§13集类 教学目的本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识.本节给出几种在测度论中常见集类.介绍了本节集类的知识后将可 以有效简化测度论若干定理的证明 本节要点本节介绍了在测度论常见的几种集类如环代数和σ-代数等 本节介绍的集类较多,应注意理清各个集类之间的相互关系.与σ-代数相关 的概念及其应用是本节的重点 集类设X为一固定的非空集.以X的一些子集为元素的集称为X上的集类.集类 般用花体字母如,B,C等表示.例如,由直线R上开区间的全体所成的集就是R上 的一个集类.本节若无特别申明,均设所考虑的集类都是X上的集类 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类.对集类要求不同的运算封闭性 就得到不同的集类。本节介绍常见的几种集类,主要包括半环,环,代数和σ-代数.这几 种集类对运算封闭性的要求一个比一个强 I半环与环 定义1设C是一集类,若C满足条件 (1)∈C (2)若A,B∈C,则A∩B∈C (3)若A,B∈C,则存在C中有限个互不相交的集C1,…,Cn,使得 A-B=UC 则C称为半环 例1设C={(an,b]:-∞0<a≤b<+∞}是直线上左开右闭有界区间的全体则C是 个半环 定义2设是一个非空集类.若对并运算和差运算封闭,则称为环 定理3设是一个非空集类.则 (1)若对不相交并和差运算封闭,则是环 (2)若是一个环.则∈界并且对交运算封闭
22 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识. 本节给出几种在测度论中常见集类. 介绍了本节集类的知识后,将可 以有效简化测度论若干定理的证明. 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等. 本节介绍的集类较多, 应注意理清各个集类之间的相互关系. 与σ -代数相关 的概念及其应用是本节的重点. 集类 设 X 为一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 集类一 般用花体字母如 A ,B ,C 等表示. 例如, 由直线 1 R 上开区间的全体所成的集就是 1 R 上 的一个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性 就得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和σ -代数. 这几 种集类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义 1 设C 是一集类, 若C 满足条件 (1) ∅ ∈C (2) 若 A, B ∈C , 则A ∩ B ∈C. (3) 若 A, B ∈C , 则存在C 中有限个互不相交的集 , , , C1 L Cn 使得 . 1 U n i A B Ci = − = 则C 称为半环. 例 1 设C = {(a,b]: −∞ < a ≤ b < +∞}是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C 是 一个半环. 定义 2 设R 是一个非空集类. 若R 对并运算和差运算封闭, 则称R 为环. 定理 3 设R 是一个非空集类. 则 (1) 若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 是环. (2) 若R 是一个环. 则∅ ∈ R 并且R 对交运算封闭
证明由于A∪B=A∪(A-B),故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到 因此若咒对不相交并和差运算封闭,则对并运算也封闭,因而界是一个环.设是 个环.由于界非空,故存在A∈咒.于是⑧=A-A∈.由于 A∩B=(A∪B)-(A-B)∪(B-A) 即交运算可以通过并运算和差运算得到,因此界对交运算封闭■ 例2设={A:A是X的有限子集},则是一个环 定理4设C是一个半环.令 ={∪c:C1…C属于C并且互不相交,k21 (1) 则是一个环.并且是包含C的最小的环 证明显然Cc.由定理3,为证是一个环,只需证明对不相交并和差运算封 闭即可.显然对不相交并算封闭往证?对差运算封闭设A=U4和B=∪B 是中任意两个集.则 A∩B=(U4)(UB)=U∪(4⌒B =lj=1 由于C对交运算,利用上述等式知道对交运算封闭.我们有 A-B=U4-UB=U∩(4-B) 由于C是半环,故A1-B,可以表示为C中的有限个集的不相交并,因此由的定义知 道A-B∈.上面已证?对交运算封闭,因此∩(4-B)∈.由于 (4-B,):1=1…,n}中的集互不相交并且R对不相交并运算封闭,由(2)知道 A-B∈R.即对差运算封闭.所以是一个包含C的环.显然若是任意包含C 的环则c.即界是包含C的最小的环(图3-1是当C是例1中的半环的情形)
23 证明 由于 A∪ B = A∪(A− B), 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因此若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 对并运算也封闭, 因而R 是一个环. 设R 是 一个环. 由于R 非空, 故存在 A∈ R. 于是∅ = A − A∈ R. 由于 A ∩ B = (A ∪ B) − ((A − B) ∪ (B − A)), 即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此R 对交运算封闭. 例 2 设R = {A : A是X的有限子集}, 则R 是一个环. 定理 4 设C 是一个半环. 令 R { : , , , 1}. 1 1 = ≥ = C C C k k k i U i L 属于C 并且互不相交 (1) 则R 是一个环. 并且R 是包含C 的最小的环. 证明 显然C ⊂ R.由定理 3, 为证R 是一个环, 只需证明R 对不相交并和差运算封 闭即可. 显然R 对不相交并算封闭. 往证 R 对差运算封闭. 设 U n i A Ai =1 = 和 U m j B Bj =1 = 是R 中任意两个集. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 U U UU n i m j i j n i i n i A B Ai B A B = = = = ∩ = ∩ = ∩ 由于C 对交运算, 利用上述等式知道R 对交运算封闭. 我们有 ( ). 1 1 1 1 U U UI n i m j i j m j j n i A B Ai B A B = = = = − = − = − (2) 由于C 是半环, 故 Ai − Bj 可以表示为C 中的有限个集的不相交并, 因此由R 的定义知 道 Ai − Bj ∈ R . 上面已证 R 对交运算封闭 , 因 此 − ∈ = I m j Ai Bj 1 ( ) R . 由 于 − = = A B i n m j i j ( ) : 1, , 1 I L 中的集互不相交并且 R 对不相交并运算封闭, 由(2)知道 A − B ∈ R . 即R 对差运算封闭. 所以R 是一个包含C 的环. 显然,若R ′ 是任意包含C 的环,则R ⊂ R ′. 即R 是包含C 的最小的环(图 3 1 是当C 是例 1 中的半环的情形)
A-B B A=A1∪A2 B=B,∪B 图3—1 我们称由(1)定义的环为由C生成的环,记为R(C)由定理4知道,(C)是包含 C的最小的环 例3设 ={U(a,b]:(anb]⌒(a,b]=(≠k21} 由例1和定理4知道是一个环 Il代数与G-代数 定义5设是一个非空集类.若对并运算和余运算封闭,则称为一个代数 容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.结合环的运 算封闭性知道,若.是一个代数,则必,X∈并且.对有限并、有限交、差和余运算 封闭 定义6若丌是一个非空集类,满足 (1)若A∈分,则A∈界 (2)若A,∈,n=1,2,…,则A∈ 则称为一个a-代数(或O-域 例4设分={x,},则是X上的σ-代数.这是X上的最小的a-代数 例5设/(X)是由X的全体子集所成的集类.则P(X)是一个σ-代数.这是X上的 最大的σ-代数 例6设X是一个无限集.令4={A:A.或者AC是有限集}.则4是X上的一个 代数.由于4对可数并运算不封闭,因此不是一个a-代数.若令A={A:A或者 A至多是可数集}则是X上的一个a-代数.以上结论的验证留作习题
24 图 3 1 我们称由(1)定义的环R 为由C 生成的环, 记为R (C ).由定理 4 知道, R (C ) 是包含 C 的最小的环. 例 3 设 { ( , ]: ( , ] ( , ] ( ), 1}. 1 = ∩ = ∅ ≠ ≥ = a b a b a b i j k i i j j i R U i i 由例 1 和定理 4 知道R 是一个环. II 代数与σ -代数 定义 5 设A 是一个非空集类. 若A 对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环. 结合环的运 算封闭性知道, 若 A 是一个代数, 则∅, X ∈ A 并且 A 对有限并 有限交 差和余运算 封闭. 定义 6 若F 是一个非空集类, 满足 (1) 若 ∈F , ∈F . c A 则A (2) 若 , 1, 2, , . 1 ∈F = ∈F ∞ = L U n An n 则 An 则称F 为一个σ -代数(或σ -域).. 例 4 设F ={X ,∅},则F 是 X 上的σ -代数. 这是 X 上的最小的σ -代数. 例 5 设P (X ) 是由 X 的全体子集所成的集类. 则P (X ) 是一个σ -代数. 这是 X 上的 最大的σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令 A = {A : A. 或者 C A 是有限集}. 则 A 是 X 上的一个 代数. 由于 A 对可数并运算不封闭, 因此 A 不是一个σ -代数. 若令 A = {A : A 或者 C A 至多是可数集} 则F 是 X 上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. A1 A2 B1 A1 − B1 14243 14243 14 2 444 4 3 444 14243 64748 B2 A2 − B2 6 4 78 6478 A = A1 ∪ A2 B = B1 ∪ B2
定理7设是一个σ-代数.则 (1)∈分,X∈ (2)牙对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭 证明由于 An=A1∪…∪A,∪A 即有限并可以表示成可数并.由于对可数并运算封闭,因此牙对有限并运算封闭.因 此牙是代数,由代数的性质知道X,∈丌并且对有限交运算和差运算封闭。由De Morgan公式得到∩4=(4),由于对可数并和余运算的封闭性知道对可 数交运算封闭■ 以上定义的四种集类的关系是,每个σ-代数都是代数,每个代数都是环,每个环都 是半环 思考题:1.分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ-代数 2.举例说明σ-代数对任意多个集的并运算不一定封闭 由集类生成的-代数在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类C,存在一个 包含C的最小的环R(C).关于a-代数和代数有类似的结果 定理8设C是一个非空集类则必存在唯一的一个σ-代数了,满足 (2)对任何包含C的σ-代数丌,必有 证明由X的全体子集所成的集类P(X)是一个σ-代数.因此至少存在一个包含 C的σ-代数.令 3∩{:是包含C的一代数} 则丌是一个包含C的σ-代数.事实上,显然犴非空并且牙彐C.设 A,∈J,n=12,…往证∪A∈丌.设是任意一个包含C的a代数.则 A∈",n=12,…由于'是σ代数,因此∪A∈这表明∪A∈.因此 丌对可数并运算封闭.类似可以证明犭对余运算封闭.因此丌是一个包含C的 σ-代数由丌的定义知道,对任何包含C的σ一代数丌,必有T′→丌.因此存在 性得证唯一性是显然的
25 定理 7 设F 是一个σ -代数. 则 (1) ∅ ∈F , X ∈F . (2) F 对有限或可数并 有限或可数交 余和差运算封闭. 证明 由于 , A1 ∪L∪ An = A1 ∪L∪ An ∪ An L 即有限并可以表示成可数并. 由于F 对可数并运算封闭, 因此F 对有限并运算封闭. 因 此F 是代数 由代数的性质知道 X ,∅ ∈F 并且F 对有限交运算和差运算封闭 由 De Morgan 公式得到 ( ) , 1 1 C n C n n IAn UA ∞ = ∞ = = 由于F 对可数并和余运算的封闭性知道F 对可 数交运算封闭. 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都 是半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理 4 中我们已经知道, 给定一个非空集类C , 存在一个 包含C 的最小的环R (C ). 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理 8 设C 是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ⊃ C . (2) 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 证明 由 X 的全体子集所成的集类P (X ) 是一个σ − 代数. 因此至少存在一个包含 C 的σ -代数. 令 F =I{F ′ :F ′是包含C 的σ − 代数}. 则 F 是一个包含 C 的 σ - 代 数 . 事实上 , 显 然 F 非空并且 F ⊃ C . 设 A ∈ , n = 1, 2,L. n F 往 证 . 1 ∈F ∞ = U n An 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ - 代 数 . 则 An ∈ F ′, n = 1, 2,L.由于 F ′ 是σ -代数, 因此 . 1 ∈F ′ ∞ = U n An 这表明 . 1 ∈F ∞ = U n An 因此 F 对可数并运算封闭. 类似可以证明 F 对余运算封闭. 因此 F 是一个包含C 的 σ − 代数.由F 的定义知道, 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 因此存在 性得证.唯一性是显然的
由定理8,对任意一个非空集类C,存在唯一的一个包含C的最小的σ-代数.这 个σ-代数称为由C生成的σ-代数,记为σ(C).类似可定义由C生成的代数,记为 A(c) 例7设C是由X的单点子集的全体所成的集类.则 σ(C)={A:A或A是有限集或可数集} 证明将(3)的右边所定义的集类记为丌.显然三C.不难验证牙是一个σ-代数 (具体验证过程留作习题)另一方面,设牙’是任意一个包含C的σ-代数.若A是至多 可数集,则A可以表示成单点集的有限并或可数并.既然’包含C并且对有限并和可 数并运算封闭,因此A∈分!若AC是至多可数集,则A∈丌!由于分对余运算封闭 因此A=(A)∈丌.这表明丌.综上所证,丌是包含C的最小的σ--代数 因此a(C)= 例8设C={A:A是X的有限子集},C1={A:A或A是X的有限子集}.则 (C)=G(C) 证明由于 CcCca(C1),并且(C)是包含C的最小σ-代数,因此 (C)cσ(C1).往证相反的包含关系.设A∈C1,则A或者A是有限集若A是有限 集,则A∈Ccσ(C).若A是有限集,则A∈Ccσ(C).由于σ(C)对余运算封 闭,因此A=(A)∈a(C).这表明C1cσ(C).因此a(C)∈σ(C).这就证明了 设C是一个非空集类.若丌是一个σ-代数并且Cc界,则必有a(C)c丌.这 是因为a(C)是包含的C的最小的σ-代数.由此得到测度论中常用的一种证明方法如下 设我们要证明由集类C生成的G-代数G(C)中所有的集都具有某种性质P令 ={A:A具有性质P} 然后证明(1)Cc.(i)是一个σ-代数.于是由(C)的最小性知道a(C)c 即a(C)中所有的集都具有性质P 在上述证明方法中,具有性质P的集可以通俗的称为“好集”,上述证明方法可以 称为“好集原理” 以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明 丌类与类 定义9设C是一个非空集类 (1)称C为丌类,若C对有限交运算封闭 (2)称C为λ类,若C满足 (i).X∈C (i).若A,B∈C并且A→B,则A-B∈C(对包含差运算封闭)
26 由定理 8, 对任意一个非空集类C , 存在唯一的一个包含C 的最小的σ − 代数. 这 个σ -代数称为由C 生成的σ -代数, 记为σ (C ). 类似可定义由C 生成的代数, 记为 A(C ). 例 7 设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则 σ (C ) = {A : A 或 c A 是有限集或可数集}. (3) 证明 将(3)的右边所定义的集类记为F . 显然F ⊃ C . 不难验证F 是一个σ -代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设F ′ 是任意一个包含C 的σ -代数. 若 A 是至多 可数集, 则 A 可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然F ′ 包含C 并且对有限并和可 数并运算封闭, 因此 A∈ F ′. 若 c A 是至多可数集, 则 ∈c A F ′. 由于F ′ 对余运算封闭, 因此 = ∈ c c A (A ) F ′. 这表明F ′ ⊃ F . 综上所证, F 是包含C 的最小的σ -σ -代数. 因此σ (C ) = F . 例 8 设 C ={A : A是X的有限子集}, C1={A : A或A 是X的有限子集}. c 则 σ (C ) = ( ). σ C1 证 明 由 于 C ⊂C1 ⊂ ( ) σ C1 , 并 且 σ (C ) 是包含 C 的最小 σ - 代 数 , 因 此 σ (C ) ⊂ ( ) σ C1 . 往证相反的包含关系. 设 A∈C1 . 则 A 或者 c A 是有限集. 若 A 是有限 集, 则 A∈C ⊂ σ (C ). 若 c A 是有限集, 则 c A ∈C ⊂ σ (C ). 由于σ (C ) 对余运算封 闭, 因此 A= ∈ c c (A ) σ (C ). 这表明C1 ⊂ σ (C ). 因此 ( ) σ C1 ⊂ σ (C ). 这就证明了 σ (C ) = ( ). σ C1 设C 是一个非空集类. 若F 是一个σ -代数并且C ⊂ F , 则必有σ (C ) ⊂ F . 这 是因为σ (C ) 是包含的C 的最小的σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我们要证明由集类C 生成的σ − 代数 σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A具有性质P}. 然后证明(i).C ⊂ F . (ii).F 是一个σ -代数. 于是由σ (C ) 的最小性知道σ (C ) ⊂ F . 即σ (C ) 中所有的集都具有性质 P. 在上述证明方法中, 具有性质 P 的集可以通俗的称为 好集 , 上述证明方法可以 称为 好集原理 . 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. π 类与λ 类 定义 9 设C 是一个非空集类. (1) 称C 为π 类, 若C 对有限交运算封闭. (2) 称C 为λ 类, 若C 满足 (i). X ∈C . (ii) .若 A, B ∈C 并且 A ⊃ B, 则 A − B ∈C (对包含差运算封闭)
i)若{4n}c并且A个,则UA∈C(对单调增加的集列的并运算封闭 设C是一个非空集类.类似于-代数的情形,存在一个包含C的最小λ类,称之 为由C生成的类,记为A(C) 定理10集类丌是σ一代数当且仅当丁既是丌类又是类 证明必要性是显然的.往证充分性因为丌既是丌类又是λ类,因此丌对余运算 和有限交运算封闭.于是由 De morgan公式推出对有限并运算封闭.设{An}是中 的一列集。令Bn=∪4,n21.则{Bn}<并且Bn↑.由于丌是类,因此 UA,=UBn∈.故对可数并运算封闭所以是一个a-代数■ 定理11设C是一个丌类则A(C)=(C) 推论12若C是一个丌类,是一个类并且Cc丌,则σ(C)c丌 证明由定理1知道G(C)=A(C).即σ(C)是包含C的最小类.而是一个包 含C的类,因此a(C)c 由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法.设C是一个丌类,若我们要 证明a(C)中所有的集都具有某种性质P令 T={A:A具有性质P 然后证明(i)Cc.(i)是一个类.于是由推论12知a(C)c.即σ(C)中所 有的集都具有性质P 小结本节介绍的环,代数和a-代数等是测度论中常见的几种集类它们的运算封 闭性一个比一个强.σ-代数是最重要的一种集类任何一个非空集类C可以生成一个σ 代数,即G(C),它是包含C的最小a-代数.利用(C)的性质,得到测度论中常用的 种证明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明 习题习题一,第18题一第28题
27 (iii).若{An } ⊂ F 并且 ↑, An 则 ∈C ∞ = U n 1 An (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C 是一个非空集类. 类似于σ − 代数的情形, 存在一个包含C 的最小 λ 类, 称之 为由C 生成的λ 类, 记为λ(C ). 定理 10 集类F 是σ − 代数当且仅当F 既是π 类又是λ 类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F 既是π 类又是 λ 类, 因此F 对余运算 和有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出F 对有限并运算封闭. 设{ } An 是F 中 的一列集 . 令 , 1. 1 = ≥ = B A n n i n U i 则 {Bn } ⊂ F 并 且 ↑ . Bn 由 于 F 是 λ 类 , 因 此 = ∈ ∞ = ∞ = U U 1 n 1 n n An B F . 故F 对可数并运算封闭. 所以F 是一个σ − 代数. 定理 11 设C 是一个π 类. 则λ(C ) = σ (C ). 推论 12 若C 是一个π 类, F 是一个λ 类并且C ⊂ F , 则σ (C ) ⊂ F . 证明 由定理 11 知道σ (C ) = λ(C ). 即σ (C ) 是包含C 的最小λ 类. 而F 是一个包 含C 的λ 类, 因此σ (C ) ⊂ F . 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C 是一个π 类, 若我们要 证明σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A 具有性质 P}. 然后证明(i) C ⊂ F . (ii) F 是一个λ 类. 于是由推论 12 知σ (C ) ⊂ F . 即σ (C ) 中所 有的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封 闭性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C 可以生成一个σ - 代数, 即σ (C ) , 它是包含C 的最小σ -代数. 利用σ (C ) 的性质, 得到测度论中常用的一 种证明方法即所谓 好集原理 , 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第 18 题 第 28 题
