§4.2方差 >一、方是的 =。散型机长的方是 >B,电能型机长的方 >回方是的质 >B、长要面数尚数和
士士 §42方差 方差的概念 引例:现有甲、乙两位射手,甲射手射击中命中的环数 A用X表示,乙射手射击中命中的环数用Y表示,甲、乙两射 手射击中命中的环数分布分别为: x39101439102 P02069029 P401408019 现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些? 易知,甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为 EX=8×02+9×0.6+10×0.2=9(环) EY=8×0.1+9×0.8+10×0.1=9(环 上页
§4.2 方差 一、方差的概念 引例： 现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数 用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射 手射击中命中的环数分布分别为： 现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 易知，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为 ， ． EX = 80.2 +90.6 +100.2 = 9（环） EY = 80.1+ 90.8+100.1 = 9 (环)
可见,甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等,这 表明这两位射手的射击水平相当.但是,谁的射击水平谁更稳 定呢?通常的想法是,看谁命中的环数x与其平均环数E的 偏差绝对值x-EX的平均值最小即EX-EX最小EX-EX 王應小,x的值就愈集中于EX附近,表明此射手发挥意稳定; EX-EX愈大,X的值在EX附近就愈分散,表明此射手发挥 愈不稳定.然而在实际中EX-EX带有绝对值,在数学运算 上不方便,因而,通常用B(X-EN来表达随机变量X取值的 分散程度或集中程度 据此分析,我们可以算得 工工 E(X-EX)2=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×02=04 E(Y-EY)2=(8 (8-9)2×0.1+(9-9)2×0.8+(10-9)2×01=02 由于E(X-EX)>E(Y-EY),因此我们认为乙的射击水平更 稳定一些 圆[回 上页
可见，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等，这 表明这两位射手的射击水平相当．但是，谁的射击水平谁更稳 定呢？通常的想法是，看谁命中的环数 与其平均环数 的 偏差绝对值 的平均值最小,即 最小. 愈小，X的值就愈集中于 附近，表明此射手发挥愈稳定; 愈大，X的值在 附近就愈分散，表明此射手发挥 愈不稳定．然而在实际中 带有绝对值，在数学运算 上不方便，因而，通常用 来表达随机变量X取值的 分散程度或集中程度． 据此分析，我们可以算得 ， ． 由于 ,因此,我们认为乙的射击水平更 稳定一些． i x EX xi − EX E X − EX E X − EX EX E X − EX EXE X − EX E(X − EX) ( ) (8 9) 0.2 (9 9) 0.6 (10 9) 0.2 0.4 2 2 2 2 E X − EX = − + − + − = ( ) (8 9) 0.1 (9 9) 0.8 (10 9) 0.1 0.2 2 2 2 2 E Y − EY = − + − + − = ( ) ( ) 2 2 E X − EX E Y − EY
可以看出F(X-EX)是用来描述随机变量X与其平均值E(偏 广离程度的一种量,为此我们给出如下定义 定义43设X是一个随机变量,若E(X-EX)存在,则称 E(X-EH)为X的方差( Variance),记为D或va(X),即 DX=Var(X)=E(X-EX (412) 而称、DX为X的标准差( Standard deviation)或均方差记为 Ha(X).即(x)=√DX,它与X有相同的量纲 随机变量X的方差DX刻画的是X的取值关于其数学期望EX r的分散或集中程度D￥愈小,X的取值关于EX愈集中;DX 愈大,X的取值关于EX愈分散 中由定义可知,随机变量X的方差是其函数(x-BX的数学 二期望,因此,从计算上讲,方差与数学期望没有质的区别,通 中常用下列公式计算方差 DX=EX=(EX) (4—13) 王这是因为(XBX=x2=2BX+(E)所F以 上页
可以看出， 是用来描述随机变量X与其平均值 偏 离程度的一种量，为此我们给出如下定义 定义4.3 设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差（Variance），记为 或 ，即 ， （4—12） 而称 为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,记为 ,即 ，它与X有相同的量纲． 随机变量X的方差 刻画的是X的取值关于其数学期望 的分散或集中程度， 愈小，X的取值关于 愈集中； 愈大，X的取值关于 愈分散． 由定义可知，随机变量X的方差是其函数 的数学 期望，因此，从计算上讲，方差与数学期望没有质的区别，通 常用下列公式计算方差： （4—13） 这是因为 ，所以 2 E(X − EX) EX 2 E(X − EX) ( ) 2 E X − EX DX Var(X ) 2 DX = Var(X) = E(X − EX) DX (X ) (X ) = DX DX EX DX EX DX EX 2 (X − EX) DX = − 2 EX 2 (EX) 2 2 2 [X − E(X)] = X − 2XEX + (EX)
DX=ELY-E(XP=EX-2(EX)+(EX)=EX(EX) 二、离散型随机变量的方差 设X为离散型随机变量,其分布列为 X=x + x+… pnP2°…n° 若E存在,且(x-EX)p收敛,则 DX=∑(x-EX)2P (414) 成 DX=∑x2P,-(EX) 上页
二、离散型随机变量的方差 设X为离散型随机变量，其分布列为 若 存在，且 收敛，则 （4—14） 或 （4—15） 2 DX = E X − E(X ) 2 2 2 2 2 = EX − 2(EX) + (EX) = EX − (EX) EX i i i x EX p 2 1 ( − ) = i i i DX = x − EX p = 2 1 ( ) 2 1 2 DX x p (EX) i i = i − =
三、连续型随机变量的方差 设x为连续型随机变量,其概率密度函数为(),EX存在, 若∫(x-EX)2f(x)dx收敛,则 DX=L(x-EX)'f()dx (416) 或 DX HC x'f(dx-(ex) (417) 四、方差的性质 设X是一个随机变量,为常数,则有 性质1.D()=0 性质2.D(cX)=c2DX; 上页
三、连续型随机变量的方差 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为 ， 存在, 若 收敛，则 （4—16） 或 （4—17） 四、方差的性质 设X是一个随机变量,c为常数，则有 性质1. ； 性质2. ； f (x) EX (x EX) f (x)dx 2 + − − ( ) ( )d . 2 DX x EX f x x + − = − 2 2 DX = x f (x)dx − (EX) + − D(c) = 0 D(cX ) c DX 2 =
士 性质3若X与Y相互独立,则D(X±)=DY+Dy;特别地 D(X-c)=DX 证明1.D(c)=Ee-E(c)]2=E(C-c)2=0 2. D(cX)=ECX -(CX]=ECX -CEX=E[C2(X-EX)' C2E()2=C2DX 3.D(X±y)=E[(X±Y)-E(x±Y)=E(X-EX)士(-EY) E[(Y-EX)+2(X-EXXY-EY)+Y-EYI E(X-EX)+2E()+E(Y-EY) =DX±2E(X-EX)-EY)+DY 因为Y与Y相互独立,F以XE巧Y-EY也相互独立于是 ELY-EXXY-EY]=E(X-EX)E(Y-Er=0(4-18) 因此 D(x±1)=DY+Dy 上页
性质3. 若 相互独立，则 ;特别地 ． 证明 1. ； 2. ； 3. 因为 相互独立，所以 与 也相互独立,于是 （4—18） 因此 □ X与Y D(X Y) = DX + DY D(X − c) = DX ( ) ( ) ( ) 0 2 2 D c = E c − E c = E c − c = ( ) ( ) [ ( ) ] 2 2 2 2 D cX = E cX − E cX = E cX − cEX = E c X − EX c E(X EX ) c DX 2 2 2 = − = ( ) ( ) ( ) 2 D X Y = E X Y − E X Y ( ) ( ) 2 = E X − EX Y − EY [( ) 2( )( ) ( ) ] 2 2 = E X − EX X − EX Y − EY + Y − EY ( ) ( )( ) ( ) DX E(X EX )(Y EY) DY E X EX E X EX Y EY E Y EY = − − + = − − − + − 2 2 2 2 X与Y X − EX Y − EY E(X − EX)(Y − EY) = E(X − EX) E(Y − EY) = 0 D(X Y) = DX + DY
此性质可以推广到n维随机变量的情形设1,X2,X相互 独立1,c2,…C是常数,则 DC∑cX)=∑ DX 性质4DX=0的充分必要条件是X以概率取常数19) (4 下即X=EX}=1.(证略 五、几类重要随机变量的数学期望和方差 1.(0—1)分布 设X的分布列为 由例4.8知EX=p,DX=p(1-p) 上页
此性质可以推广到n维随机变量的情形. 设 相互 独立， 是常数，则 （4－19） 性质4. 的充分必要条件是X以概率1取常数 即 ．（证略） 五、几类重要随机变量的数学期望和方差 1. ( 0 —1 )分布 设X的分布列为 由例4.8知： ， ． X X Xn , , , 1 2 c c cn , 1， 2， = = = n i i i n i D ci Xi c DX 1 2 1 ( ) DX = 0 EX PX = EX=1 EX = p DX = p(1− p)
2.二项分布 设X~B(n,p),由二项分布的定义X是n重贝努里试验中事件 A发生的次数且在每次试验中A发生的概率为p引入随机变量 A在第次试验中发生, X A在第次试验中不发生, 则相互独立,且均服从分布列x20。14 显然x=∑X,,又EX=PD1=(-)·因此 EX=E2X|=∑EX=m i=1 DX=DC∑X)=∑DX1=npp) 利用定义也可以直接求得二项分布的数学期望和方差,但 r过程较繁琐,有兴趣的读者不妨一试
2. 二项分布 设 ,由二项分布的定义,X是n重贝努里试验中事件 A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p,引入随机变量 则 相互独立，且均服从分布列 显然 ，又 ， ． 因此 = = = ； ． 利用定义也可以直接求得二项分布的数学期望和方差，但 过程较繁琐，有兴趣的读者不妨一试． X ~ B(n , p) = 0 , , 1, , 在第 次试验中不发生 在第 次试验中发生 A i A i Xi Xi = = n i X Xi 1 EXi = p DX p( p) i = 1− EX = n i E Xi 1 = n i EXi 1 np DX D X DX n p( p) n i i n i = i = = − = = 1 1 1 （ ）
3.泊松分布 入·e 设X~P(4),由于P(X=l}= i=0,12,…,因此 EX=∑1 e 入e ∑ =2.e =2 i! EX2=∑2 ∑2 ∑[(i-1)+1 2 e ∑(-1) d'e ∑ ∑ 2 e ∑ d' e =2+2 i=1 i=1 1)2(-2)+2a DX=EX2-(EX)2=2+2-12=元 4.均匀分布 (a,b) 设x(ab),则其概率密度函数()乙其它 根据定义, 上页
3 . 泊松分布 设 ,由于 ,因此， ； ， ． . 4. 均匀分布 设 ，则其概率密度函数 根据定义， X ~ P() , 0, 1, 2, ! λ { } = = = − i i e P X i i ( 1)! λ ! λ ! λ 1 0 1 1 − = = = − = − − = − = i e i e i i e EX i i i i i i i = = − e e ( 1)! λ ! λ ! λ i 1 i 1 2 i 0 2 2 − = = = − = − = − = i e i i e i i e EX i i i i ( 1)! [( 1) 1] 1 − = − + − = i e i i i = = − − = − − = = + − + − = − + − = − 1 2 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 1) i i i i i i i i i e i e i e i e i = − = + − = 2 2 2 2 DX EX (EX) X ~ U(a, b) = − 0, 其它 , ( , ) 1 ( ) x a b f x b a