第三节非齐次线性方程组
第三节 非齐次线性方程组
对非齐次线性方程组 +a1x+…+a,x.=b 2x2+…+ 十an,2x+…+a X mnn A XX ≠0
对非齐次线性方程组 令 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = n m x b x b x b x b = = 1 1 2 2 , 0
则原来的方程组可以表示为 Axb (2) 如果令 则原来的方程组也可以表示为 X1a X202 ■ +x.=b
则原来的方程组可以表示为 Ax=b (2) 如果令 则原来的方程组也可以表示为 x1a1+x2a2+…+xnan=b 1 2 ( 1,2, , ) j j j mj a a a j n a = =
称方程组 AX0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 、非齐次线性方程组有解的条件 B 22 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵
称方程组 Ax=0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 一、非齐次线性方程组有解的条件 令 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵。 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b B a a a b =
则下面的四种提法是等价的: 非齐次线性方程组(1)有解; 1)向量b能由向量组a1,a2,…an线性表示; Ⅲ向量组a1,a2,…an与向量组a1,a2,…an, b等价; MVR(A)ER(B) 即有下列定理成立 定理1非齐次线性方程组(1)有解的充分必要 条件是它的系数矩阵A与增广 矩阵B的秩相等
则下面的四种提法是等价的: I) 非齐次线性方程组(1)有解; II) 向量b能由向量组a1,a2,…an线性表示; III)向量组a1,a2,…an与向量组a1,a2,…an, b等价; IV) R(A)=R(B)。 即有下列定理成立 定理1 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要 条件是它的系数矩阵A与增广 矩阵B的秩相等
若非齐次线性方程组(1)的 R(A)=R(B)=r>0, 不妨假设其前r行及前r列所构成的r阶主子式D≠0, 于是可得到非齐次线性方程组(1)的一个同 解方程组为 「a1x1+a12x2+…+anx=b1-a1x nn c21x1+a22x2+…+a 2r+1r+1 ∴一2nn ax taxt.tax=b=ax a x
若非齐次线性方程组(1)的 R(A)=R(B)=r>0, 不妨假设其前r行及前r列所构成的r阶主子式D≠0, 于是可得到非齐次线性方程组(1)的一个同 解方程组为 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 21 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 1 1 2 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x + + + + + + + + + = − − − + + + = − − − + + + = − − −
用克莱姆法则可解此方程组。 X位DD,x2=D2D,…,xF=D/D, r+1=r+1 nn 定理2如果非齐次线性方程组(1)有解,则当 它的系数矩阵的秩rn时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解;当它的系数矩阵的秩r<n时, 非齐次线性方程组(1)有无穷多个解
用克莱姆法则可解此方程组。 x1=D1 /D ,x2=D2 /D ,…,xr=Dr /D, xr+1= xr+1,…,xn =xn 定理2 如果非齐次线性方程组(1)有解,则当 它的系数矩阵的秩r=n时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解;当它的系数矩阵的秩r<n时, 非齐次线性方程组(1)有无穷多个解
例1问入为何值时,线性方程组 ax, tx+x +hx tx=n +x2+ 有解;有唯一解;有无穷多个解? 解此线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵B分 别 为: 11 A=1x1,B=1x1元 11x
例1 问λ为何值时,线性方程组 有解;有唯一解;有无穷多个解? 解 此线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵B分 别 为: 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 x x x 1 x x x x x x + + = + + = + + = 2 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 A B = =
由于 λ1|=(2-13(+2) 当λ≠1,λ≠-2时,R(A)=R(B)=3, 这时线性方程组有唯一解 当λ=1时,R(A)=R(B)=1<3,这时线 性方程组有无穷多个解; 当λ=-2时,R(A)=2#R(B)=3,此时线 性方程组无解
由于 当λ≠1,λ≠-2时,R(A)=R(B)=3, 这时线性方程组有唯一解; 当λ=1时,R(A)=R(B)=1<3,这时线 性方程组有无穷多个解; 当λ=-2时,R(A)=2≠R(B)=3,此时线 性方程组无解。 2 1 1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 A = = − +
此题也可将增广矩阵进行初等行变换,讨 论系数矩阵与增广矩阵的秩的关系,从而 得到其解的情况。 12 2<)r 72-7i B=1412 → 1212 1222 2-入r 22 乃+n 02-11-2-2 01-21-21-23
此题也可将增广矩阵进行初等行变换,讨 论系数矩阵与增广矩阵的秩的关系,从而 得到其解的情况。 3 1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 r r r r r r r r B − − + = − − − − − − → → →