第五章 向量空间 主讲:彭乃霞
第五章 向量空间 主讲：彭乃霞
教学要求 1、理解向量空间的概念,并清楚线性代数所讨论的问题都是在向 量空间的基础上讨论的。 2、清楚向量空间是欧几里得几何空间的推广,能熟练的判定一个 向量空间,子空间。 3、能熟练判定一个向量组的线性相关性 4、会求简单向量空间的基和维数,两个基下的过渡矩阵及坐标变 换公式的应用。 5、掌握同构定义及同构同维的关系。 6、会求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用
教学要求 1、理解向量空间的概念，并清楚线性代数所讨论的问题都是在向 量空间的基础上讨论的。 2、清楚向量空间是欧几里得几何空间的推广，能熟练的判定一个 向量空间，子空间。 3、能熟练判定一个向量组的线性相关性。 4、会求简单向量空间的基和维数，两个基下的过渡矩阵及坐标变 换公式的应用。 5、掌握同构定义及同构同维的关系。 6、会求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用
重点 向量空间的定义,子空间的 定义及判别,线性相关性, 基,维数,坐标;齐次线性 方程组的解空间及应用 难点:对向量空间、子空间 的理解,向量的线性相关性
向量空间的定义，子空间的 定义及判别，线性相关性， 基，维数，坐标；齐次线性 方程组的解空间及应用。 难点：对向量空间、子空间 的理解，向量的线性相关性。 重点
§5.1.1定义和例子 定义与性质 复习上学期所学解析几何中向量的加法(Va,B∈R3Q+及向量O 与实数的“数量乘法”(ka) B B ka 且关于这个“加法”满足4条(分析并板书), 关于这个“数量乘法”也满足4条(分析并板书)
§5.1.1 定义和例子 3 , R + k k + k 复习上学期所学解析几何中向量的加法（ ： 与实数 的“数量乘法”（ ）： 且关于这个“加法”满足4条（分析并板书）， ）及向量 一、定义与性质 关于这个“数量乘法”也满足4条（分析并板书）
定义与性质 定义5.1.1令,一个数域,中的元素用小写的字母 a,b,C,来表示。令是一个非空集合,中的元素用小 写的希腊字母α,B,y,…来表为如果下列条件被满足,就称 是F上的一个向量空间:
F a,b, c, V , , , 定义5.1.1 令 是一个数域， 中的元素用小写的字母 来表示。令 是一个非空集合， 中的元素用小 如果下列条件被满足，就称 是 一、定义与性质 F 来表示。 V F V 写的希腊字母 上的一个向量空间：
在中定义了一个加法:对于中任意两个向量 α,B有中唯一确定的向量与它们对应,这个向量 叫做的和,并且记做a+B 會一个标量与向量的乘法:对于F的每一个数 中的每一个向量唯一确定的向量与它们 对应,这个向量叫做a与的积,并且记做a
0 1 V , + 在 中定义了一个加法：对于 中任意两个向量 ，有 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量 与 的和，并且记做 。 V V 叫做 0 有一个标量与向量的乘法：对于 2 F 中的每一个数 和 a 中的每一个向量 V 中唯一确定的向量与它们 对应，这个向量叫做 a 与 的积，并且记做 a
向量的加法和标量于向量的乘法满足下列算律: (1)加法交换律a,BsV有a+B=B+k (2)加法结合律Va,B,y有(a+B)+y=a+(B+y) (3)存在“零元”,即存在0s使得va∈V,0+a=x (4)存在负元,即Va∈存在B∈使得a+B=0 (5)分配律k∈K,a,BsV都有k(a+B)=ka+kB; (6)分配律Wk,∈ka∈,都有(k+1)a=ka+la; (7)数乘结合律k,l∈K,a∈V,都有(k1)a=k(l)=l(ka); (8)“1律”1·=
向量的加法和标量于向量的乘法满足下列算律： （1）加法交换律 , ，有 V + = + ； （2）加法结合律 , , ，有 V ( + ) + = + ( + ； ) （3）存在“零元”，即存在 0 ，使得 V + = V, 0 ； （4）存在负元，即 ，存在 V ，使得 V + = ； 0 （5）分配律 k K V , , ，都有 k k k ( ) + = + ； （6）分配律 k l K V , , ，都有 ( ) k l k l + = + ； （7）数乘结合律 k l K V , , ，都有 ( ) ( ) ( ) kl k l l k = = ； （8） “1律” 1• =
我们把的元素叫做向量,卯的元素叫做标量 我们现在从定义出发,来推导向量空间的一些简单性质 根据零向量和负向量的定义,可以推出 性质1在一个向量空间里,零向量是唯一的;对于V 和中每一个向量,a的负向量由魄一确定
我们把 V 中的元素叫做向量， 中的元素叫做标量。 F 我们现在从定义出发,来推导向量空间的一些简单性质. 根据零向量和负向量的定义,可以推出 V 性质1 在一个向量空间 里，零向量是唯一的；对于 和中每一个向量 ， 的负向量由 唯一确定。 V
定义5.1.2 定义向量a与的差为:a+(-B并且记作a-B 这样一来,在一个向量空间里,加法的逆运算减法可以实施 并且有 (1)a+B=y分a=y-B 关于标量与向量的乘法有 性质2对于任意向量秋数域中任意数O,我们有 (2)0a=0a0=0 (3)a(-a)=(-a)=-aa (4)ac=0→a=或a-0
与 +（− ） − 定义5.1.2 定义向量 的差为: ,并且记作 。 这样一来，在一个向量空间里，加法的逆运算-减法可以实施， 并且有 （1） + = = − . 关于标量与向量的乘法有： 性质2 对于任意向量 F 0 = 0 和数域 中任意数 ，我们有： (2) ， a0 = 。 0 (3) a(−) = (−a) = −a 。 (4) a = 0 a = 或 0 = 。 0
思考 设是二元有序实数组所成的集合 V={(ab)a、b∈R} 定义中的加法和数量乘法为: (a, b)+(c, d=(a+c, b+d), k(a,b)(ka O 判断是不是R的向量空间 由此思考定义511中的8条中的(8)不能少
思 考 设 V 是二元有序实数组所成的集合 {( , ) } n V a b a b R = 、 。 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),k(a,b)=(ka,0) 定义 。 中的加法和数量乘法为： V 判断 是不是 V 上的向量空间。 R 由此思考定义5.1.1中的8条中的(8)不能少