§1.5事件的独立性 >个节件的 >三,少个件的秘
§15事件的独立性 一、两个事件的独立性 王在前面的很多例子中,PAB≠P小,这 说明事件A与B是有关联的.比如,当(AB)>P(A 王(或1BPD)时,就意味着B的发生使A c发生的可能性增大(或减小)了,也就是 说,B的发生对A的发生有“促进’(或 抑制’)作用.本节考虑的是的情形,涉 王及概率论中一个非常重要的概念—独立 性 上页
§1.5 事件的独立性 一、两个事件的独立性 在前面的很多例子中， ，这 说明事件A与B是有关联的. 比如，当 （或 ）时，就意味着B的发生使A 发生的可能性增大（或减小）了，也就是 说，B的发生对A的发生有‘促进’（或 ‘抑制’）作用. 本节考虑的是的情形，涉 及概率论中一个非常重要的概念——独立 性 P(A | B) P(A) P(A | B) P(A) P(A | B) P(A)
由(10)和乘法公式(1)知,当P(B>0 时,P(AB)=P(A)等价于以下的对称形式 P(AB)=P(A)·P(B) (1-14) 定义13若事件4和B满足(114)式,则称4 上与B是相互独立的( MutuallyIndependent 中简称4与B独立 根据这个定义,任何事件A都与必然事件2 王独立,也与不可能事件独立 上页
由（1-10）和乘法公式（1-11）知，当 时， 等价于以下的对称形式 . (1-14) 定义1.3 若事件A和B满足（1-14）式，则称A 与B是相互独立的（ MutuallyIndependent) 简称A与B独立. 根据这个定义，任何事件A都与必然事件 独立，也与不可能事件 独立. P(B) 0 P(A | B) = P(A) P(AB) = P(A) P(B)
王定理11 若事件A与B独立,则以下每对事件都 独立:A与B,A与B,A与B 应当注意,独立性与互斥性(互不相 容性)是两个根本不同的概念,前者强调 事件没有关联,后者强调事件不同时发生, 通常,两者没有必然的联系.另外,当P(4)>0 且P(B)>0时,A与B的独立性和互斥性不能 同时具备 上页
定理1.1 若事件A与B独立，则以下每对事件都 独立： 与B，A与 ， 与 . 应当注意，独立性与互斥性（互不相 容性）是两个根本不同的概念，前者强调 事件没有关联，后者强调事件不同时发生， 通常，两者没有必然的联系. 另外，当 且 时，A与B的独立性和互斥性不能 同时具备 A B A B P(A) 0 P(B) 0
王二、多个事件的独立性 王定义14设4,41…,4,为m(≥2)个事件,如 王果其中的任意两个事件都独立,则称事件 是A1,A2,…,A1两两独立的( Pairwise Independent) 十定义1.5设4,A,…,A,为n(≥2)个事件,如 午果对任意的k2≤k≤m个数和任意的k个事 牛件,都有4…4)=P)P4y4(115) 上页
二、多个事件的独立性 定义1.4 设 为n 个事件，如 果其中的任意两个事件都独立，则称事件 是 两两独立的（Pairwise Independent）. 定义1.5 设 为n 个事件，如 果对任意的 个数和任意的 个事 件，都有 （1-15） A A An , , , 1 2 ( 2) A A An , , , 1 2 A A An , , , 1 2 ( 2) k (2 k n) k ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k 1 2 k P Ai Ai Ai P Ai P Ai P Ai =
需要说明的是,(15)式实际上涵着 庄c+c+…+C;=2-1-个等式特别地, 当n=3时,(1-15)式蕴涵着以下四个等 式 P(A1A2)=P(A1)·P(A2) P(A1A3)=P(A1)·P(A3), P(A2A3)=P(A2)P(A3) 牛P(A24)=P(4)P(4)P(4) 可以看出,若事件A1,A2…,A相互独立,则 它们必定两两独立,但事件 王页下
需要说明的是，（1-15）式实际上蕴涵着 个等式. 特别地， 当 时，（1-15）式蕴涵着以下四个等 式： ， ， ， 可以看出，若事件 相互独立，则 它们必定两两独立，但事件 C C C n n n n + n + + n = 2 −1− 2 3 n = 3 ( ) ( ) ( ) P A1 A2 P A1 P A2 = ( ) ( ) ( ) P A1 A3 P A1 P A3 = ( ) ( ) ( ) P A2 A3 P A2 P A3 = ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 = A A An , , , 1 2 A A An , , , 1 2
王两两独立却不能推出它们相互独立弄清 这两个概念的区别与联系,对正确认识多 王个事件的不同独立性含义十分必要 生由定义15,可得以下结论 二定理12若事件组4,4…A独立,则 ()其中任意k(2≤k≤n)个事件形成的事 庄件组独立 庄2将其中(意多个惠件换为相应的对立 上页
两两独立却不能推出它们相互独立. 弄清 这两个概念的区别与联系，对正确认识多 个事件的不同独立性含义十分必要. 由定义1.5，可得以下结论 定理1.2 若事件组 独立，则 (1) 其中任意 (2 )个事件形成的事 件组独立； (2) 将其中任意多个事件换为相应的对立 事件后形成的事件组仍独立. A A An , , , 1 2 k k k n
比如,当事件组A,4,4独立时,事件组4 ,x,独立;事件组不,,4独立;事件组 王4,4,可也独立等等 因为A1,2,A独立,即,彼此亳无关联, 午自然,事件(与)以及事件与也都没有 午关联,从而它们独立对多个独立的事件, 类似的结论仍然成立 注意,在许多实际问题中,我们并不 总是用(1-14)来判断事件的独立性,而是 牛相 上页
比如，当事件组 , , 独立时，事件组 , , 独立；事件组 , , 独立；事件组 , , 也独立，等等. 因为 , , 独立，即，彼此毫无关联， 自然，事件 与 以及事件与也都没有 关联，从而它们独立. 对多个独立的事件， 类似的结论仍然成立. 注意，在许多实际问题中，我们并不 总是用（1-14）来判断事件的独立性，而是 相 A1 A2 A3 A1 A2 A2 A3 A1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ( ) A1 A2 A3
反直接从问题的实际背景出发,看两个事 件是否互不关联,如果两个事件互不关联, 彼此没有影响,就可认为是独立的.从而可 王用(1-14)式计算积事件的概率这样,独 立性还是计算复杂事件概率的一个重要考 王虑下面给出两个常用的基本公式 牛定理13若事件组A,A,“独立,则 王(1)y424)=PA)PA)PA),(16) 上(2)P4UAU-4)=1-P)R)Px).(17) 上页
反直接从问题的实际背景出发，看两个事 件是否互不关联，如果两个事件互不关联， 彼此没有影响，就可认为是独立的. 从而可 用（1-14）式计算积事件的概率. 这样，独 立性还是计算复杂事件概率的一个重要考 虑. 下面给出两个常用的基本公式. 定理1.3 若事件组 独立，则 （1） ， （1-16） （2） . （1-17） A A An , , , 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 A2 An P A1 P A2 P An = ( ) P A1 A2 An 1 ( ) ( ) ( ) P A1 P A2 P An = −
定义16设E为一随机试验,将E独立地重复n 次得到的复合试验称为n重独立试验;若E 只有两个可能结果(如事件A发生或不发 生),则称其为贝努利试验( Bernoulli 生Ti)由它得到的n重独立试验称为/重 贝努利试验 双努利试验以及相应的概率楼型在实际中 验就是贝努利试验,掷n次就是n重贝努利 试验还有,对任一事件4,若试验的目的 上只是观察4发生与否,那么,独立地做n次 试验或观察就构成一个厘贝努利试验 上页
定义1.6 设E为一随机试验，将E独立地重复n 次得到的复合试验称为n重独立试验；若E 只有两个可能结果（如事件A发生或不发 生），则称其为贝努利试验（Bernoulli Trial），由它得到的n重独立试验称为n重 贝努利试验. 贝努利试验以及相应的概率模型在实际中 有十分广泛的应用. 比如，掷一颗骰子的试 验就是贝努利试验，掷n次就是n重贝努利 试验. 还有，对任一事件A，若试验的目的 只是观察A发生与否，那么，独立地做n次 试验或观察就构成一个n重贝努利试验