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士士 §24连续型随机变量及其概率密度函数 一、连续型随机变量的概念 定义28设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负可 积函数f(x),使得对于任意实数x,都有 F(x)=」f(x)x (2-15) 则称X为连续型随机变量,称/(X的概率密度函数 ( Probability Density function),简称概率密度或密度 由定义可知,连续型随机变量x的分布函数F(x在x点的函 数值等于其概率密度函数f(在区间(,上的积分 类似于离散型随机变量连续型随机变量/(概率密度 函数具有如下基本性质: 上页
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数 一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量X的分布函数为 ，若存在非负可 积函数 ，使得对于任意实数 ，都有 （2—15） 则称X为连续型随机变量，称 为X的概率密度函数 （Probability Density Function），简称概率密度或密度. 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 在x点的函 数值等于其概率密度函数 在区间 上的积分． 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 的概率密度 函数具有如下基本性质： F(x) f (x) x − = x F(x) f (x)dx f (x) F(x) f (x) (− , x f (x)
(1)(非负性)对任意的实数x,f(x0; (2)(规范性)「"fx)x=1 (2-16) 反过来,若已知一个函数f(x满足上述性质(1)和(2,则f(x) 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数 另外,对连续型随机变量X的分布,还具有如下性质: 1对于任意实数,x(x1sx),P<Xsx}=F(x)Fx)=∫x)x; 2连续型随机变量X的分布函数(x)是连续的,但反之不真; 3连续型随机变量X取任一确定值的概率为0;即对于任意 工工工 实数xP{X=x}=0; 事实上,由(2-12)和F(x)的连续性即知 P{X=x}=F(x)-F(x-0)=0 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的,所以, 上页
（1）（非负性） 对任意的实数 ， ≥0； （2）（规范性） （2—16） 反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数． 另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： 1.对于任意实数 ( ), ＝ = ； 2.连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真； 3.连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意 实数 ， = 0； 事实上，由（2－12）和 的连续性即知: 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以, x f (x) + − f (x)dx =1 f (x) f (x) 1 2 x , x 1 2 x x Px1 X x2 ( ) ( ) 2 1 F x − F x 2 1 ( ) x x f x dx F(x) x PX = x F(x) PX = x = F(x)− F(x − 0) = 0
(1)概率为零的事件未必是不可能事件;概率为1的事件 也不一定是必然事件 2)在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时,可 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间,即对任意的 实数xx2(x<x),有 P{<X≤x}=P{x1sX≤x}=P{≤X<x} =Px1<X<x2}=∫fxx (2-17) 这样,如果F(除可数个点外导数处处连续那么在的) 导数连续点处f(x)=而在其它点处氏(x)的值可任意补充 r定义不妨取为0于是可得到X的一个概率密度函数 f(x)= ∫F(x,在F(x的连续点处 0. 在F(x)的不连续点处(2-18) 上页
（1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件 也不一定是必然事件； （2）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的 实数 ，有 ＝ ＝ ＝ ＝ (2—17) 这样，如果 除可数个点外导数处处连续,那么在 的 导数连续点处 ,而在其它点处f(x)的值可任意补充 定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数 (2－18) ( ) 1 2 1 2 x , x x x Px1 X x2 Px1 X x2 Px1 X x2 Px1 X x2 2 1 ( ) x x f x dx F(x) F(x) f (x) = F(x) = ， 在 的不连续点处 ， 在 的连续点处 0 '( ) '( ) '( ) ( ) F x F x F x f x
王二常见的几种连续型分布 均匀分布 定义29若X的概率密度函数为 x∈(an,b) f(x)= b 0 其它 (2-19) 则称X服从区间(a,b)内的均匀分布( Uniform distribution,记 为X~U(a,b) 均匀分布的特征 (1)若X~U(a,b),则落在(a,b)内任意子区间内的概 上率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 事实上,对于任意一个长度的子区间(x,x0+1)s(a,b), 上页
二、常见的几种连续型分布 1．均匀分布 定义2.9 若X的概率密度函数为 （2—19） 则称X服从区间(a, b)内的均匀分布(Uniform Distribution),记 为 ～U(a, b)． 均匀分布的特征： （1） 若X～U(a, b), 则落在（a, b）内任意子区间内的概 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关． 事实上，对于任意一个长度的子区间 , − = 0 其它 ( , ) 1 ( ) x a b b a f x X ( , ) ( , ) x0 x0 + l a b
x0+ +l P{X∈(x,x+)}=Px6<K<x+l}=」f(x)x dx b-a b-a AF(2)若X~U(a,b),则X的分布函数为 0 x≤a F(x)= a<x< b b-a x≥b (2-20) (3)f(x)和F(x)的图形分别为 f(x)+ b ol b 图23 (a) ) 上页
（2）若X～ ，则X的分布函数为 （2－20） （3） 和 的图形分别为 图2.3 b a l x b a P X x x l P x X x l f x x x l x x l x − = − + = + = = + +0 0 0 0 1 { ( , )} { } ( ) 0 0 0 0 d d U(a，b) − − = x b a x b b a x a x a F x ， ， ， 1 0 ( ) f (x) F(x)
2.指数分布 定义210若X的概率密度函数为 dex x> 0 f(x)= x0)(2-21) 则称X服从参数为的指数分布( Exponential Distribution记 "为~E(4),其分布函数为 =2x x>0 F(x)= 0 x<0 (2-22) 上指数分布的概率密度函数/和分布函数(的图形分别为 F() 图24 上页
2. 指数分布 定义2.10 若X的概率密度函数为 （ >0） （2—21） 则称X服从参数为 的指数分布(Exponential Distribution),记 为 ，其分布函数为 (2－22） 指数分布的概率密度函数 和分布函数 的图形分别为 图2.4 = − 0, 0 , 0 ( ) x e x f x x X ~ E() − = − 0 , 0 1 , 0 ( ) x e x F x x f (x) F(x)
生活中,指数分布应用很广.像电子元件的使用寿命、电 A话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述 因此,指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的 应用 3.正态分布 (1)正态分布的概念 定义21若X的概率密度函数为 (x-) f(x)= e x∈R 2TO (2-23) 其中/和为常数且σ>0,则称X服从参数为A7的正态分布 ( Normal distribution),记为XNo2),正态分布也叫高 斯分布( Gauss),其分布函数为 上页
生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、电 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述． 因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的 应用． 3．正态分布 （1）正态分布的概念 定义2.11 若X的概率密度函数为 （2－23） 其中 和 为常数且 ，则称X服从参数为 的正态分布 （Normal Distribution），记为 ，正态分布也叫高 斯分布（Gauss）, 其分布函数为 f x e x R x = − − 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 0 2 , ~ ( , ) 2 X N
F(x) e dx,x∈R 2丌O (2-24) N特别地当=0=时,则称正态分布N0为标准正态分布 它的概率密度函数特记为(x),即 p(x) e 2 x∈R 2丌 (2-25) 庄它的分布函数特记为叫,即 王0oJ6k=1-cxeR (2-26) 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图26 所示: 上页
（2－24） 特别地, 当 时，则称正态分布 为标准正态分布, 它的概率密度函数特记为 ，即 （2—25） 它的分布函数特记为 ，即 （2—26 ) 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图2.6 所示： d , , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) F x e x x R x x = − − − = 0, = 1 N(0, 1) (x) x e x R x = − 2 2 2 1 ( ) (x) ( ) − − − = = x x x x x x e dx x R 2 1 ( ) d 2 2
(a) 图2.6 (b) "由于(x是概率密度函数,因此 + 有 、2zdx=1,x∈R.从而 eidx=√2z 227) e 2 dx= 0 (2-28) 上述两个式子请熟练掌握,它在以后的计算中经常用到 上页
由于 是概率密度函数，因此 . 从而, 有 (2—27） (2—28） 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到． (x) + − − e x = x R x d 1, 2 1 2 2 d 2 2 2 = + − − e x x 2 d 0 2 2 = + − e x x