§31容斥原理引论 第三章容斥原理和鸽巢原理 §1容斥原理引论 例[1,20]中2或3的倍数的个数 [解]2的倍数是:2,4,6,8,10, 12,14,16,18,20。10个
第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论 例 [1，20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个 §3.1 容斥原理引论
§32容斥原理 3的倍数是:3,6,9,12,15, 但答案不是10+6=16个,因为6 12,18在两类中重复计数,应 减 去。故答案是:16-3=13
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应 减 去。故答案是：16-3=13 §3.2 容斥原理
§32容斥原理 容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 Demorgan定理论域U,补集A A={x|x∈U且x≠A},有 (a)AUB=A∩B ()A∩B=AUB
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A A{x | xU且x A} ,有 §3.2 容斥原理 (a) A B A B (b) A B A B
§32容斥原理 证:(a)的证明 设x∈∩B,则x函A∪B x∈A∪B相当于xgA和x≠B 同时成立,亦即 A∈A∪B→x∈A∩B(1)
证：(a)的证明。 设 ,则 相当于 和 同时成立，亦即 x A B x A B x AB xA xB AABxAB (1) §3.2 容斥原理
§32容斥原理 反之,若x∈A∩B,即x∈A和x∈B 故x≠A和x≠B亦即x∈A∩B x∈A∩B→x∈A∪B(2) 由(1)和(2)得 x∈A∩B分x∈A∪B (b)的证明和(a)类似,从略
反之，若 x A B, 即x A和x B 故 x A和xB.亦即x AB x A B x A B (2) 由（1）和（2）得 x A B x A B (b)的证明和（a)类似，从略. §3.2 容斥原理
§32容斥原理 DeMorgan定理的推广:设 AA2,41是U的子集 则(aA1∪A2∪.!A=41∩A20…A (p)∪U¨U=∩平∩∩ 证明:只证(a)N-2时定理已证。 设定理对n是正确的,即假定:
DeMogan定理的推广：设 1, 2 ,..., A A An是U的子集 2 1 2 ... ... 则 1 A An A A An (a)A 2 1 2 ... ... 1 A An A A An (b)A 证明：只证(a). N=2时定理已证。 设定理对n是正确的，即假定： §3.2 容斥原理
§32容斥原理 A1∪A2U…An=A1∩A2…A2正确 A,UAU.UA, UA=(AUUA)UA (AUA20.JA2∩A =A1∩A21….AnA1 即定理对n+1也是正确的
2 1 2 ... ... 1 A An A A An A 正确 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ... ( ... ) ( ... ... n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A 1 则 A 即定理对n+1也是正确的。 §3.2 容斥原理
§32容斥原理 §2容斥原理 最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 定理: A∪B=A+B-A A∩B|(1) 即具有性质A或B的元素的个数等于具
§2 容斥原理 最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 即具有性质A或B的元素的个数等于具 A B A B A B (1) 定理： §3.2 容斥原理
§32容斥原理 有性质A和B的元素个数。 U A AnB B
有性质A和B的元素个数。 U A AB B §3.2 容斥原理
§32容斥原理 证若A∩B=p,则|A∪B|=|A|+|B A|=A∩(B∪B) =(A∩B)U(A∩B) 1A∩B|+|A∩B|(1) 同理|B|=|B∩A|+|B∩A|(2 A∪B|=(A∩(B∪B)∪(Bn(A∪A)川 =(A∩B)U(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A A∩B|+A∩B|+|B∩A(3)
§3.2 容斥原理 证 若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B| | A |＝| A ∩( B∪B) | ＝| (A∩B)∪(A∩B)| ＝| A∩B | + | A∩B | ( 1 ) 同理 | B | ＝| B∩A | + | B∩A | ( 2 ) | A∪B |＝|(A∩( B∪B))∪(B∩(A∪A))| ＝|(A∩B)∪(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A)| ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| ( 3 )