k k k f x 1 2 1 ( ) k k k x x −1 L= f x dx b a 1+ ( ) 2 dL 1 f (x)dx 2 = + 例9 f(x)= l l dx a a x a x ( ) 2 − + 在[0,a]上的弧长
解:f(x)=(1a-1ax 例10.求曲线√x+√y=1的全长 由公式(1)曲线的全长 2 L 令√x=tdx=2tdt当x=0时t=0节当x=1时t=1 则L=(2x-2x+1=22(x- 2.参数方程 Ih2参数方程x=p(1)y=(1)(a≤x≤B) q(a)与v(B)在,月上连续,则 L=∫√°()+v( 例11求半径为r的圆的周长 解:x=rc0s,y=rsn,0≤≤2丌* l=√x2+y2d=r|dq=2m 例12星形线x=acos3p,y=asin3,a>0,0≤q≤2m的全长
解： f x l l dx a x a x ( ) 2 1 ( ) − = − = 0 ( ) 2 a l l a a x a x − + = ) 1 ( 2 l l a − 例 10． 求曲线 x + y =1 的全长 y =1− x y = 1− 2 x + x x y 1 = 1− x x y 2 1 1 2 2 + = − + 由公式（1） 曲线的全长 = − + 1 0 2 1 2 x x L 令 x = t dx=2tdt 当 x=0 时 t=0 节当 x=1 时 t=1 则 = − + 1 0 2 L 2x 2x 1dt = x dt − + 1 0 2 4 1 ) 2 1 2 2 ( =1+ 2 ln(1 2) 2 2 1 + 2．参数方程 Th2.参数方程 x = (t) y = (t) （ x ） ()与() 在 ， 上连续，则 L (t) (t)dt = + 2 2 例 11 求半径为 r 的圆的周长 解： x = r cos, y = rsin ,0 2 * = + = = 2 0 2 0 2 2 l x y d r d 2 r 例 12 星形线 cos , sin , 0,0 2 3 3 x = a y = a a 的全长
L=40Vx2+yodo=12a sin pcos pdo= 3a[ sin 2ado= 6a 3.极坐标r=f(0)(a≤6≤B)表示f(0)在月上连续 x=f()cos,y=f()sn,a≤0≤B dL=√2(0)+f"(0)d0 L=d=√f()+f2(0)d0 B.求心脏线r=(1+cos)的全长 L=2(Vr2+r 2d8=2a 2(1+ cos 0 0=4a cosed0=8a 变力作功 例1空气活塞机的活塞面积是A,在等温的压缩过程中,活塞由x1处(气体体积H=Ax1) 压缩到x(x2<x1)此时气体体积V2=Ax2,求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的 功 P 其中c是比例常数。在[x2,x]上任意一点x,气体体积V=Ax,即p=。活塞面 上的总压缩p(x)=A.C=。在点x活塞运动了dx,则在点x空气压缩机消耗的功微 元dh是:ah=--dx
= + = = = 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 4 12 sin cos 3 sin 2 6 . L x y d a d a d a 3．极坐标 r = f ()( ) 表示 f ( ) 在 , 上连续 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + = = L dL f f d dL f f d x f y f 2 2 2 2 cos , sin , B． 求心脏线 r = a(1+ cos) 的全长 ( ) = + = + = = 0 0 0 2 2 8 . 2 L 2 r r d 2a 2 1 cos d 4a cos d a 变 力 作 功 例 1 空气活塞机的活塞面积是 A ，在等温的压缩过程中，活塞由 1 x 处（气体体积 V1 = Ax1 ） 压缩到 ( ) 2 2 1 x x x ,此时气体体积 V2 = Ax2 ，求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的 功。 解： V c p = 其中 c 是比例常数。在 2 1 x , x 上任意一点 x ，气体体积 V = Ax ，即 Ax c p = 。活塞面 上的总压缩 ( ) x c Ax c p x = A = 。在点 x 活塞运动了 dx ，则在点 x 空气压缩机消耗的功微 元 dw 是： dx x c dw = −
