第二章线性方程组 教学目标: 1.理解线性方程组的消元法与系数增广矩阵的初等 变换的关系; ■2.熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组; ■3.理解并掌握矩阵秩的概念,学会用矩阵的初等变 换求矩阵秩的方法; ■4.掌握线性方程组有解的判定定理及应用; 5.掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
第二章 线性方程组 一、教学目标： ◼ 1．理解线性方程组的消元法与系数增广矩阵的初等 变换的关系； ◼ 2．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组； ◼ 3．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变 换求矩阵秩的方法； ◼ 4．掌握线性方程组有解的判定定理及应用； ◼ 5．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
6.掌握基础解系概念,会求齐次线性方程组的基础解系; 7.掌握齐次方程组、非齐次方程组解的结构,会用特解及齐次线性 方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。 二、重点: ■线性方程组的初等变换,矩阵的初等变换,矩 阵的秩,齐次线性方程组,有解判定定理,基 础解系。 三、教学难点: 矩阵的初等变换,矩阵的秩
6．掌握基础解系概念，会求齐次线性方程组的基础解系； 7．掌握齐次方程组、非齐次方程组解的结构，会用特解及齐次线性 方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。 ◼ 二、重点： ◼ 线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，矩 阵的秩，齐次线性方程组，有解判定定理，基 础解系。 ◼ 三、教学难点： ◼ 矩阵的初等变换，矩阵的秩
2.1消元法 定乂1.由s×n个数排列s行(横向)、n列(纵向) 的表:a1an称为一个S×N。a叫这个矩阵的第行 j列素。 说明:①矩阵与行列式在形式上很类似,但有完全不同的定义,一个 是表,一个是数的代数和
2．1消元法 ◼ 定义1. 由s×n个数排列s行（横向）、n列（纵向） 的表： 称为一个S×N。aij叫这个矩阵的第i行 j列素。 说明：①矩阵与行列式在形式上很类似，但有完全不同的定义，一个 是表，一个是数的代数和。 s nn n n a a a a a a 1 21 2 11 1
②一个s×n矩阵,可表示为A或(an 定义2.矩阵的行(列)初等变换是指下列三种变换: 1)交换矩阵的两行(列)。 2)用一个不等于零的数去乘矩阵的某一行(列) 3)把矩阵的某一行乘上C倍加到另一行上去。 ■说明:①分别叫第一、第二、第三种初等变换
② 一个 矩阵，可表示为A或 。 ◼ 定义2. 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换： 1）交换矩阵的两行（列）。 ◼ ◼ 2）用一个不等于零的数去乘矩阵的某一行（列）。 ◼ 3）把矩阵的某一行乘上C倍加到另一行上去。 ◼ 说明: ① 分别叫第一、第二、第三种初等变换。 sn ( ) aij
②一般地一个矩阵经过初等变换后,变成了另一个矩阵。 定义3.一个矩阵的任一行的第一个非零元素所在的 列以下元素全为零的矩阵称为阶梯形矩阵 定理1设A是一个m×n矩阵,A mI ■通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下 形式:
② 一般地一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个矩阵。 ◼ 定义3. 一个矩阵的任一行的第一个非零元素所在的 列以下元素全为零的矩阵称为阶梯形矩阵。 ◼ 定理 1 设A是一个m×n矩阵， ◼ 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下 形式： = m mn n a a a a A 1 11 1
行 1000.0 100.0 **00 (1)进而化为以下形式 **0.0 Ir+I 2r+2 000 r+3 (2)这里r≥0,「≤m,「≤n,*表示矩阵的元素,但不同位 置上的*表示的元素未必相同
r行 (1) 进而化为以下形式： ◼ ◼ ◼ （2）这里r ≥ 0，r ≤m, r ≤ n, *表示矩阵的元素，但不同位 置上的*表示的元素未必相同。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * * 0 1 * * * * 1 * * * * * + + + o o c c c c c c r r n r n r n 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 3 3 2 2 2 1 1 1
证明:若矩阵A的所有元素都是零。则A也是 (1)的形式 若A的某一个元素不为零,则通 过交换矩阵的行和列可以把这个元素换到 左上方去,又用a去乘第一行,使得左 上方的元素为1。然后由其余各行分别减去 第一行适当的倍数。矩阵A就化为:
证明 ：若矩阵A的所有元素都是零。则A也是 （1）的形式 若A的某一个元素不为零，则通 过交换矩阵的行和列可以把这个元素换到 左上方去，又用 去乘第一行，使得左 上方的元素为１。然后由其余各行分别减去 第一行适当的倍数。矩阵Ａ就化为： aij 1
** 在B中,若除第一行外,其余各行的元素全为零,则B 也是(1)的形式。若B中右下行的一块 中有一个元素不为零,则把它换到第二行第二列
在B中，若除第一行外，其余各行的元素全为零，则B 也是（1）的形式。若B中右下行的一块 = 0 * * 0 * * 0 * * 1 * * B * * * * 中有一个元素不为零，则把它换到第二行第二列
交点上。然后用与上面同样的方法可把B化为: 00.0 *** 如此继续下去,得到一个形如(1)的矩阵。 在形如(1)的矩阵中,由第一,第二…第r-1,第r-2 行分别减去第r行的适当倍数 再由第一,第二..第r-2行分别减去第r-1行的适当倍 数。这样下去,就可以得到(2)的 形式
交点上。然后用与上面同样的方法可把B化为： ◼ 如此继续下去，得到一个形如（1）的矩阵。 ◼ 在形如（1）的矩阵中，由第一，第二…第r-1，第r-2 行分别减去第r 行的适当倍数。 ◼ 再由第一，第二…第r-2行分别减去第r-1行的适当倍 数。这样下去，就可以得到（2）的 ◼ 形式。 = 0 0 * * 0 0 * * 0 1 * * 1 * * * 1 B
25 1-9137 1-9137 712(2)73(-3) 2>-142) 28-7-10 28 7-10 1-9137 0-132517 0-132517 026-34-26242) 00168 026-33-24 001710 9137 1-9137 000 17 3251773 0-132517 0021 00 0 001710 000-75 0001
− − − − − − − = 2 8 7 10 3 1 5 5 1 9 13 7 2 5 1 3 A ⎯⎯D12→ − − − − − − − 2 8 7 10 3 1 5 5 2 5 1 3 1 9 13 7 ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯− ⎯→ − ( 2) (2) ( 3) 1 4 1 2 1 3 T T T − − − − − − 0 26 33 24 0 26 34 26 0 13 25 17 1 4 13 7 ⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→(2) (2) 2 3 2 4 T T − − 0 0 17 10 0 0 16 8 0 13 25 17 1 9 13 7 − − 0 0 17 10 0 0 2 1 0 13 25 17 1 9 13 7 ⎯⎯ ⎯→ − ) 2 17 ( T3 4 − − − 0 0 0 75 0 0 2 1 0 13 25 17 1 9 13 7 → 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
