§3.4二维随机变量函数的分布 阅的提 。三随机戴量画数的 页页
834二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布, 同样,我们可以讨论二维随机变量函数的分布 、问题的提法 设(x,x2…X是n维随机变量,其联合分布已知 中,=8,是D元实连续函数,则一,x 2,…,Xn) 的分布称为(X12X2,…X)函数的分布 需要注意的是,n维随机变量函数形成的随 午机变量仍然是二维随机变量,这里我们主要讨论 关键是掌握其基本思想方法 上页
§3.4 二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布， 同样，我们可以讨论二维随机变量函数的分布． 一、问题的提法 设 是n维随机变量，其联合分布已知 ， 是n元实连续函数，则 的分布称为 函数的分布． 需要注意的是，n维随机变量函数形成的随 机变量仍然是一维随机变量，这里我们主要讨论 二维随机变量函数的分布问题，解决这类问题的 关键是掌握其基本思想方法． ( ) X X Xn , , , 1 2 ( ) n z g x , x , , x = 1 1 ( , , , ) Z = g X1 X2 Xn ( ) X X Xn , , , 1 2
主二、二维随机变量函数的分布 王1.离散型随机变量函数的分布 庄若x与Y相互独立,、4)P,则 Z=X+Y~P(A1+22) 庄这种性质称为可加性,因此泊松分布具有 可加性.类似地,二项分布也具有可加性 若xBmy-8n)且与y相互独 上立,则 X+YB(m+n, p) 上页
二、二维随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量函数的分布 若X与Y相互独立，且 , ，则 ． 这种性质称为可加性，因此泊松分布具有 可加性．类似地，二项分布也具有可加性. 若 相互独 立，则 ． ~ ( ) 1 X P ~ ( ) 2 Y P ~ ( ) Z = X +Y P 1 + 2 X ~ B(m, p), Y ~ B(n, p)， 且X与Y X +Y ~ B(m+ n, p)
2连续型随机变量函数的分布 设f(xy)为联合概率密度函数,当=8(xy) 是连续函数时,则=8(xy)的概率密度函数() 可如下获取: 平第一步:求出z=8(x)的分布函数,对任意∈R SF(0=P(Z<=)=P(8(X, Y)s:]=P(X, r)ED) f(x,y)dx dy Ar第二步:根据上式,利用分布函数与概率密 度的关系,或对F2(z)求导,即可得到 f2(z)=F2(z) 上述做法就是求二维随机变量函数分 王布的一般方法,应充分理解和熟练掌握 王页下
2.连续型随机变量函数的分布 设 为联合概率密度函数，当 是连续函数时，则 的概率密度函数 可如下获取： 第一步：求出 . 对任意 ， 第二步：根据上式，利用分布函数与概率密 度的关系，或对 求导，即可得到 ． 上述做法就是求二维随机变量函数分 布的一般方法，应充分理解和熟练掌握． f (x, y) z = g(x, y) z = g(x, y) f (z) Z Z = g(X,Y)的分布函数 z R ( ) Z D z F (z) = P{Z z } = P{ g ( X, Y ) z } = P X, Y ( ) ( ) f x y x y D g x y z z , d d : , = F (z) Z f Z (z) = F（Z z）
下面讨论几个具体的随机变量函数的 分布:设是二维连续型随机变量,是其联 上合概率密度函数图6Dz (1)和的分布 求z=X+Y的概率密度函数.对于任 王意的实数乙,根据定义,由(3-1)有 工工工 F2()=P≤}=P(+Ys+ xty=2 ∫(x,y0xdy y≤z X +∞ f(x, ydx dy 图3.6
下面讨论几个具体的随机变量函数的 分布：设是二维连续型随机变量，是其联 合概率密度函数. 图3.6Dz （1）和的分布 求 的概率密度函数．对于任 意的实数Z，根据定义，由（3－11）有 Z = X + Y F (z) P{Z z} P{X Y z} Z = = + ( ) + = D x y z Z f x y x y : , d d f (x y) x y z y , d d = − − + − y x 图3.6 Dz x + y = z o
对固定的z和y,先作变换x=-y F2(=) Crfu=y ydy laue 二由连续型随机变量概率密度函数的定义可得 2(=)=(=-y,y)d(3-27) 平同理 2()=」f(x,2-x)dx(328) 牛特别当与相互独立时,(xy=/(于是 上页
对固定的z和y，先作变换 由连续型随机变量概率密度函数的定义可得 （3—27） 同理 （3—28） 特别当与相互独立时， ，于是 x = u − y ( ) ( ) − − − − = − = − z z Z f u y y y u F z f u y y u y , d d ( ) , d d f z f (z y y) y Z ( ) , d + − = − f z f (x z x) x Z ( ) , d + − = − f (x, y) f (x) f (y) X Y =
()=(-y)(y)(329) f(2)=(x)(=-x)d(3-30) 平定理3.5若X与Y相互独立,且x-Mm),M 王,则x+Y-N(A+2+02)·(331) 更进一步,还有 推论1若x,x,…X相互独立且xMm,) ·9 n 则 ∑xN∑2o)(33) 牛由于正卷随机变量的线性函数是正态随机变 量,因而我们还有 上页
（3—29） （3－30） 定理3.5 若X与Y相互独立，且 ， ，则 ．（3—31） 更进一步，还有 推论1 若 , , …, 相互独立且 ，i =1, 2, …, n，则 （3—32） 由于正态随机变量的线性函数是正态随机变 量，因而我们还有 f z f (z y) f (y) y Z ( ) = X − Y d + − f z f x f z x x Z X Y ( ) d ( ) ( ) + − = − ~ ( , ) 2 X N 1 1 ~ ( , ) 2 Y N 2 2 ~ ( , ) 2 2 2 X +Y N 1 + 2 1 + X1 X2 X n ~ ( , ) 2 Xi N i i = = = n i n i n i Xi N i i 1 1 1 2 ~ ( , )
不推论2相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然是正态随机变量 王(2)商的分布 求z=(Y≠0)的概率密度函数 对于任意的实数z,根据定义28,由(3 王)有 F2(=)=P{Z≤2 工工工 PIs=)=r(,ykdxdy =∫(,yddy+∫(x,yd
推论2 相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然是正态随机变量． （2） 商的分布 求 （Y≠0）的概率密度函数． 对于任意的实数z，根据定义2.8，由（3－ 11）有 Y X Z = F (z) P{Z z} Z = ( ) = = z y x Dz z f x y x y Y X P : { } , d d ( ) ( ) = + 0 : 0 : , d d , d d y x yz D y x yz z Dz f x y x y f x y x y f (x y) x y f (x y) x y y z y z , d d , d d 0 0 − + + − + =
王对固定的和,先作变换x=,yx 平则有, >0 生-/, 图3.7 王,所以 生1()=∫((333 上若x与Y相互独立,则 f(2)=」yf()(m)(3-34) 上页
对固定的y和z，先作变换 ， 则有， ， 所以 （3—33） 若X与Y相互独立，则 （3－34） 图3.7 o y x = yz x Z 0 x = uy F z y f (uy y) u y y f (uy y) u y z z Z ( ) , d d , d d 0 0 − + − − + = ( ) + − − = y f uy, y du dy ｚ ( ) − + − = z y f uy，y dy du f z y f (zy y) y Z ( ) , d + − = f z y f zy f y y Z ( ) = [| | X ( ) Y ( )]d + −
王类似可以求得z=X的概率密度函数为 上/,()=-”(请读者自己证明) 中(3).随机变量最大值和最小值的分布 王设(x的联合分布函数为(xy,与的 边缘分布函数分别为()50若X与Y相 互独立,求(及D的分布函数 c由于M =maxX,)≤z 等价于X≤z且Y≤z,因此, 王对于任意的实数x F(2)=PMs:=P{s:s:=Ps:P:=F()F() ,即Fm()=F(=)F()(3-35) 上页
类似可以求得 的概率密度函数为 . （请读者自己证明）． （3）. 随机变量最大值和最小值的分布 设 的联合分布函数为 ，与的 边缘分布函数分别为 、 .若X与Y相 互独立，求 及 的分布函数． 由于 等价于 且 ，因此, 对于任意的实数z， , 即 （3—35） Z = XYy y y z f y f z X Y ( , )d 1 ( ) = + − (X,Y) F(x, y) F (x) X F (y) Y M = max( X ,Y) N = min( X,Y) M = max( X ,Y) z X z Y z ( ) { } { , } { } { } max F z = P M z = P X z Y z = P X z P Y z F (z) F (z) X Y = Fmax (z) = F (z) F (z) X Y