§14R中的点集 教学目的欧氏空间R上的测度与积分是本课程的主要研究对象本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念通过本节的学习可以熟悉欧氏空间上的开集 闭集和 Borel集 Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础 本节要点由R”上的距离给出邻域内点聚点的定义,从而给出开集,闭集 的定义由开集生成一个O-代数引入 Borel集 Cantor集是一个重要的集,它有 一些很特别的性质应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用 充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论.但R”上的 Lebesgue测度与 Lebesgue积分仍是最重要的情形.这不仅是因为R”上的 Lebesgue积分具有广泛的应用, 而且因为R上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例.本节将讨论n维欧式空间中 的一些常见的点集 用R”表示n维欧式空间,即 R"={x=(x1…xn):x1,…;xn∈R} 对任意x=(x12…xn)∈R”,令 称|为x的范数.注意若x∈R,则就是x的绝对值.设x=(x,…x)和 y=(,…yn)是R”中的任意两点定义这两点之间的距离为d(x,y)=|x-川 d(x,y)=(∑(x-y1)2)2 设{xk}是R"中的一个点列,x∈R".若Iimd(xk,x)=0,则称{xk}收敛于x 记为 lim x=x,或x→>x,(k→∞) 邻域。内点与开集 定义1设x∈R",AcR” (1)设E>0.称R”的子集U(x,E)={x:d(x,x0)<}为点x0的E-邻域 (2).若x0∈A并且存在x0的一个邻域U(x0,)∈A,则称x0为A的 个内点(图4-1)
28 § 1.4 n R 中的点集 教学目的 欧氏空间 n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由 n R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集 的定义.由开集生成一个ο -代数引入 Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有 一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用. 充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但 n R 上的 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为 n R 上的 Lebesgue 积分具有广泛的应用, 而且因为 n R 上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论 n 维欧式空间中 的一些常见的点集. 用 n R 表示 n 维欧式空间, 即 n R ={ ( , ) : , , }. 1 x = x1 Lxn x1 L xn ∈ R 对任意 x = (x1 ,Lxn ) ∈ , n R 令 ( ) . 2 1 2 2 1 n x = x +Lx 称 x 为 x 的 范 数. 注意若 x ∈ , 1 R 则 x 就是 x 的绝对值 . 设 ( , ) 1 n x = x Lx 和 ( , ) 1 n y = y Ly 是 n R 中的任意两点. 定义这两点之间的距离为d(x, y) = x − y . 即 ( , ) ( ( ) ) . 2 1 1 2 ∑= = − n i i i d x y x y 设{ }k x 是 n R 中的一个点列, x ∈ . n R 若 lim ( , ) = 0, →∞ d x x k k 则称{ }k x 收敛于 x, 记为 lim x x, k k = →∞ 或 x → x, (k → ∞). k 邻域, 内点与开集 定义 1 设 x0 ∈ , n R . n A ⊂ R (1).设ε > 0.称 n R 的子集U(x0 ,ε ) = { : ( , ) } 0 x d x x < ε 为点 0 x 的ε -邻域 (2). 若 x0 ∈ A并且存在 0 x 的一个邻域 ( , ) 0 U x ε ⊂ A, 则称 0 x 为 A 的 一个内点(图 4 1)
(3)若A中的每个点都是A的内点,则称A为R”中的开集.规定空 集②为开集 (4)由A的内点全体所成的集称为A的内部,记为A° A 图4—1 例如,每个有界或无界开区间(a,b),(-∞,a,(a,+∞)都是直线R上的开集.若 x∈R”,p0,则容易证明x的r-邻域U(x,r)是R”中的开集.因此U(x,r)又称 为以x0为中心,以r为半径的开球 定理2(开集的基本性质)开集具有如下的性质 (i).空集②和全空间R”是开集 (i).任意个开集的并集是开集 (i).有限个开集的交集是开集 证明()是显然的.往证().设{A,t∈T}是X中的任意一族开集。任取 ∈∪4.则存在b∈T,使得x∈A因为An是开集,故存在x的一个 邻域U(x,5),使得U(x0,B)0,使得U(x1,E1)cA.令E=min{E1,…En}.则E>0并且
29 (3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为 n R 中的开集. 规定空 集∅为开集. (4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的内部, 记为 . o A 图 4 1 例如, 每个有界或无界开区间 (a, b),(−∞, a),(a, + ∞) 都是直线 1 R 上的开集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是 n R 中的开集. 因此 ( , ) 0 U x r 又称 为以 0 x 为中心, 以 r 为半径的开球. 定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (i).空集∅和全空间 n R 是开集. (ii).任意个开集的并集是开集. (iii).有限个开集的交集是开集. 证明 (i) 是显然的. 往证 (ii). 设 {A ,t T} t ∈ 是 X 中的任意一族开集. 任取 Ut T At x ∈ ∈ . 则存在 , t0 ∈T 使 得 . 0 At x ∈ 因 为 0 At 是开集 , 故存在 x 的一个 邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 ( , ) . 0 0 At U x ε ⊂ 于是更加有 ( , ) . 0 Ut T At U x ∈ ε ⊂ 这表明 x 是 Ut T∈ At 的内点. 这就证明了Ut T∈ At 中的每个点都是其内点. 因此Ut T∈ At 是开集. 现 在证明 (iii). 设 A An , , 1 L 是开集. 任取 x ∈ . 1 I n i Ai = 则对每个 1, , , . Ai i = L n 有x ∈ 因 为 Ai 是开集, 故存在 > 0, i ε 使得 ( , ) . i i Ai U x ε ⊂ 令 min{ , }. 1 n ε = ε Lε 则ε > 0并且 0 x 1 x ε A ε
U(x6)c∩4.因此x是∩4的内点.这就证明了∩4是开集■ 注意,任意个开集的交集不一定是开集例如,设4=(-1,1).n21.则每个A 都是R中的开集但∩4=0不是开集 聚点与闭集 定义3设A是R"的子集 1).设x0∈R”.若对任意E>0,U(x0,E)中包含有A中的无限多个点,则称x 为A的一个聚点(图4-1中的x1) (2)由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集,记为A (3)若A"cA,则称A为闭集 (4)集A∪A'称为A的闭包,记为A 例如,每个有界或无穷闭区间[a,b](-∞,a],[a,+∞)都是直线R上的闭集.若 x∈R”,p>0,则容易证明集 S(xo, r)=x: d(,xo)sri 是R中的闭集,称之为以x为中心,以r为半径的闭球.又显然有理数Q的导集 Q=R,Q的闭包Q=R 定理4设ACR".则A为闭集当且仅当A为开集 证明必要性.设A为闭集则对任意x0∈A,x不是A的聚点.因此存在x0的 个邻域U(x0,E1),使得U(x0,E1)中至多只包含A中有限个点设这些点为x1…xk,因 为xgA,故x1≠x,=1…k.令E=min{d(x0,x)=1,…k},则E>0.由E的 取法知道U(x,E)∩A=,即U(x0,E)cA.因此x0是A的内点.所以A是开集 充分性.设A为开集则对任意x0∈A,存在x0的一个邻域U(x0,E),使得 U(x0,E)cA.即U(x0,E)中没有A中的点,因此x0不是A的聚点.这表明A的聚点 全部在A中,即AcA.因此A为闭集■ 由定理2和定理4并利用 De Morgan公式,立即可以得到闭集的基本性质如下 定理5闭集具有如下性质 (i).空集和全空间R"是闭集
30 ( , ) . 1 I n i Ai U x = ε ⊂ 因此 x 是I n i Ai =1 的内点. 这就证明了I n i Ai =1 是开集. 注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设 ), 1. 1, 1 = (− n ≥ n n An 则每个 An 都是 1 R 中的开集. 但 {0} 1 = ∞ = I n An 不是开集. 聚点与闭集 定义 3 设 A 是 n R 的子集. (1). 设 x0 ∈ n R . 若对任意ε > 0, ( , ) 0 U x ε 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 0 x 为 A 的一个聚点(图 4 1 中的 1 x ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A ∪ A′称为 A 的闭包, 记为 A. 例如, 每个有界或无穷闭区间[a, b], (−∞, a], [a, + ∞) 都是直线 1 R 上的闭集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明集 ( , ) 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是 n R 中的闭集, 称之为以 0 x 为中心, 以 r 为半径的闭球. 又显然有理数 Q 的导集 Q′ = 1 R , Q 的闭包Q = 1 R . 定理 4 设 A⊂ n R . 则 A 为闭集当且仅当 c A 为开集. 证明 必要性. 设 A 为闭集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 0 x 不是 A 的聚点. 因此存在 0 x 的一 个邻域 ( , ) 0 1 U x ε , 使得 ( , ) 0 1 U x ε 中至多只包含 A 中有限个点. 设这些点为 , . 1 k x Lx 因 为 , x0 ∉ A 故 , 1, , . 0 x x i k i ≠ = L 令 min{ ( , ), 1, }, 0 d x x i k ε = i = L 则ε > 0. 由ε 的 取法知道U(x0 ,ε ) ∩ A = ∅ , 即 ( , ) 0 U x ε c ⊂ A . 因此 0 x 是 c A 的内点. 所以 c A 是开集. 充分性. 设 c A 为开集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 存在 0 x 的一个邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 c U(x0 ,ε ) ⊂ A . 即 ( , ) 0 U x ε 中没有 A 中的点, 因此 0 x 不是 A 的聚点. 这表明 A 的聚点 全部在 A 中, 即 A′ ⊂ A. 因此 A 为闭集. 由定理.2 和定理 4 并利用 De Morgan 公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理 5 闭集具有如下性质: (i).空集∅和全空间 n R 是闭集
(i).任意个闭集的交集是闭集 (i).有限个闭集的并集是闭集 下面的两个定理用序列的语言,给出了A和A中的点的特征以及集A为闭集的等 价条件 定理6设ACR".则有 (i).x∈A当且仅当存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→x (i).x∈A当且仅当存在A中的点列{xk},使得xk→>x 证明(1)设x∈A.则由聚点的定义,对任意k≥1,U(x0,1/k)中包含有A中的无 限多个点.于是集(U(x,l/k)-{x})∩A不空.在其中任取一点记为xk,则{x4}是A 中的点列,并且xk≠x,xk→>x 反过来,设存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→x.则对任意E>0,存在 >0,使得当k≥N时,xk∈U(x,E).若{xk,k≥N}中只有有限项彼此不相等,则 存在一个自然数ko和{x}的一个子列{x},使得x,=x(n≥1)但x≠x这与 x→>x矛盾!因此{xk2k≥N}中必有无穷多项是彼此不同的点这表明U(x,E)中包 含有A中的无限多个点.因此x∈A (i)设x∈A.则x∈A或者x∈A.若x∈A,令x4=x,k≥1,即知结论成立 若x∈A,则由()知道存在A中的点列{xk},使得xk→>x.反过来,设存在A中的 点列{xk},使得xk→x.若xk≠x,k≥1,则由(1)知道x∈A.否则x∈A.在两种 情况下,均有x∈A.■ 定理7设ACR".则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于A 证明必要性.设A是闭集.若{xk}是A中的点列,x→x则由定理6知道 x∈A.由于A是闭集,故A=A.因此x∈A 充分性.设x∈A.由定理6,存在A中的点列{x},使得x→>x.由假定条件, 此时必有x∈A.这表明A'cA.因此A是闭集■ 定义8设A和B是R"的子集.若A→B,则称A在B中稠密.特别地,若 A=R,则称A是R"的稠密子集.若(A)°=,则称A为疏集或无处稠密集 例如,由于Q=R,因此有理数集是R的稠密子集.由于Z°=②,因此整数集 Z是疏集
31 (ii).任意个闭集的交集是闭集. (iii).有限个闭集的并集是闭集. 下面的两个定理用序列的语言, 给出了 A′ 和 A 中的点的特征以及集 A 为闭集的等 价条件. 定理 6 设 A⊂ n R . 则有 (i). x ∈ A′当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → (ii). x ∈ A 当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 证明 (i).设 x ∈ A′. 则由聚点的定义, 对任意 k ≥ 1, ( , 1 ) 0 U x k 中包含有 A 中的无 限多个点. 于是集 (U(x, 1 k) −{x}) ∩ A 不空. 在其中任取一点记为 , k x 则{ }k x 是 A 中的点列, 并且 x x , k ≠ x x. k → 反过来, 设存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → 则对任意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 k ≥ N 时, x U(x,ε ). k ∈ 若{x , k N} k ≥ 中只有有限项彼此不相等, 则 存在一个自然数 0 k 和{ }k x 的一个子列{ }, n k x 使得 ( 1). 0 xk = xk n ≥ n 但 , 0 x x k ≠ 这与 x x k → 矛盾! 因此{x , k N} k ≥ 中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表明U(x,ε ) 中包 含有 A 中的无限多个点. 因此 x ∈ A′. (ii). 设 x ∈ A. 则 x ∈ A 或者 x ∈ A′. 若 x ∈ A, 令 x = x, k ≥ 1, k 即知结论成立. 若 x ∈ A′, 则由 (i) 知道存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 反过来, 设存在 A 中的 点列{ }, k x 使得 x x. k → 若 x x, k ≠ k ≥ 1, 则由 (i) 知道 x ∈ A′. 否则 x ∈ A. 在两种 情况下, 均有 x ∈ A. 定理 7 设 A⊂ n R . 则 A 是闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列的极限必属于 A. 证明 必要性. 设 A 是闭集. 若{ }k x 是 A 中的点列, x x, k → 则由定理 6 知道 x ∈ A. 由于 A 是闭集, 故 A = A. 因此 x ∈ A. 充分性. 设 x ∈ A′. 由定理 6, 存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 由假定条件, 此时必有 x ∈ A. 这表明 A′ ⊂ A. 因此 A 是闭集. 定义 8 设 A 和 B 是 n R 的子集. 若 A ⊃ B, 则称 A 在 B 中稠密. 特别地, 若 A = , n R 则称 A 是 n R 的稠密子集. 若( ) = ∅, o A 则称 A 为疏集或无处稠密集. 例如, 由于 Q = 1 R , 因此有理数集是 1 R 的稠密子集. 由于 = ∅, o Z 因此整数集 Z 是疏集
定理9设A是R"的子集.则以下几项等价 ().A是R的稠密子集 (i).对任意x∈R"和E>0,A∩U(x,E)≠ (i)对任意x∈R",存在A中的点列{x}使得xk→x 定理9的证明留作习题 设ACR.若存一个闭球S(0,r),使得A∈S(0,r),则称A是有界的设{x}是 R"中的一个点列若存一个闭球S(0,r),使得xkcS(O0,r)k≥1,则称{xk}是有界点 列 定理10R”中的每个有界点列存在收敛子列 证明设{xk}是R中的有界点列设xk={x1),…,x},k≥1.则{x}是有界 数列由数学分析中熟知的 Weierstrass 3致性定理,存在{x6)}的一个子列{x"}使得 x1"→x,同理,存在{kn}的一个子列{k2}使得x2)→x2.这样一直下去,最后, 存在{kn}的子列{m}使得xn"→xn记k,=kn则对每个j=1,…,n,有 x)→x,(k,→∞).令x=(x1…xn)我们有 d(x,x)=(∑(x)-x,)2→0,(k→) 因此若x→x,(k1→∞)■ 思考题1开区间(0,1)在R2中是不是开集? 2.若将R”两个点x=(x1…xn)和y=(y1…yn)距离的定义改为 d(x,y)=max(x-y k, -y) 按照本节类似的方法定义邻域,内点,聚点,开集和闭集等所得结果与本节原来的定义 有和异同? 有界闭集上的连续函数在数学分析课程中,我们已经熟悉直线上的区间上或R”中 的区域上的连续函数.类似可以定义在R"的任意子集E上的连续函数 定义11设EcR",f(x)是定义在E上的实值函数.又设x0∈E.若对任意 6>0,存在相应的6>0,使得当x∈E并且d(x)x并且
32 定理 9 设 A 是 n R 的子集. 则以下几项等价: (i). A 是 n R 的稠密子集. (ii). 对任意 x ∈ n R 和ε > 0, A ∩U(x,ε ) ≠ ∅. (iii).对任意 x ∈ , n R 存在 A 中的点列{ }k x 使得 x x. k → 定理 9 的证明留作习题. 设 A⊂ . n R 若存一个闭球 S(0,r), 使得 A ⊂ S(0,r), 则称 A 是有界的. 设{ }k x 是 n R 中的一个点列. 若存一个闭球 S(0,r), 使得 x ⊂ S(0,r), k ≥ 1, k 则称{ }k x 是有界点 列. 定理 10 n R 中的每个有界点列存在收敛子列. 证明 设{ }k x 是 n R 中的有界点列. 设 { , , }, 1. ( ) ( ) x = x1 x k ≥ k n k k L 则{ } ( ) 1 k x 是有界 数列. 由数学分析中熟知的 Weierstrass 致密性定理, 存在{ } ( ) 1 k x 的一个子列{ } ( ) 1 1i k x 使得 . 1 ( ) 1 1 x x i k → 同理, 存在{ } 1i k 的一个子列{ } 2 i k 使得 . 2 ( ) 2 2 x x i k → 这样一直下去, 最后, 存 在 { } n 1,i k − 的子列 { } ni k 使 得 . ( ) n k n x x n i → 记 . i ni k = k 则对每个 j = 1,L,n, 有 j k j x x ( i ) → ( → ∞). i k 令 ( , ). 1 n x = x Lx 我们有 ( , ) ( ( ) ) 0, 2 1 1 = ∑ ( ) − 2 → = n j j k k j d x x x x i i ( → ∞). i k 因此若 x x, i k → ( → ∞). i k 思考题 1.开区间(0, 1) 在 2 R 中是不是开集? 2.若将 n R 两个点 ( , ) 1 n x = x Lx 和 ( , ) 1 n y = y Ly 距离的定义改为 ( , ) max( , , ). 1 1 n n d x y = x − y L x − y 按照本节类似的方法定义邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义 有和异同? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中, 我们已经熟悉直线上的区间上或 n R 中 的区域上的连续函数. 类似可以定义在 n R 的任意子集 E 上的连续函数. 定义 11 设 E ⊂ n R , f (x) 是定义在 E 上的实值函数. 又设 x0 ∈ E . 若对任意 ε > 0, 存在相应的δ > 0 , 使得当 x ∈ E 并且 d(x, x0 ) < δ 时, 有 ( ) ( ) , 0 f x − f x < ε 则称 f (x) 在 0 x 连续. 若 f 在 E 上的每一点都连续, 则称 f 在 E 上连续. E 上的连续函数 的全体记为C(E). 容易证明, f 在 E 上连续的充要条件是, 对 E 中的任意点列{ }, n x 若 x x n → 并且
x∈E,则limf(xn)=f(x) 利用定理10,仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明,可以证明如 下事实 设K是R”中的有界闭集,f(x)是K上的连续函数.则 (i).f(x)在K上是有界的 (i).f(x)在K上取得最大值和最小值 (i).f(x)在K上是一致连续的.即对任意E>0,存在>0,使得对任意 x,x”∈K,当d(x,x")<时,成立f(x)-f(x")<E 此外容易证明,若{fn(x)}是R”的子集E上的一列连续函数,并且{fn}在E一致 收敛于f(x),则∫(x)是E上的连续函数 直线上开集的构造下面我们考虑直线上开集的构造设A为直线上的开集,(a,b) 为一个有界或无界开区间.若(anb)cA,并且区间的端点a.b不属于A,则称(a,b)为 A的一个构成区间如图4-2,(a,b)和(c,d)都是A的构成区间,但(c1,d1)不是 图4-2 定理12(开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交 的构成区间的并 证明分几个步骤.(1)设A为R中的开集先证对任意x∈A,存在A的一个构 成区间(a,b),使得x∈(a,b).由于A是开集,故存在开区间(a,B)使得 x∈(a,B)cA.令 a=inf{a:x∈(a,B)cA} b=sup{B:x∈(a,B)cA} 则x∈(a,b).往证(a,b)是A的构成区间.设x’∈(a,b),不妨设a<x<x.由a的定 义,存在(a,B),使得a<a<x',并且x∈(a,B)cA.因此 x'∈(a,x)c(a,B)A.所以(a,b)cA.再证a,bgA.事实上,若a∈A,则存在
33 x ∈ E, 则 lim f (x ) f (x). n n = →∞ 利用定理 10, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明, 可以证明如 下事实: 设 K 是 n R 中的有界闭集, f (x) 是 K 上的连续函数. 则 ( ) i). f (x 在 K 上是有界的. ( ) ii). f (x 在 K 上取得最大值和最小值. ( ) iii). f (x 在 K 上是一致连续的. 即对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对任意 x′, x′′∈ K, 当d(x′, x′′) < δ 时, 成立 f (x′) − f (x′′) < ε. 此外容易证明, 若{ f (x)} n 是 n R 的子集 E 上的一列连续函数, 并且{ }n f 在 E 一致 收敛于 f (x), 则 f (x) 是 E 上的连续函数. 直线上开集的构造 下面我们考虑直线上开集的构造. 设 A 为直线上的开集, (a,b) 为一个有界或无界开区间. 若(a,b) ⊂ A, 并且区间的端点 a, b 不属于 A, 则称(a,b)为 A 的一个构成区间. 如图 4 2, (a,b)和(c, d) 都是 A 的构成区间, 但( , ) 1 1 c d 不是. 图 4 2 定理 12 (开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交 的构成区间的并.. 证明 分几个步骤. (i). 设 A 为 1 R 中的开集. 先证对任意 x ∈ A, 存在 A 的一个构 成区间 (a,b), 使 得 x ∈ (a,b) . 由 于 A 是开集 , 故存在开区间 (α, β ) 使 得 x ∈ (α, β ) ⊂ A . 令 sup{ : ( , ) .}. inf{ : ( , ) }, b x A a x A = ∈ ⊂ = ∈ ⊂ β α β α α β 则 x ∈ (a,b). 往证(a,b)是 A 的构成区间. 设 x′∈ (a,b), 不妨设 a < x′ < x. 由 a 的定 义 , 存 在 (α, β ), 使 得 a < α < x′, 并 且 x ∈ (α, β ) ⊂ A . 因 此 x′∈ (α, x) ⊂ (α, β ) ⊂ A . 所以 (a,b) ⊂ A. 再证 a,b ∉ A. 事实上, 若 a ∈ A, 则存在 b c d 1 d 1 c A = (a, b) ∪ (c, d) a
E>0,使得(a-E,a+E)cA.这与a的定义矛盾.所以agA.类似可证bgA (i1).设(a1,b1)和(a2b2)是A的两个不同的构成区间.若(a1,b1)和(a2,b2)相交 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中,例如a2∈(a1,b1)但a2gA,这与 (a1,b)∈A矛盾.所以(a1,b1)和(a2,b2)不相交.这表明不同的构成区间互不相交.在 A的每个构成区间中选取一个有理数,则A的构成区间的全体与有理数的一个子集 对应.所以A的构成区间只有有限个或可数个.于是A的构成区间的全体可以编号为 (a1,b),i=1,…,n或i=1,2 (i)我们有A=U(a,b)事实上,由于每个(a,b)∈A,因此∪(a,b,)∈A 另一方面,由(1),对每个x∈A,存在一个构成区间(a1,b,使得x∈(a1,b).因此 x∈U(a,),所以Ac∪(a,b)这就证明A=U(an,b,) Borel集开集和闭集是R”中的常见的集.但R"中有一些常见的集,它们既不是开 集,也不是闭集.例如,可数个开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集 下面我们要考虑的 Borel集就包含了这类集,并且 Borel集类对一切有限或可数并、交、 余和差运算都封闭 定义13由R中开集的全体所生成的-代数称为R"中的 Borel a-代数(或 Borel集类),记为(R").(R")中的集称为 Borel集 设a=(a1…,an)∈R",b=(b,…,bn)∈R",a1<b,=l…,n.称R”的子集 (a1,b1)×…×(an,bn)={(x1…xn):a1<x1<b,i=1,…,n} 为R”中的开方体,记为(a,b).类似可定义R中的其它类型的方体在直线R和平面 R2中方体分别就是区间和矩形 定理14R”中所有的开集,闭集,有限集或可数集,各种类型的方体都是 Borel集 证明由定义即知开集是 Borel集.由于 Borel集类对余运算封闭,而闭集是开集的 余集,故闭集是 borel集.因为单点集{a}是闭集,所以单点集是 Borel集.由于有限集或 可数集可以表示成单点集的有限并或可数并,而 Borel集类对有限并或可数并封闭,所以 有限集或可数集是 Borel集.由于开方体是开集,闭方体是闭集,因此开方体和闭方体是 Borel集.往证半开半闭方体是 Borel集为简单计,不妨只考虑直线上的情形.由于等式 (ab]=∩(ab+)和Boel集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间(ab]是
34 ε > 0, 使得(a − ε ,a + ε ) ⊂ A . 这与 a 的定义矛盾. 所以a ∉ A. 类似可证b ∉ A . (ii). 设( , ) 1 1 a b 和( , ) 2 2 a b 是 A 的两个不同的构成区间. 若( , ) 1 1 a b 和( , ) 2 2 a b 相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中. 例如 ( , ). 2 1 1 a ∈ a b 但 , a2 ∉ A 这与 (a1 ,b1 ) ⊂ A 矛盾. 所以( , ) 1 1 a b 和( , ) 2 2 a b 不相交. 这表明不同的构成区间互不相交. 在 A 的每个构成区间中选取一个有理数, 则 A 的构成区间的全体与有理数的一个子集一一 对应. 所以 A 的构成区间只有有限个或可数个. 于是 A 的构成区间的全体可以编号为 ( , ), i i a n b i = 1,L, 或i = 1, 2, L. (iii). 我们有 U i A ai bi = ( , ). 事实上,由于每个 (a ,b ) A, i i ⊂ 因此U i (ai ,bi) ⊂ A. 另一方面, 由 (i), 对每个 x ∈ A, 存在一个构成区间 ( , ), i i a b 使得 x ∈ ( , ). i i a b 因此 x ∈ U i ai bi ( , ), 所以 U i A ai bi ⊂ ( , ). 这就证明 U i A ai bi = ( , ). Borel 集 开集和闭集是 n R 中的常见的集. 但 n R 中有一些常见的集, 它们既不是开 集, 也不是闭集. 例如, 可数个开集的交不一定是开集, 可数个闭集的并不一定是闭集. 下面我们要考虑的 Borel 集就包含了这类集, 并且 Borel 集类对一切有限或可数并 交 余和差运算都封闭. 定义 13 由 n R 中开集的全体所生成的σ − 代数 称为 n R 中的 Borel σ -代数(或 Borel 集类), 记为 ( ). n B R ( ) n B R 中的集称为 Borel 集. 设 ( , , ) 1 n a = ∈ a L a n R , ( , , ) 1 n b = ∈ b L b n R , a b ,i 1, ,n. i < i = L 称 n R 的子集 ( , ) ( , ) {( , ) : , 1, , } 1 1 1 a b a b x x a x b i n ×L× n n = L n i < i < i = L 为 n R 中的开方体, 记为 (a,b). 类似可定义 n R 中的其它类型的方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中方体分别就是区间和矩形. 定理 14 n R 中所有的开集, 闭集, 有限集或可数集, 各种类型的方体都是 Borel 集. 证明 由定义即知开集是 Borel 集. 由于 Borel 集类对余运算封闭, 而闭集是开集的 余集, 故闭集是 Borel 集. 因为单点集{a}是闭集, 所以单点集是 Borel 集. 由于有限集或 可数集可以表示成单点集的有限并或可数并, 而 Borel 集类对有限并或可数并封闭, 所以 有限集或可数集是 Borel 集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体和闭方体是 Borel 集. 往证半开半闭方体是 Borel 集. 为简单计, 不妨只考虑直线上的情形. 由于等式 I ∞ = = + 1 ) 1 ( , ] ( , n n a b a b 和 Borel 集类对可数交运算的封闭性, 即知半开半闭区间 (a,b] 是
Borel集.类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel集 特别地,由于有理数集是可数集,而无理数集是有理数集的余集,由定理14知道, 有理数集和无理数集都是 Borel集 设AcR”.若A可表示为一列开集的交,则称A为G。型集.若A可以表示为一列 闭集的并,则称A为F型集显然G型集和F型集都是 Borel集 定理14和上面的例子表明,R中常见的一些子集都是 Borel集.但有例子表明在 R"中确实存在不是 Borel集的子集.在§23中我们将给出一个这样的例子 Cantor集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集— Cantor((三分)集 例1( Cantor集)记Co=[0,1将Co三等分,去掉中间的一个开区间(2)将剩 下的部分记为C1,即C1=[O,]∪[=1它是两个互不相交的闭区间的并.将C1的每 个闭区间都三等分.再去掉每个闭区间中间的开区间(,=)和(,一)将剩下的部分记 为C2,即 999999 红色的部分被挖掉 图43 它是22个两个互不相交的闭区间的并.这样一直做下去,得到一列集Cn}.其中Cn是 个互不相交的闭区间的并,每个闭区间的长为最后令K=∩C,称之为 Cantor 三分集,简称为 Cantor集(图4—3) Cantor集具有如下的性质 (1). Cantor集是闭的疏朗集.由于每个Cn都是闭集,而K为一列闭集的交,故K是
35 Borel 集. 类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel 集. 特别地, 由于有理数集是可数集, 而无理数集是有理数集的余集, 由定理 14 知道, 有理数集和无理数集都是 Borel 集. 设 A ⊂ n R . 若 A 可表示为一列开集的交, 则称 A 为Gδ 型集. 若 A 可以表示为一列 闭集的并, 则称 A 为 Fσ 型集. 显然Gδ型集 和 Fσ型集都是 Borel 集. 定理 14 和上面的例子表明, n R 中常见的一些子集都是 Borel 集. 但有例子表明在 n R 中确实存在不是 Borel 集的子集. 在 2.3 中我们将给出一个这样的例子. Cantor 集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集 Cantor(三分)集. 例 1 (Cantor 集)记 [0,1]. C0 = 将C0 三等分, 去掉中间的一个开区间 ). 3 2 , 3 1 ( 将剩 下的部分记为 , C1 即 ,1]. 3 2 ] [ 3 1 [0, C1 = ∪ 它是两个互不相交的闭区间的并. 将C1的每 个闭区间都三等分. 再去掉每个闭区间中间的开区间 ) 9 2 , 9 1 ( 和 ). 9 8 , 9 7 ( 将剩下的部分记 为 , C2 即 , 1]. 9 8 ] [ 9 7 , 9 6 ] [ 9 3 , 9 2 ] [ 9 1 [0 , C2 = ∪ ∪ ∪ 图 4 3 它是 2 2 个两个互不相交的闭区间的并. 这样一直做下去, 得到一列集{ }. Cn 其中Cn 是 n 2 个互不相交的闭区间的并, 每个闭区间的长为 . 3 1 n 最后令 , 1 I ∞ = = n K Cn 称之为 Cantor 三分集, 简称为 Cantor 集(图 4 3). Cantor 集具有如下的性质: (1). Cantor 集是闭的疏朗集. 由于每个Cn 都是闭集, 而 K 为一列闭集的交, 故 K 是 0 1 3 1 3 2 9 1 9 2 9 7 9 8
闭集.由于K是闭集,为证K是疏朗集,只需证明K°=②.设x∈K.对任意E>0, 取n足够大,使得一<E.由于Cn是2个互不相交的长度为的闭区间的并,故 x的E-邻域(x-E,x+E)内必含有不属于Cn的点.于是(x-E,x+E)更加含有不属 于K的点.因此x不是K的内点.这表明K°=②.所以K是疏朗集 今(2)在构造 Cantor集时从[0中去掉的那些开区间的长度之和为1.事实上,在第 次步骤得到Cn时,去掉了2m个长度为二的开区间.因此去掉的那些开区间的长度 之和为 1. (3) Cantor集具有连续基数c.由引理16和K的定义知道,对任意x∈K,x可以 唯一的写成 其中a1=0或2,i=1,2,…,并且有无限个a1=2.令 A={(a1a2…):a1=0或1,并且有无限个a1≠0} 由§12定理11后面的注1,A具有连续基数c.再作映射 则φ是A到 Cantor集K的一一的到上的映射.由于A具有连续基数c,故K具有连续 基数c. 小结本节由R"上自然的距离结构,导出了邻域,内点,聚点的定义,从而给出开 集,闭集的定义由开集生成一个O-代数即 borel o-代数,进而引入了 Borel集.本节讨 论了这些集的性质和相互关系给出了直线开集的构造定理 Cantor集是一个重要的集它 具有一些特别的性质,在举反例时常常是有用的.学习本节的内容应充分利用几何图形的 直观,以帮助理解本节的内容 习题习题一,第29题一第43题
36 闭集. 由于 K 是闭集, 为证 K 是疏朗集, 只需证明 = ∅. o K 设 x ∈ K . 对任意ε > 0, 取 0 n 足够大, 使得 . 3 1 0 < ε n 由于 n0 C 是 0 2n 个互不相交的长度为 0 3 1 n 的闭区间的并, 故 x 的ε − 邻域 (x − ε , x + ε ) 内必含有不属于 n0 C 的点. 于是 (x − ε , x + ε ) 更加含有不属 于 K 的点. 因此 x 不是 K 的内点. 这表明 = ∅. o K 所以 K 是疏朗集. (2). 在构造 Cantor 集时从[0,1]中去掉的那些开区间的长度之和为 1. 事实上, 在第 n 次步骤得到Cn 时, 去掉了 1 2n− 个长度为 n 3 1 的开区间. 因此去掉的那些开区间的长度 之和为 1. 3 2 3 1 3 2 1 1 1 1 = ∑ = ∑ ∞ = − ∞ = − n n n n n (3). Cantor 集具有连续基数c. 由引理 16 和 K 的定义知道, 对任意 x ∈ K, x 可以 唯一的写成 , 3 3 3 = n 1 + n 2 +L+ n n +L a a a x 其中 = 0 i a 或 2 , i = 1, 2,L, 并且有无限个 = 2. i a 令 {( , , ) : 0 1, 0}, A = a1 a2 L ai = 或 并且有无限个ai ≠ 由 1.2 定理.11 后面的注 1, A 具有连续基数c. 再作映射 . 3 2 ( ) ( ) : , 1 ∑ ∞ = = = → n n n n x x x x A K ϕ ϕ a 则ϕ 是 A 到 Cantor 集 K 的一一的到上的映射. 由于 A 具有连续基数 c, 故 K 具有连续 基数c. 小 结 本节由 n R 上自然的距离结构, 导出了邻域, 内点, 聚点的定义, 从而给出开 集, 闭集的定义. 由开集生成一个ο -代数即 Borel ο -代数, 进而引入了 Borel 集. 本节讨 论了这些集的性质和相互关系,给出了直线开集的构造定理. Cantor 集是一个重要的集.它 具有一些特别的性质, 在举反例时常常是有用的. 学习本节的内容应充分利用几何图形的 直观, 以帮助理解本节的内容. 习 题 习题一, 第 29 题 第 43 题
