第五节综合与提高
第五节 综合与提高
对于一个阶数比较高的行列式,利用定义求值 或利用行列式按行列展开法则求值都不是一种可 行的方法。诚如前面所指出的,计算一个n阶行列 式就要作n次乘法当n增大时,n!的增长是非常快 的,例如,18!≈64×1015。假定计算机作一次乘法运 算的时间是百万分之一秒,则通过反复使用行列式 按行(列)展开法则并用这种计算机求一个18阶行列 式的值需要的时间(以每天工作八小时计算)竟多达 200年!这就说明为一般地解决行列式的求值问 题,必须利用行列式性质发展有效的计算方法,对 各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手 续。本节例析几种常用的行列式值的求法,最后介 绍行列式的简单应用
对于一个阶数比较高的行列式，利用定义求值 或利用行列式按行(列)展开法则求值都不是一种可 行的方法。诚如前面所指出的，计算一个n阶行列 式就要作n!次乘法.当n增大时，n!的增长是非常快 的，例如,18!6.41015。假定计算机作一次乘法运 算的时间是百万分之一秒，则通过反复使用行列式 按行(列)展开法则并用这种计算机求一个18阶行列 式的值需要的时间(以每天工作八小时计算)竟多达 200年！这就说明为一般地解决行列式的求值问 题，必须利用行列式性质发展有效的计算方法，对 各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手 续。本节例析几种常用的行列式值的求法，最后介 绍行列式的简单应用
行列式值的求法 下面通过例子说明几种常用的求解行列式的方法。 1.利用行列式性质把行列式化成等值的三角形 行列式进行计算 例1计算行列式 31
一 行列式值的求法 下面通过例子说明几种常用的求解行列式的方法。 1.利用行列式性质把行列式化成等值的三角形 行列式进行计算. 例1 计算行列式 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 D − − − − − − =
解 0 1000 382 4 2 3200
解 5 1 3 3 0 2 1 1 1 5 3 4 1 3 1 2 D 2 c 1 c − − − − − − − 0 16 2 7 0 2 1 1 0 8 4 6 1 3 1 2 4 5 r r 1 r 2 r − − − − − − + − 0 0 10 15 0 0 8 10 0 2 1 1 1 3 1 2 2 8r 4 r r 4r 3 2 − − − − − − +
3 2(>r3 021 0-84 016-27 12 4413 3200 8-10 =40
0 16 2 7 0 8 4 6 0 2 1 1 1 3 1 2 2 3 r r − − − − − − 40 2 5 0 0 0 0 0 8 10 0 2 1 1 1 3 1 2 3 r 4 5 4 r = − − − − +
例2计算行列式 a X 解这个行列式的特点是各列n个元素之和都为 x+(n-1)a。今把后n-1同时加到第1行,提出公因子 x+(n-1)a,然后各行减去第1行的a倍: x+(n-1)ax+(n-1)a…x+(n-1al a X a a
例2 计算行列式 解 这个行列式的特点是各列n个元素之和都为 x+(n−1)a。今把后n−1行同时加到第1行，提出公因子 x+(n−1)a，然后各行减去第1行的a倍： a a x a x a x a a D = a a x a x a x (n 1)a x (n 1)a x (n 1)a D + − + − + − =
a a [x+(n-1)a X-a =[x+(n-1)a lX+(n-Da(x-a)n-I
a a x a x a 1 1 1 [x (n 1)a] = + − n 1 [x (n 1)a](x a) 0 0 x a 0 x a a 1 1 1 [x (n 1)a] = + − − − − − = + −
2.利用行列式性质降阶计算 这种方法的基本思想是利用行列式的性质6将行列 式的一行(或一列的n-1个元素法变成零,然后按 该行(或该列)展开,从而将一个n阶行列式化成 个n-1阶行列式进行求解 例3计算行列式 D 53
2．利用行列式性质降阶计算. ❖ 这种方法的基本思想是利用行列式的性质6将行列 式的一行(或一列)的n−1个元素法变成零，然后按 该行（或该列）展开，从而将一个n阶行列式化成 一个n−1阶行列式进行求解。 例3 计算行列式 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 D − − − − − − =
令解我们保留a33,将第3行的其余元素变为0,然 后按第3行展开: 2c3-1113 D C4+c30 5-530 5
❖ 解 我们保留a33，将第3行的其余元素变为0，然 后按第3行展开： 5 5 3 0 0 0 1 0 11 1 3 1 5 1 1 1 c c c 2c D 4 3 1 3 − − − − − + − 5 5 0 11 1 1 5 1 1 ( 1) 3 3 − − = − + − −
ri t r2 620 =(-1)+3 40 5 3建立递推关系进行计算 在行列式计算中,建立递推关系再行求解,也是 种有用的技巧。当然,发现递推关系需要经验, 也可能要费一番功夫
3.建立递推关系进行计算. 在行列式计算中，建立递推关系再行求解，也是 一种有用的技巧。当然，发现递推关系需要经验， 也可能要费一番功夫。 5 5 0 6 2 0 5 1 1 r1 r2 − − − + 40 5 5 6 2 ( 1) 1 3 = − − − = − +