§5.2有界变差函数 教学目的本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的 Jordan分解定理 教学要点有界变差函数的概念,变差函数的性质, Jordan分解定 定义1设∫是定义在区间[ab]上的实值函数.对[a,b]的任一分割P={x},其 中{x1}m满足a=x0为一常数.则∫是[a,b]上的有界变差函数 证明对[a,b的任一分割{x1}0,我们有 )=∑|(x)-f(x-)s∑Mx f(x2-x-)=M(b-a) 因此(f)≤M(b-a).所以f∈H[a,b]
148 5.2 有界变差函数 教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的 Jordan 分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定 理. 定义 1 设 f 是定义在区间[a,b]上的实值函数. 对[a,b]的任一分割 { } , 0 n i i P x = = 其 中 n i i x 0 { } = 满足 , a = x0 0为一常数. 则 f 是[a,b]上的有界变差函数. 证明 对[a,b]的任一分割{ } , 0 n i i x = 我们有 ( ) ( ). ( , ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 M x x M b a V x x f x f x M x x n i i i n i i i n i f n i i = − = − = − ≤ − ∑ ∑ ∑ = − = − = L − 因此V ( f ) M (b a). b a ≤ − 所以 f ∈V[a,b]
下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数 例3设 f(x) 则∫是[0,上的连续函数.但∫在[0,1上不是有界变差函数.事实上,对任意n≥1,作 [0,]的分割{x}使得 0,xn=1,x1=[(n-1)x+], 则 r( x SIn (n-1-1)z+5(n-1 (令k=n-1) i kr+i 令n→∞知道V()=+∞.因此∫在[0,不是有界变差函数 定理2有界变差函数具有如下性质 ().若∫∈{a,b则∫是有界函数 (i)若f∈Ha,ba∈R,则af∈V[a,b]并且 (a)≤a( (i).若∫,g∈Va,b,则f+g∈Va,b,并且 (∫+g)≤κ(f)+(g) (iv)若∫,g∈H[a,bl则fg∈H[a,bl (v)若∫∈Va,b则对任意c,a<c<b,成立 V(=v(+vo 证明我们只证明(i)和(v),(1),(i)和(iv)的证明留作习题
149 下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数. 例 3 设 = = − 1 2 1 1 0 1 2 ( ) 1 2 ( 1) 1 1 sin 1 ( , ) sin n i n i i i i f n i n i n i x x x V x x x π π π π L ∑ ∑ − = − = + > = − + + − + = 2 1 2 1 ( 1) 1 ( ) 2 1 2 ( 1) 1 n k n k k k n i k k π π π π π 令 令 n → ∞ 知道V ( f ) = +∞. b a 因此 f 在[0,1]不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质: (i).若 f ∈V[a,b], 则 f 是有界函数. (ii).若 f ∈V[a,b], , 1 α ∈ R 则α f ∈V[a,b], 并且 V ( f ) V ( f ). b a b a α ≤ α (iii).若 f , , g ∈V[a,b] 则 f + g ∈V[a,b], 并且 V ( f g) V ( f ) V (g). b a b a b a + ≤ + (1) (iv).若 f , , g ∈V[a,b] 则 f g ∈V[a,b]. (v).若 f ∈V[a,b], 则对任意c, a < c < b, 成立 V ( f ) V ( f ) V ( f ). b c c a b a = + (2) 证明 我们只证明(iii) 和(v) , (i) , (ii) 和(iv) 的证明留作习题
对[a,b]的任一分割{x1}2,我们有 )=∑|(x)+g(x)-f(x-)-g(x-) ≤∑f(x)-f(x1)+∑g(x)-8(x1) ≤V()+(g) 因此∫+g是[a,b]上的有界变差函数,并且(1)式成立.故(ii)得证 往证(v)成立.对[a,]的任一分割{x}=0和[c,b]的任一分割{x}m0,将它们合并 后得到[a,b]的一个分割 =6 我们有 (x…,x)=∑(x)-f(x)++∑/(x)-f(x 0…,xm)≤( 分别对[a,C]的分割和[c,b]的分割取上确界得到 ()+V()≤(f) 另一方面,对任意E>0,存在[a,b]的一个分割{x1}=0,使得 v(x0,…,x)>1()-E 设x0的任意性得到 (O≤V()+V(O 综合(3),(4两式得到(2)式.因此结论(v)得证 设∫是[a,b]上的有界变差函数.则对任意x∈[a,b],由定理2(V)知道∫也是 [a,x]上的有界变差函数.因此()是[a,b]上的实值函数,称之为∫的变差函数.由 定理2(v)容易知道V(∫)是单调增加的
150 对[a,b]的任一分割{ } , 0 n i i x = 我们有 ∑= + = + − − − − n i f g n i i i i V x x f x g x f x g x 1 0 1 1 ( ,L, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 V f V g f x f x g x g x b a b a n i i i n i i i ≤ + ≤ ∑ − +∑ − = − = − 因此 f + g 是[a,b]上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故(iii) 得证. 往证(v)成立. 对[a,c]的任一分割 n i i x 0 { } = 和[c,b]的任一分割{ } , 0 m i i x = ′ 将它们合并 后得到[a,b]的一个分割 . 0 0 a x x c x x b = 0, 存在[a,b]的一个分割{ } , 0 n i i x = 使得 ( , , ) ( ) . 0 V x x > V f − ε b a f L n 设 . k 1 k x 0的任意性得到 V ( f ) V ( f ) V ( f ). b c c a b a ≤ + (4) 综合(3),(4)两式得到(2)式. 因此结论(v)得证. 设 f 是[a,b]上的有界变差函数. 则对任意 x ∈[a,b], 由定理 2 (v) 知道 f 也是 [a, x] 上的有界变差函数. 因此V ( f ) x a 是[a,b]上的实值函数, 称之为 f 的变差函数. 由 定理 2 (v)容易知道V ( f ) x a 是单调增加的
定理3( Jordan分解定理)∫是[a,b]上的有界变差函数当且仅当∫可以表成 ∫=g-h,其中g和h是[a,b]上的单调增加的实值函数. 证明由例1和定理2,充分性是显然的.往证必要性.设∫是[a,b上的有界变差 函数.令 g(x)=(()+f(x),h(x)=(()-f(x) 则∫=g-h.当x2>x1时,利用定理2(v),我们有 f(x1)-f(x2)≤v(x1,x2)≤()=()-1() 因此 (+f(x1)≤V(O+f(x2) 这表明g(x1)≤g(x2)即g是单调增加的.类似可证h也是单调增加的.■ 推论4设∫是[a,b]上的有界变差函数.则 (1)f的不连续点的全体至多是一可数集 (2)f在[a,b]上是 Rieman可积的 (3)∫在[,b上几乎处处可导并且∫是 Lebesgue可积的 证明由§5.1单调函数的相应性质直接可得 由定理3,每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数 之差.但这种分解显然不是唯一的.例如,若∫=g-h是一个这样的分解,则对任意 常数c,∫=(g+c)-(h+c)也是∫的一个分解.为避免这种不唯一性,我们令 p(x)=(V()+f(x)-f(a),m(x)=(V(-f(x)+f(a) 则p(x)和n(x)都是单调增加的,并且满足 f(x)-f(a)=p(x)-n(x) (=p(x)+n(x) 我们称(6)式为∫的标准分解分别称p(x)和n(x)为∫的正变差函数和负变差函数 定理5设∫是[a,b上的有界变差函数.则()在[a,b]上是右连续的(或左连续 的)当且仅当∫在[an,b]上是右连续的(相应地,左连续的) 证明我们只证右连续的情形.左连续的情形证明是类似的 必要性.设κ(O)在[a,b]上是右连续的,x。∈[a,b).则对任意x。<x≤b,利用 定理2(V),我们有
151 定理 3 (Jordan 分解定理) f 是[a,b] 上的有界变差函数当且仅当 f 可以表成 f = g − h, 其中 g 和 h 是[a,b]上的单调增加的实值函数. 证明 由例 1 和定理 2, 充分性是显然的. 往证必要性. 设 f 是[a,b]上的有界变差 函数. 令 ( ( ) ( )), 2 1 g(x) V f f x x a = + ( ( ) ( )). 2 1 h(x) V f f x x a = − (5) 则 f = g − h. 当 2 1 x > x 时, 利用定理 2 (v) , 我们有 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ). 2 2 1 1 1 2 1 2 f x f x V x x V f V f V f x a x a x x − ≤ f ≤ = − 因此 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 2 1 2 V f f x V f f x x a x a + ≤ + 这表明 ( ) ( ). 1 2 g x ≤ g x 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的. 推论 4 设 f 是[a,b]上的有界变差函数. 则 (1) f 的不连续点的全体至多是一可数集. (2) f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. (3) f 在[a,b]上几乎处处可导并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 证明 由 5.1 单调函数的相应性质直接可得. 由定理 3, 每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数 之差. 但这种分解显然不是唯一的. 例如, 若 f = g − h 是一个这样的分解, 则对任意 常数c , f = (g + c) − (h + c) 也是 f 的一个分解. 为避免这种不唯一性, 我们令 ( ( ) ( ) ( )), 2 1 p(x) V f f x f a x a = + − ( ( ) ( ) ( )). 2 1 n(x) V f f x f a x a = − + 则 p(x) 和 n(x) 都是单调增加的, 并且满足 f (x) − f (a) = p(x) − n(x). (6) V ( f ) p(x) n(x). x a = + 我们称(6)式为 f 的标准分解.分别称 p(x) 和n(x) 为 f 的正变差函数和负变差函数. 定理 5 设 f 是[a,b]上的有界变差函数. 则V ( f ) x a 在[a,b]上是右连续的(或左连续 的)当且仅当 f 在[a,b]上是右连续的(相应地, 左连续的). 证明 我们只证右连续的情形. 左连续的情形证明是类似的. 必要性. 设V ( f ) x a 在[a,b]上是右连续的, [ , ). 0 x ∈ a b 则对任意 , 0 x < x ≤ b 利用 定理 2 (v) , 我们有
(x)-f(x)=V(x,x)H()=()-() 由此知道∫在x0点是右连续的 充分性。设∫在[a,b上是右连续的,x。∈[a,b)对任意E>0,存在δ>0,使 时,|(x)-f(x0)( 由于{1}m1是区间[1,x+6]的一个分割,因此 (t)-f(1-)≤T() 利用(7),(8)两式,我们有 (O)=V()-V() <∑(1)-f(1-)+6-∑|()-f(t-1) J(4)-f(0)< 于是当x∈[x,1]时, (O)-V()=V(O)≤V()<2 因此(f)在x0点是右连续的■ 下面考虑关于有界变差函数的R-S积分.利用有界变差函数的 Jordan分解,我们可 以将§4.4中定义的关于单调增加函数的R-S积分,推广到关于有界变差函数的情形.设 g是[a,b]上的有界变差函数,g(x)=a(x)-B(x)为g的标准分解.又设∫是[a,b] 上的有界实值函数.若∫关于a和β都是R-S可积的,则称∫关于g是R-S可积的.并 且定义∫关于g的R-S积分为 Cfdg=lfda-5fdB 利用§4.4定理4,立即得到如下定理: 定理6若∫是[a,b]上的连续函数,则对任意有界变差函数g,∫关于g是R-S 可积的 由R-S积分的定义,容易证明 定理7设∫是[a,b]上的连续函数,g是[a,b]上的有界变差函数.则成立 f(x)dg(x) supl/(x)v(g)
152 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ). 0 0 0 0 f x f x V x x V f V f V f x a x a x x − = f ≤ = − 由此知道 f 在 0 x 点是右连续的. 充分性. 设 f 在[a,b]上是右连续的, [ , ). 0 x ∈ a b 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使 得 当 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ 时 , ( ) ( ) . 0 f x − f x − + = ∑ − f t f t V f x x n i i i (7) 由于 n i i t 1 { } = 是区间[ , ] t1 x0 + δ 的一个分割, 因此 ( ) ( ) ( ). 0 1 2 1 f t f t V f x t n i i i +δ = ∑ − − ≤ (8) 利用(7),(8)两式, 我们有 ( ) ( ) 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 ε ε ε δ δ = + − < < − + − − = − ∑ ∑= − = − + + f t f t f t f t f t f t V f V f V f n i i i n i i i x t x x t x 于是当 [ , ] 0 1 x ∈ x t 时, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 1 0 0 0 V f −V f = V f ≤ V f < ε t x x x x a x a 因此V ( f ) x a 在 0 x 点是右连续的. 下面考虑关于有界变差函数的 R-S 积分.利用有界变差函数的 Jordan 分解, 我们可 以将 4.4 中定义的关于单调增加函数的 R-S 积分, 推广到关于有界变差函数的情形. 设 g 是[a,b]上的有界变差函数, g(x) = α(x) − β (x) 为 g 的标准分解. 又设 f 是[a,b] 上的有界实值函数. 若 f 关于α 和 β 都是 R-S 可积的, 则称 f 关于 g 是 R-S 可积的. 并 且定义 f 关于 g 的 R-S 积分为 ∫ ∫ ∫ = − b a b a b a f dg f dα f dβ. 利用 4.4 定理 4, 立即得到如下定理: 定理 6 若 f 是[a,b]上的连续函数, 则对任意有界变差函数 g , f 关于 g 是 R-S 可积的. 由 R-S 积分的定义, 容易证明 定理 7 设 f 是[a,b]上的连续函数, g 是[a,b]上的有界变差函数. 则成立 f (x)dg(x) sup f (x) V (g). b a a x b b a ≤ ≤ ≤ ∫
证明留作习题 小结有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数.它们可以表为两个单 调増加的函数之差.与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且 Lebesgue可积.与 单调函数不同,有界变差函数类对线性运算是封闭的.这在分析中具有重要意义 习题习题五,笫4题一第14题. 153
153 证明 留作习题. 小 结 有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数. 它们可以表为两个单 调增加的函数之差. 与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且 Lebesgue 可积. 与 单调函数不同, 有界变差函数类对线性运算是封闭的. 这在分析中具有重要意义. 习 题 习题五, 第 4 题 第 14 题
