§9.2合作对策模型 在上一章我们已经看到,从事某一活动的各方如能通 力合作,常常可以获得更大的总收益(或受到更小的总损 失)。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益(或分 摊损失),这一问题如果处理不当,合作显然是无法实现的。 先让我们来分析一个具体实例
§ 9.2 合作对策模型 在上一章我们已经看到，从事某一活动的各方如能通 力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损 失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分 摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。 先让我们来分析一个具体实例
例7有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图)三城 镇的污水必须经过处理后方能排入河中,他们既可以单独建立污水 处理厂,也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见,我们 再假设污水只能由上游往下游。 用Q表示污水量,单位为米3/秒,L表示管道长度,单位为公里, 则有经验公式: 建厂费用 城一 C1=730Q2(万元) 管道费用 20公里 2660051L(万元) 已知三城镇的污水量分别为: 城二 Q1=5米秒,Q2=3米3/秒,Q3=5米3/秒 城镇应怎样处理污水方可使总开支最少?3公里 每一城镇负担的费用应各为多少? 城三
例7 有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城 镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水 处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们 再假设污水只能由上游往下游。 用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里， 则有经验公式： 建厂费用 C1 =730Q0.712（万元） 管道费用 C2 =6.6Q0.51L(万元） 已知三城镇的污水量分别为： Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒，问： 三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？ 每一城镇负担的费用应各为多少？ 城一 城二 城三 38公里 20公里
分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案 (1)每城镇各建一个处理厂(单千) (2)城L城2合建一个城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。 (3)城2,城3合建一个城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。 (4)城3,城1合建一个城2单独建一个(1、3城合作建于城3处) (5)三城合建一个污水处理厂(建于城3处) 城一 容易计算:方案总投资(:万元) 16200以三城合作总投资为最 5800 少 2345 5950 38公里 6230 5560 城
分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： (1)每城镇各建一个处理厂（单干）。 (2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。 (3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。 (4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。 (5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处） 城一 城二 城三 38公里 20公里 容易计算： 方案 总投资(：万元) 1 6200 2 5800 3 5950 4 6230 5 5560 以三城合作总投资为最 少
费用怎么分摊呢? 城1的可你)排方案有道理差点做了冤大 番可行 联合建厂裁用可州草元或!! 头! 城真合作后城1费用增加!应由城1质一 城1 6)v 全部出圳L旦3 道是为城○ 城2城3管道费城2k 应曹网协2公里 城1负担 5/8 元) 城1的总负担:约为 城二 城1自己建厂费用:2300万元 8公里 建厂处Q
费用怎么分摊呢？ 建厂费用按三城污水量之比 5：3：5分摊，管道是为城 1、城2建的，应由两城协 商分摊。 城一 城二 城三 38公里 20公里 建厂处 同意城3意见，由城2→城3的管道费 用可按污水量之比5：3：5分摊，但 城1→城2的管道费用应由城1承担。 分摊方案有道理，但得作一 番 “可行性论证” ， 城1的“可行性论证”： 联合建厂费 ： （万元） 城1负担 ： （万元） 城1→城2管道费： （万元） 全部由城1负担 城2→城3管道费： （万元） 城1负担 ： （万元） 城1的总负担 ：约为2457万元 730 (5 3 5) 4530 0.712 + + = 5 134530 1742 6.6 5 20 300 0.51 6.6 (5 3) 38 724 0.51 + 5 8724 = 425.5 城1自己建厂费用 ：2300万元 合作后城1费用增加！ 差点做了冤大 头！！！
怎样找出一个合理的分摊原则,以保证合作的实现呢? N人合作对策模型 设有一个n人的集合I=1,2,n},其元素是某一合作的可能参加者。 (1)对于每一子集S<对应地可以确定一个实数vS),此数的实际意 义为如果S中的人参加此项合作,则此合作的总获利数为vS),十分明显 V(S)是定义于的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景,还 应要求v(S满足以下性质 =0(沒有人参加合作则合作获利不能实现) (S1US2)≥时切满足的S1SS2成实 具有这种性质的集合函数v(S)称为的特征函数
怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？ N人合作对策模型 设有一个n人的集合I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。 (1)对于每一子集S I，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际意 义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显， V(S)是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还 应要求V(S)满足以下性质: =0（ V 没有人参加合作则合作获利不能实现 () ） 对一切满足 的S1、S2成立 具有这种性质的集合函数V（S）称为I的特征函数。 ( ) ( ) ( ) V S1 S2 V S1 +V S2 S1 S2 =
(2)定义合作结果V(S)的分配为o)=(()…,唤表示第八在 这种合作下分配到的获利。显然,不同的合作应有不同的分配,问题归结 为找出—个合理的分配原则来,被称为合作对嫌) 是否存在合理分配原则0) 1953年 Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。 首先,他归纳出了几条合理分配原则p()当满足的 基本性质(用公理形式表示),进而证明满足这些 基本性质的合作对策卯()一存在的,从而妥善地 解决了问题
(2)定义合作结果V（S）的分配为 ，其中 表示第i人在 这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结 为找出一个合理的分配原则 来， 被称为合作对策 ( ) ( ( ), , ( )) V = 1 V N V (V) i (V) (V) 1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。 首先，他归纳出了几条合理分配原则 应当满足的 基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些 基本性质的合作对策 是唯一存在的，从而妥善地 解决了问题。 (V) (V) 是否存在合理分配原则 (V)
Shapley提出了以下公理: 设Ⅴ是I上的特征函数,是台作对策,则有 公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关 公理2∑9)即若第人在他参加的任一合作中均不 作出任何贡献,则他不应从合作中获 公理3若对所有包含子集S有: V(S-{i})=V(S),(V)=0。 公理4若此n个人同时进行两项互不影响的合作,则 两项合作的分配也应互不影响,每人的分配 额即两项合作单独进行时应分配数的和
Shapley提出了以下公理： 设V是I上的特征函数， 是合作对策 (V) ，则有 公理1 合作获利对每人的分配与此人的标号无关。 公理2 ，即每人分配数的总和等于总获利数。 = = n i i V V I 1 ( ) ( ) 公理3 若对所有包含的i的子集S有： V(S-{i})=V(S)， i (V) =0。 即若第i人在他参加的任一合作中均不 作出任何贡献，则他不应从合作中获利 公理4 若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则 两项合作的分配也应互不影响，每人的分配 额即两项合作单独进行时应分配数的和
利用上述公理可以证明满足公理14的(是唯一存在的〔证明略) 存在叫的公式吗W(S可看作这 种贡献的权因子 Shape指出可按下列给出: 9()=∑W(S(S)-(S-{),1 S是中包含一切子集所成的集合 S表示集合S中的元素个数,而 (S|-1)(n-|SD 2) 可视为许在合作 S中所作的贡献
利用上述公理可以证明满足公理1~4的 是唯一存在的(证明略) (V) 存在 (V 的公式吗 ) Shapley指出， (V 可按 ) 下列公式给出： = − − S Si i (V) W(| S |)[V(S) V(S {i})] (11.1) i=1,…,n Si是I中包含i的一切子集所成的集合， |S|表示集合S中的元素个数，而 ! (| | 1)!( | |)! (| |) n S n S W S − − = (11.2) 可视为i在合作 S中所作的贡献 W(|S|)可看作这 种贡献的权因子
合作的获利真的不少于他单干时的获利吗 求证:对每-i∈I,有q()≥({) 证明:SK时,包含的子集S共有C浴 而∑W0s S|=KS∈S 1)!(n-K) S 又根据性质,有 (S)-(S-{})≥({}) 故有9()=∑W(SD(S)-(S- ≥(∑W(SD=({)
合作的获利真的不少于他单干时的获利吗 对每一i∈I，有 (V) V({i}) 求证: i 证明: |S|=K时，包含i的子集S共有 个 1 1 − − k Cn 即 个 ( 1)!( )! ( 1)! K n K n − − − ( 1)!( )! ( 1)! ! ( 1)!( )! (| |) | | K n K n n K n K W S i S S S K − − − − − = = 故 (| |) ( = 1/n (| |) 1 1 | | = = = = i i S S S K n S S K 从而 W S W S V(S) −V(S −{i}) V({i}) 又根据性质，有 (V) W(| S |)[V(S) V(S {i})] i S S i = − − V({i}) W(| S |) V({i}) S Si = 故有
决三城镇污水处理问题 城究应当矿我们应该承担的是103万 首先不难看出 元! 计算出与(1.式有关的数据并列成表 城 城2和城3应该承担总投资大于单干总投资 的费用可类似算出 合作不可能实现,合作 获利为0 veoI-vo-tD 400 城二 s W(|S|) 1 6 1/3 38公里 W(SDV)v(s0人 130 狱球利1()=67+130197(万元) 建厂处飞 城三 承担总费用:2300-197÷2103(万元)
城1 获利 =67+130=197（万元） 承担总费用： 2300-197=2103（万元） W(|S|)[V(S)-V(S- 0 67 0 130 {I})] W(|S|) 1/3 1/6 1/6 1/3 |S| 1 2 2 3 V(S)-V(S-{I}) 0 400 0 390 V(S-{I}) 0 0 0 250 V(S) 0 400 0 640 S {1} {1，2} {1，3} {1，2，3} ( ) 1 V 城一 城二 城三 38公里 20公里 建厂处 解决三城镇污水处理问题 城1究竟应当承担多少费用 首先不难看出 ： S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}} 计算出与(11.1)式有关的数据并列成表 总投资大于单干总投资， 合作不可能实现，合作 获利为0 城2和城3应该承担 的费用可类似算出 我们应该承担的是2103万 元！
