长安大学：《概率统计》PPT电子教案_第七章 参数估计（7.3）区间估计

§7.3区间估计 三。五传区崛 >,就区司做的一磁 >三。正息依的值的司做讲 >水课形下题的值国化讲

>B,正总体方差尚国司做 区 >起。置传累

§73区间估计 置信区间概念 对于未知参数,除了得到它的点估 计8外,我们还希望估计出一个范围,并 牛希望知道这个范围包含参数真值O的可信 程度.这样的范围通常以区间的形式给出 9 而可信程度由概率给出,这种估计称为区 间估计或置信区间,以下先给出置信区间 概念 上页

§7.3 区间估计 一．置信区间概念 对于未知参数 ，除了得到它的点估 计 外，我们还希望估计出一个范围，并 希望知道 这个范围包含参数真值 的可信 程度．这样的范围通常以区间的形式给出， 而可信程度由概率给出．这种估计称为区 间估计或置信区间，以下先给出置信区间 概念．   ˆ 

王定义74设O为总体X的一个未知参数0<a<1 是预先给定一个数,=(X,x2X)A=B(x1,X2…,X) 是O两个估计量,如果 P11<b<,}=1-a (7-10) 王则称随机区间(A为未知参数O的一个 午置信度为1-的置信区间 (Confidence Interval).置信度也常称为置信水平 ( confidence level)或置信系数 ( confidence 午 coefficient).通常a取0.05,0.01,0.10, 视具体需要而定 上页

定义7.4 设 为总体X的一个未知参数， 是预先给定一个数， ， 是 两个估计量，如果 （7-10） 则称随机区间 为未知参数 的一个 置信度为 的置信区间(Confidence Interval)．置信度也常称为置信水平 (confidence level)或置信系数(confidence coefficient)．通常 取0.05，0.01，0.10， 视具体需要而定．  (0    1) ( , , , ) ˆ ˆ 1 1 X1 X2  Xn  = ( , , , ) ˆ ˆ 2 2 X1 X 2  Xn  =  P ˆ 1     ˆ 2 = 1− ) ˆ , ˆ (1  2  1− 

二。求区间估计的一般方法 王.首先根据样本寻找一个随机变量(枢轴变 王 量)7=7(X,X ,使其分布完全已知. 不2.对给定的置信度1-a,由T的分布确定两 c个常数C1,C2使P<x,X2…x10)<C2}=1-a T3.将事件<7(x1,X2…X1:0)<C2表示为 (X12X2,…,Xn)<O<n2(X1X2…,X) 则P(X12X2…、x<TY212)=1-a 平即O的置信度为1-a的置信区间为(7) 上页

二．求区间估计的一般方法 1. 首先根据样本寻找一个随机变量（枢轴变 量） ，使其分布完全已知． 2. 对给定的置信度 ，由T的分布确定两 个常数C1，C2使 3. 将事件 表示为 则 即 的置信度为 的置信区间为 ． ( , , , ; ) 1 2  X X Xn T = T  1− PC1  T(X1 , X2 ,  , Xn ;)  C2 =1−   1 1 2 2 C  T(X , X ,  , Xn ;)  C T1 (X1 , X2 , ，Xn )    T2 (X1 , X2 , ，Xn ) PT1 (X1 , X2 , ，Xn )    T2 (X1 , X2 , ，Xn )=1−  1− ( , ) T1 T2

鉴于实际问题中最常见的参数估计问 题多数是要求估计总体的均值和方差,且 正态总体又是实际问题中最常遇到的总体 因此,以下着重讨论正态总体均值和方差 生的区间估计 主三.正态总体均值的区间估计 工工工 总体X~N(a2,是未知参数,现在 我们分两种情形讨论m的区间估计问题 王从该总体X中抽取随机样本(xx ),并 以作为=EX的点估计,服从正态分布N 上页

三． 正态总体均值的区间估计 鉴于实际问题中最常见的参数估计问 题多数是要求估计总体的均值和方差，且 正态总体又是实际问题中最常遇到的总体， 因此，以下着重讨论正态总体均值和方差 的区间估计． 总体X～N ，μ 是未知参数，现在 我们分两种情形讨论μ的区间估计问题 从该总体X中抽取随机样本 ，并 以作为μ=EX的点估计，服从正态分布 ( , ) 2   ( , , , ) X1 X2  Xn X ( , ) 2 n N  

王1.2已知情形下的置信区间 若σ2是已知参数,这时可选取枢轴变量 王U=x-~N(0,1)(71) 王则对给定的置信度1-a0<a<1,存在U, 使 PU<Ua=1-a (7-12) 千这里2是标准正态分布的上侧分位数, 牛其值可查附表求得.将的表示式代入 (7-12)可得 P n<U= 上页

１． 已知情形下μ的置信区间 若 是已知参数，这时可选取枢轴变量 ～N（0，1）（7-11） 则对给定的置信度 ， 存在 ， 使 （7- 12） 这里 是标准正态分布的 -上侧分位数， 其值可查附表2求得．将U的表示式代入 （7-12）可得 2  2  n X U  −  = 1−,(0    1) 2 U   = −        1 2 P U U 2 U  2      = −        − 1 2 n U X P

王所以的置信度为1-的置倍区间是 X-—U,X+U vn 2 n (7-14) 其长度为20 y=9(x) (n-1)分布密度 C X 72 (n-1)x 2 z 图了 图7.24 上页

所以μ的置信度为 的置信区间是 （7-14） 其长度为 1−         − + 2 2 ,     U n U X n X 2 2   U n

2.a2为未知情形下,m的置信区间 若a2是未知参数,则以σ的无偏估计 王代替σ’这时由于枢轴变量 T= t(n-1) (7-15) 牛所以对给定的置信度1-a,存在(-使 7x1(=)}=1-a(716 生这里01的是自由度为m的分布的 上侧分位数,它的值可查附表4求得,将 (7-15)中的代入(7-16)可得 上页

2． 为未知情形下，μ的置信区间 若 是未知参数，则以 的无偏估计 代替 ，这时由于枢轴变量 ～ （7-15） 所以对给定的置信度 ，存在 使 （7-16） 这里 的是自由度为n-1的t分布的 - 上侧分位数，它的值可查附表4求得，将 （7-15）中的T代入（7-16）可得 2  2  2  2  n S X T −  = t(n −1) 1− ( 1) 2 t  n −    ( −1) =1− 2 P T t n ( 1) 2 t  n − 2 

P{-a2(n-1)< X-μ n<t2(n-1)}=1-a 因此有 王x、010-×<+元40-0=1a(717) 王所以n的置信度为1-c的置信区间是 F、St2(n-1),X+rta(n- n y(78) 斗其长度为m-D 需要说明的是:置信区间公式中 王的x,S,在实际问题中都是具体观测值 计算时应是.x,S 上页

因此有 （7-17） 所以μ的置信度为 的置信区间是 （7-18） 其长度为 需要说明的是：置信区间公式中 的 ， ，在实际问题中都是具体观测值， 计算时应是 ．     = −        − − − ( −1)  ( 1) 1 2 2 n t n S X P t n    = −       − ( −1)   + ( −1) 1 2 2 t n n S t n X n S P X 1−         − ( −1), + ( −1) 2 2 t n n S t n X n S X   2 ( 1) 2 t n − n S  X 2 S 2 x,s