§3.3条件分布与独立性 条件 三
§33条件分布与独立性 条件分布 牛定义35设x是二维离散型随机变量,对 于固定j,若PY=y}>0,则称 P(X=x,r=yi p, Pp=x,r=y, 1=12…,(3-21) 庄为在=y条件下随机变量x的条件分布 FF( Conditional Probability Distribution) 王简称条件分布 ● 当(X,Y)是连续型随机变量时,由于对 任意实数X和Y,有PX=x}=0,P{=y=0 上页 圆
§3.3 条件分布与独立性 一、条件分布 定义3.5 设 是二维离散型随机变量，对 于固定 ，若 ，则称 （3—21） 为在 条件下随机变量 的条件分布 律（Conditional Probability Distribution）， 简称条件分布． 当 是连续型随机变量时，由于对 任意实数X和Y，有 , (X , Y) j P{Y = y j } 0 1, 2, , { } ( , ) = = = = = = = = i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j j Y = y X (X , Y) P{X = x} = 0 P{Y = y} = 0
因此,不能直接用条件概率公式,此时我 们用极限的方法引入“条件分布函数”的 概念: 设(X,)的联合概率密度函数为(x,y),(X,Y) 关于Y的边缘概率密度函数为(y),给定 对于任意给定的>0s当时孕考虑条件 牛概率 PksI, yers+e).I If, "ft, ydyd PX≤xy<Ysy+e}= P{y<Y≤y+e} +E fy (ydy 上式给出了在条件下的条件分布函数.为 牛此我们引入以下定义 上页
因此，不能直接用条件概率公式，此时我 们用极限的方法引入“条件分布函数”的 概念： 设 的联合概率密度函数为 ， 关于Y的边缘概率密度函数为 ，给定y， 对于任意给定的 >0，当 时，考虑条件 概率 上式给出了在条件下的条件分布函数．为 此我们引入以下定义 (X , Y) f (x, y) (X , Y) f (y) Y xR P{X x y Y y +} + − + = + + = y y Y x y y f y y f x y y x P y Y y P X x y Y y ( )d [ ( , )d ]d { }
王定义37给定y,对于任意给定的>0,79+0 若对任意的实数x,极限mPX≤xy0,则有 工工 XY (xlv)=lim P(X <x y<r<y+a) P{x≤x,y<Ysy+e E-)0+ P{y<Y≤y+8 上页
定义3.7 给定y，对于任意给定的 >0， ，若对任意的实数x，极限 存在，则称此极限为在 条件 下的条件分布函数，记为 ． 设 的联合分布函数为 ，概率密 度函数为 ，若在点 处 连续， Y的边缘概率密度函数为 连续， 且 ，则有 P{y Y y + } 0 lim { } 0 + → + P X x y Y y { } , lim 0 + + = → + P y Y y P X x y Y y Y = y F ( x y ) X Y (X , Y) F(x, y) f (x, y) (x, y) f (x, y) f (y) Y f Y (y) 0 F ( x y ) X Y lim { } 0 = + → + P X x y Y y { } , lim 0 + + = → + P y Y y P X x y Y y
F(x,y+8-F(x =lim F(x,y+e-F(x, y)nt 690+ Fr(+8)-F()Frc Y( +e)-Fl E→>0+ OF(x, y) f(x, y)dx (y) f1(y) 亦即Fm1(xy)= dx fr o) (3-22) 这样,若记xp(x为在Y=y的条件下X的 王条件概率密度函数,则由上式知AD (323)类似地我们可以定义~0 frx( x) x. y fr(x) 上页
亦即 （3—22） 这样，若记 为在 的条件下X的 条件概率密度函数，则由上式知 （3—23）类似地, 我们可以定义 和 ( ) ( ) F (y ) F (y) F x y F x y Y + − Y + − = → + , , lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − = → + → + F y F y F x y F x y Y 0 0 lim , , lim ( ) F (y) y F x y Y = , ( ) ( , )d f y f x y x Y x − = F ( x y ) X Y − = x Y x f y f x y d ( ) ( , ) f ( x y ) X Y Y = y ( ) f (y) f x y f x y Y X Y , ( ) = F ( y x ) Y X ( ) ( , ) ( ) f x f x y f y x X Y X =
-、立性 由§15知,若P(AB)=P(4)P(B),则称A与 王B是相互独立的.类似可引出随机变量的独 立性概念 定义3.8设(X,Y)是二维随机变量,若对任 意实数x和y,有 P{X≤xY≤y}=P{X≤x}·P{Y≤y}, 即 F(x,y)=F(x)F(y)(324) 王页下
二、独立性 由§1.5知，若 ，则称A与 B是相互独立的．类似可引出随机变量的独 立性概念． 定义3.8 设 是二维随机变量，若对任 意实数x和y, 有 ， 即 （3—24） P( AB) = P(A) P(B) (X , Y) P{X x, Y y} = P{X x} P{Y y} F(x, y) F (x) F (y) X Y =
王则称X与Y是相互独立的 随机变量的独立性是概率论中的一个 王重要概念,在大多数情形下,概率论和数 理统计是以独立随机变量作为其主要研究 对象的.对于离散型和连续型随机变量, 我们分别有下列的定理 本定理31设(x为二维离散型随机变量,其 c联合分布律为Px=x,y=y}=11=12 则Y与x相互独立的充要条件是对于任意的 (i, yi), ,有 T P(X=x, Y=y)=P(X=x, j P(Y=y, )(3-25) 生即有n=D、D,=12…成立 上页
则称X与Y是相互独立的． 随机变量的独立性是概率论中的一个 重要概念，在大多数情形下，概率论和数 理统计是以独立随机变量作为其主要研究 对象的．对于离散型和连续型随机变量， 我们分别有下列的定理． 定理3.1 设 为二维离散型随机变量，其 联合分布律为 则Y与X相互独立的充要条件是对于任意的 , 有 （3—25） 即有 , 成立． (X , Y) P{X = xi , Y = y j } = pi j i, j = 1, 2, (xi , y j ), i, j = 1, 2, { , } { } { } i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y pi j pi p j = i, j = 1, 2,
上定理32设(XY)是二维连续型随机变量, 其联合概率密度函数为/(xy),则ⅹ与Y相 互独立的充要条件是对平面上任意 几乎处处有 f(x,y)=fx(x)·f(y)(3-26) 庄(这里的“几乎处处”可理解为平面上使 (3=20)不成立的点(x全体只能形 定理3.3若(2-0:,则x与Y相互独 中立的充要条件是P=0 更一般地,二维随机变量的有关概念 也可以推广到n维随机变量 上页
定理3.2 设 是二维连续型随机变量， 其联合概率密度函数为 ，则X与Y相 互独立的充要条件是对平面上任意点 , 几乎处处有 * （3—26） （* 这里的“几乎处处”可理解为平面上使 （3－26）不成立的点 的全体只能形 成面积为零的区域．）（证明从略） 定理3.3 若 ， 则X与Y相互独 立的充要条件是 =0． 更一般地，二维随机变量的有关概念 也可以推广到n维随机变量 (X,Y) f (x, y) (x, y) f (x, y) f (x) f (y) X Y = (x, y) ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 1 2 1 X Y N
牛以推广到维随机变量的情形,比如,维 随机变量(X,X2…X)的分布函数定义为 F(x,x2,…,x)=P{x1≤x,X2≤x,…,Mn≤x}, 其中xx2,x为任意实数 若n维随机变量(,X2…X)的分布函数 “尼知,则的 xn)k(≤k<n) 维边缘分布函数随之而定,如(X n 关于X1、关于(X12X2)的边缘分布函数就 分别为(x)=(x1+,…+∞) X1,X2 (x,x2)=F(x1,x2 22 上页
以推广到n维随机变量的情形．比如，n维 随机变量 的分布函数定义为 ， 其中 为任意实数． 若n维随机变量 的分布函数 已知，则的 k（ ） 维边缘分布函数随之而定，如 关于 、关于 的边缘分布函数就 分别为 ( ) X X Xn , , , 1 2 ( , , , ) , , , , 1 2 n 1 1 2 2 n n F x x x = P X x X x X x n x , x , , x 1 2 ( ) n F x , x , , x 1 2 ( ) X X Xn , , , 1 2 ( ) n X , X , , X 1 2 1 k n ( ) X X Xn , , , 1 2 X1 ( , ,) X1 X2 ( ) = ( ,+ , ,+ ) FX1 x1 F x1 ( , ) = ( , , + , , + ) , 1 2 1 2 FX1 X2 x x F x x
若对任意的实数x,x,……xn有 F(x1,x2…,x)=F(x)Fx(x2)…F(x,) 王则称X,x2…X。是相互独立的 王进一步,若对任意的实数”“有 "P{x,x2,xm,,y2,…,=F1x, 9 其中F、FF依次为单、x=x y)的分布函数,则称随机变量x,X2…、X 上和(x,2,…)是相互独立的 上页
若对任意的实数 有 ， 则称 是相互独立的． 进一步，若对任意的实数 有 ， 其中F、 、 依次为 、 、 的分布函数，则称随机变量 和 是相互独立的． n x , x , , x 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n X X X n F x x x F x F x F x n 1 2 1 2 1 2 , , , = X X Xn , , , 1 2 m n x , x , , x , y , y , , y 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) m n X m Y n F x , x , , x , y , y , , y F x , x , , x F y , y , , y 1 2 1 2 = 1 2 1 2 FX FY ( ) m n X , X , , X , Y , Y , , Y 1 2 1 2 ( ) X X X m , , , 1 2 ( ) Y Y Yn , , , 1 2 ( ) X X X m , , , 1 2 ( ) Y Y Yn , , , 1 2