黔南民族师范学院：《线性代数》第八章 二次型

第八章二次型 在这一章里,我们将利用矩阵 来讨论元二次多项式。二次齐次多 项式也叫做二次型。二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着应 用

第八章 二次型 在这一章里，我们将利用矩阵 来讨论元二次多项式。二次齐次多 项式也叫做二次型。二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着应 用

81二次型和对称矩阵(4学时) 、教学目标: 了解二次型和二次型矩阵的概念,二次型 的矩阵表示矩阵合同的概念和性质,会用合 同变换化二次型为一个只含平方顺的二次型 重点 掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同 的关系,会用合同变换和配方法配方化二次 型为一个只含平方项的二次型的方法 难点 二次型的秩与二次型的等价,合同的关系 四、教学过程:

8.1二次型和对称矩阵(4学时) 一、教学目标： 了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型 的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合 同变换化二次型为一个只含平方项的二次型 二、重点： 掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同 的关系，会用合同变换和配方法配方化二次 型为一个只含平方项的二次型的方法. 三、难点： 二次型的秩与二次型的等价，合同的关系 四、教学过程：

定义1设F是一个数域,F上n元二次齐次多项式 q(x,x2…,x1)=a1x2+a2x2+…+amx2+2a12x12+2a1x3十…+2an1x2x 叫做F上一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。 二次型(1)定义了一个函数:q:F">(函数思想) 所以n元二次型也称为n个变量的二次型 在(1)中令an=an(1/≤m因为xx=x 所以(1)式可以写成以下的形式

定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 2 n nn n n n n n q x x x a x a x a x a x x a x x a x x （ ， ， ， ）= + + + + + + + − − 叫做F上一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。 二次型（1）定义了一个函数: : n q F F → (函数思想) 所以n元二次型也称为n个变量的二次型。 在（1）中令 ij ji a a = (1 , ).   i j n 因为 i j j i x x x x = 所以(1)式可以写成以下的形式:

(2)q( 12 ∑ aaxx,a= a 令A=(an)是(2)式右端的系数贩构成的矩阵,称为 二次型的矩阵。因为an=an, 所以A是F上一个n阶对称矩阵,利用矩阵的乘法 (2)式可以写成 (3)qx,x…,x)=(x,x”…x)A

(2) 1 2 ( , , , ) n q x x x = = n i a 1 , 1 = n j ij i j a x x ij ji a a = 令 ( ) A a = ij 是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为 二次型的矩阵。因为 , ij ji a a = 所以A是F上一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法, （2）式可以写成 （3） 1 2 1 2 1 2 n n n x x q x x x x x x x       =       （ ， ， ， ）（ ， ， ， ）A

二次型(3)的秩就是A的秩;如果对二次型(3)的变量 施行如下的一个变换 (4) ∑ 1,2,…,n(1≤ 那么就得到一个关于P∈F和二次型4(y2,…,yn) y,y…m2(4)式称为变量和线性变换令P=() 是(4)的系数构成的矩阵,则(4)式可以写成 (5) XI y y2 yn

二次型（3）的秩就是A的秩;如果对二次型（3）的变量 施行如下的一个变换: （4） 1 1 2 n i ij j j x p y i n − = =  ， ，， ， (1 , ),   i j n 那么就得到一个关于 ij p F  和二次型 ' 1 2 ( ) n q y y y ， ， ， 1 2 n y y y ， ， ， (4)式称为变量和线性变换,令 P p = ( ij) 是(4)的系数构成的矩阵,则(4)式可以写成 (5) 1 1 2 2 n n x y x y P x y             =            

将(5代入(3)就得到 (6)q(,y2…,y)=(,y2…y 矩阵P称为线性变换(4)的矩阵。如果P是非奇异的 就称(4)是一个非奇异线性变换。 A对称矩阵→(PAP= PAP=PAP令>PAP 也是对称矩阵

将(5)代入(3)就得到 (6) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 n n n y y q y y y y y y PAP y        =       ， ， ， ， ， ， 矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的， 就称（4）是一个非奇异线性变换。 A对称矩阵 （ ） =P A P=P AP P AP      P AP  也是对称矩阵

定理811设∑∑4是数域F上一个以A为矩阵的n i=1j=1 元二次型对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得 到的二次型的矩阵是PAP 推论812一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之 下保持不变

定理8.1.1 设 = n i 1 = n j ij i j a x x 1 是数域F上一个以A为矩阵的n 元二次型,对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得 到的二次型的矩阵是 ' P AP. 推论8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之 下保持不变

研究性问题1:为什么要取二次型的矩阵是对称矩 阵(否则导致推论912不成立) 例:二次型q(x,x2)=2x1x2的矩阵啥是 01 02 若取A2 10 00 作为该二次型的矩阵,那么经过变量的非奇异线性变换 x1=y1-y2,X2=y1+y2 就得到二次型2y2-2y2.它的矩陈是/20 0-2 秩为2,而A2的秩为1

研究性问题1： 为什么要取二次型的矩阵是对称矩 阵（否则导致推论9.1.2不成立） 例： 二次型 1 2 2 1 2 q(x , x ) = x x 的矩阵是: 1 0 1 1 0 A   =     若取         = 0 0 0 2 A2 作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换 1 1 2 2 1 2 x = y − y , x = y + y 就得到二次型 2 2 1 2 2 2 . y y − 它的矩阵是         0 − 2 2 0 秩为2，而 A2 的秩为1

定义2设A.B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个 非奇异矩阵p,使得PAP=BA与B合同。 矩阵的合同关系具有以下性质:(等价关系) 1.自反性:LAⅠ=A 2.对称性:由PAP=B=XP)BPN(QBP1=A 3.传递性:由PAP=B和QBQ=C矩阵可 →(PQA(PQ= Q APQ=QBQ=

定义2 设 是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个 非奇异矩阵p，使得 A与B合同。 矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）: 1．自反性： 2．对称性：由 3．传递性：由 和 矩阵可得 A B, P AP = B ' IAI = A P AP = B '  P AP = B ' Q BQ = C '  PQ A PQ = Q P APQ = Q BQ = C ' ' ' ' ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) P BP P BP A − − − −   = =

研究性问题2: 合同的矩阵→→有相同的秩,反之如何?与一个对称 矩阵合同的矩阵仍是对称的?教树中。矩阵的等价关系 有那些? 定义F上两个二次型叫做等价的,如果可以通过变量 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个 定理91.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同 等价的二次型具有相同的秩

研究性问题2： 合同的矩阵  等价的二次型具有相同的秩。 有相同的秩，反之如何？与一个对称 矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系 有那些？ 定义 F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。 定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同