s2.2离散型随机变量的概率分布 >一、高散型机 三风几离散型数长其份审状
§22离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概念 王定义22如果随机变量X的所有可能的不同取值 是有限或可列无限多个,则称X为离散型随机变量 设X所有可能的不同取值为xk(k=1,2,…,,),若 P{x=x}=Pk,k=1,2,…,(2-1) 平则称(2-1)为X的分布律,也称为概率分布或概率函 广数,即:( Probability Distribution)或 ST(Probability Function 上页
§2.２ 离散型随机变量的概率分布 一、离散型随机变量的概念 定义2.2 如果随机变量X的所有可能的不同取值 是有限或可列无限多个，则称X为离散型随机变量. 设X所有可能的不同取值为 (k=1，2，… ，)，若 = , k=1，2，… (2－1) 则称(2－1)为X的分布律，也称为概率分布或概率函 数,即:（Probability Distribution)或 （Probability Function）． k x PX = xk pk
分布律(2-1)也可用表格形式表示: x4x1x2…xk+… P+ PI' P p 因此,分布律也称为分布列.离散型随机变量的分布 律通常用分布列形式表示 注意:分布律(2-1)是指k=1,2,…,时的一串 上式子=x}=n 例21和例23中的随机变量X都是离散型随机变 量.要掌握一个离散型随机变量的分布律,只需知道 X的所有可能的不同值x(k1,2,…,)及X取各个值 的概率即可 上页
分布律(2－1)也可用表格形式表示: 因此，分布律也称为分布列．离散型随机变量的分布 律通常用分布列形式表示． 注意：分布律(2－1)是指k=1，2，… ，时的一串 式子 = ． 例2.1和例2.3中的随机变量X都是离散型随机变 量．要掌握一个离散型随机变量的分布律，只需知道 X的所有可能的不同值 (k=1，2，…；)及X取各个值 的概率即可. PX = xk k p k x
显然,分布律具有如下两个性质: 1.(非负性)0Pk≤1k=1,2, (2-3) 2(规范性)∑p=1 (2-4) 事实上,∑=∑Px=x}=PU=x=P()=1 当给定了x及P(k=1,2,…)之后,我们就能描述离散 上型随机量X的分布律,这是因为我们已经知道它取什么值 平以及以多大的概率取这些值,这也正是我们研究随机变量的 分布所需要的 上页
显然，分布律 具有如下两个性质： 1.（非负性） 0≤ =1，2，… （2－3） 2.（规范性） （2－4） 事实上, . □ 当给定了 及 ( k=1，2，… )之后，我们就能描述离散 型随机量X的分布律，这是因为我们已经知道它取什么值, 以及以多大的概率取这些值，这也正是我们研究随机变量的 分布所需要的． pk pk 1 k 1 1 = k = pk ( ) 1 1 1 1 = = = = = = = = = p P X x P X x P k k k k k k k x k p
二、几种常见离散型随机变量及其分布律 .(0-1)分布 定义23设随机变量X只可能取0与1两个值它的分布律是 P{X=k}=p(1-p)k=0,1(0<P<1)(2-5) 即 X40 Pel 1-pel p+ 则称X服从(0-1)分布或两点分布 (Two-point Distribution) r对于一个随机试验E,它只有两种可能的结果A和A,即A A要么发生,要么不发生,则这种试验E总可以用(0-1)分布 来描述,这种试验在实际中很普遍.例如,抛掷硬币试验, A=“出现正面”4=“出现反面”;在射击试验中, 上页 圆
二、几种常见离散型随机变量及其分布律 1. （0－1）分布 定义2.3 设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 （0< <1） （2－5） 即 则称X服从（0－1）分布或两点分布 （Two-point Distribution）． 对于一个随机试验E，它只有两种可能的结果A和 ，即A 要么发生，要么不发生，则这种试验E总可以用（0－1）分布 来描述，这种试验在实际中很普遍．例如，抛掷硬币试验, A = “出现正面”， “出现反面”；在射击试验中， } (1 ) 0 1 P X = k = p k − p 1−k k = ， p A A =
王 A=“命中目标”,=“未命中目标”;它们都可用 c(0-1)分布来描述.(0-1)分布是实际中 王经常用到的—种分布 2.二项分布 设E为n重贝努利试验,用X表示n重贝努利试验 中事件A发生的次数,则X是一个随机变量x所有可 能的取值为0,1,2,…n;由于各次试验是相互独立 工工工 的,因此由第一章(1-18)知 P=k=P在m次试验中恰好发生次}=cp-py k=0,1,2,…n; 显然( 1)P{X=k≥0 =0,1,2,n (2)∑Px=k}=∑Cp(-py+=(p+1-p)y=1 上页
A=“命中目标”, “未命中目标”;它们都可用 （0－1）分布来描述．（0－1）分布是实际中 经常用到的一种分布． 2. 二项分布 设E为n重贝努利试验，用X表示n重贝努利试验 中事件A发生的次数，则X是一个随机变量,X所有可 能的取值为0，1，2，…n;由于各次试验是相互独立 的，因此由第一章（1－18）知 =P{A在n次试验中恰好发生 次}= ， =0，1，2，…n； 显然 （１） ≥0 ， =0，1，2，n…； （２） A = PX = k k k k n k Cn p p − (1− ) k PX = k k = = − = = − = + − = n k n k o k k n k n P X k Cn p p p p 0 { } (1 ) ( 1 ) 1
注意到p(-p恰好是二项式+m的展开式中出现的 那一项,因此称X服从的分布为参数是(n,P)的二项分布 定义24若随机变量X的分布律为 P{x=k}=cp(-py,k=0,1,2,…,;(2-6) 其中n为正整数,0<p<1,则称服从参数为(n,)的二项分 布( Binomialdistribution),记为X~B(n,p) 特别地,当n=1时,X~Bp),这就是(0-1)分布 在实际中,把概率很小(一般要求在0.05以下)的事件称 上为小概率事件,由于小概率事件在二次试验中发生的可能性 很小,因此,在一次试验中,小概率事件实际上是不应该发 M生的这条原则我们称它为实际推断原理.需要注意的是实 际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生 的,当试验次数充分大时,小概率事件至少发生一次却几乎 是必然的 上页
注意到 恰好是二项式 的展开式中出现 的 那一项,因此,称X服从的分布为参数是（ ， ）的二项分布. 定义2.4 若随机变量X的分布律为 = ， =0，1，2，…； （2—6） 其中n为正整数，0< <1，则称服从参数为（ ，）的二项分 布（Binomial Distribution），记为 . 特别地，当n=1时， ，这就是（0－1）分布． 在实际中，把概率很小（一般要求在0.05以下）的事件称 为小概率事件．由于小概率事件在一次试验中发生的可能性 很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发 生的. 这条原则我们称它为实际推断原理．需要注意的是,实 际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生 的，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎 是必然的． k k n k Cn p p − (1− ) n [ p + (1− p)] k p n p PX = k k k n k Cn p p − (1− ) k p n p X ~ B(n, p) X ~ B(1, p)
在实际中,我们经常要计算n次独立重复的贝努 c利试验中恰好有k次成功的概率cp,至少有k 次成功的概率ΣC(川等当n很大时,要计算出它 们的确切数值很不容易.因此,人们希望能找到二 项分布的近似计算公式.法国数学家泊( Poisson 1781-1840) 对此进行了研究,得到了如下二项分 Ⅻ布概率计算的逼近公式 王"定理121(泊松逼近定理)若x B(n,p),且 Ilim npn 王=(常数),则对任意确定的自然数;有 lm PX=k =lm Ck p*(1-pm)m-k=te" k=0,1,2,, (2-7) 上页
在实际中，我们经常要计算n次独立重复的贝努 利试验中恰好有 次成功的概率 ,至少有 次成功的概率 等.当n很大时，要计算出它 们的确切数值很不容易．因此，人们希望能找到二 项分布的近似计算公式．法国数学家泊（Poisson， 1781-1840）对此进行了研究，得到了如下二项分 布概率计算的逼近公式． 定理2.1 （泊松逼近定理） 若 ，且 =λ（λ为常数），则对任意确定的自然数k，有 P{X=k}= ， k= 0，1，2，… ， （2－7） k k k n k Cn p p − (1− ) k ( ) = − − n i k i i n i Cn p 1 p ( ) X B n pn ~ , n→ lim n np n→ lim − − → − = e k C p p k n k n k n k n n ! lim (1 )
由于mmpn=为常数,当n较大时,P必定较小.因此 由上述定理可知,当n较大Pn较小时,有以下近似表达式 Cnpn(1-pn)”≈ 。(其中≈n)k=0,1,2,…,n,(2-8) 而x。的值则可通过查本书附表1获得. k! 实际应用中,当n≥10且p0.1时,即可用上述近似公 式计算;而当m100且1=n510时,利用上述近似公式效 果更佳.如上例中 P{x210)=∑cm000993k≈0.031828 二项分布是离散型分布中的重要分布,应用十分广泛利用 泊松逼近定理,很自然引入另一个重要的分布一泊松分布 上页
由于 n = λ为常数，当n较大时， 必定较小．因此, 由上述定理可知，当n较大， 较小时，有以下近似表达式 （其中λ≈n ） k= 0，1，2，…n, (2－8) 而 的值则可通过查本书附表1获得． 实际应用中， 当 ≥10且 ≤0.1时， 即可用上述近似公 式计算；而当 n≥100且λ = n ≤10时，利用上述近似公式效 果更佳．如上例中 = ≈ ≈0.031828 二项分布是离散型分布中的重要分布, 应用十分广泛. 利用 泊松逼近定理，很自然引入另一个重要的分布—泊松分布． n→ lim n p n p n p − − − e k C p p k n k n k n k n ! (1 ) n p − e k k ! n n p n p PX 10 ( ) ( ) = − 5000 10 5000 5000 0.001 0.999 k k k k C = − 10 5 ! 5 k k e k
3泊松分布 定义25设E是随机试验,X是定义在样本空间上的随机 变量,若X的分布律 PIX k} k-元 ae k=0I 2,,(2-8) ,元>0 k 下则称服从参数为的泊松分布( Poisson distribution)记 为X~P() 在实际中,许多随机现象都可用泊松分布来描述.例如 批产品的废品数;一本书中某一页上印刷错误的个数;某 汽车站单位时间内前来候车的人数;某段时间内,某种放射 性物质中发射出的α粒子数等等,均可用泊松分布来描述 泊松分布是概率论中的又一个重要分布,在随机过程中也有 重要应用 上页
3. 泊松分布 定义2.5 设E是随机试验，X是定义在样本空间上的随机 变量，若X的分布律 = 0, 1, 2, …, （2－8） 则称X服从参数为λ的泊松分布（Poisson Distribution）,记 为 ． 在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来描述．例如, 一批产品的废品数；一本书中某一页上印刷错误的个数；某 汽车站单位时间内前来候车的人数；某段时间内，某种放射 性物质中发射出的α粒子数等等，均可用泊松分布来描述. 泊松分布是概率论中的又一个重要分布，在随机过程中也有 重要应用． PX = k = − k k e k , 0 , ! X ~ P()