§1.2随机事件的概率 随机件的会 >三,率的因化 >三。率的重要质
§12随机事件的概率 就随机现象而言,仅仅知道可能发生哪些事件是不够 的,更重要的是对事件发生的可能性做出定量的描述这 就涉及到一个概念事件的概率( Probability).直观地 午说,一个事件的概率(记为)就是能刻画玄事牛发生的可 枚硬币的试验中“出现数字面”的概率为,而在掷一颗骰 子的试验中“出现“1点”的概率为但是,对一般的事 件而言,单凭直觉来确定其发生的概率显然是行不通的, 工工 必须从客观的本质特征上寻求概率的界定方法.那么,概 率有客观性吗?数学上如何定义呢?下面,我们将逐步明 确这些问题 上页
§1.2 随机事件的概率 就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些事件是不够 的，更重要的是对事件发生的可能性做出定量的描述.这 就涉及到一个概念——事件的概率(Probability). 直观地 说，一个事件的概率（记为）就是能刻画该事件发生的可 能性大小的一个数值.因此，凭直觉我们可以说，在掷一 枚硬币的试验中“出现数字面”的概率为，而在掷一颗骰 子的试验中“出现‘1’点”的概率为. 但是，对一般的事 件而言，单凭直觉来确定其发生的概率显然是行不通的， 必须从客观的本质特征上寻求概率的界定方法. 那么，概 率有客观性吗？数学上如何定义呢？下面，我们将逐步明 确这些问题
王一、概率的统计定义 对一个事件A来说,无论它发生的可能性是大 还是小,在一次试验或观察中都可能发生或者不 发生因此,根据一次试验或观察的结果并不能确 定任何一个事件发生的概率(事件和Ω除外) 不过,在大量的重复试验或观察中,事件发生的 可能性却可呈现出一定的统计规律,并且随着试 验或观察次数的增加,这种规律会表现得愈加明 显 显然,在重复试验或观察中,要反映一个事 件发生的可能性大小,最直观的一个量就是频率 Frequency) ),其定义是:若在n次试验中,事件A 发生了次n4,则A在n次试验中发生的频率 上页
一、概率的统计定义 对一个事件A来说，无论它发生的可能性是大 还是小，在一次试验或观察中都可能发生或者不 发生.因此，根据一次试验或观察的结果并不能确 定任何一个事件发生的概率（事件和 除外）. 不过，在大量的重复试验或观察中，事件发生的 可能性却可呈现出一定的统计规律，并且随着试 验或观察次数的增加，这种规律会表现得愈加明 显. 显然，在重复试验或观察中，要反映一个事 件发生的可能性大小，最直观的一个量就是频率 (Frequency)，其定义是：若在n次试验中，事件A 发生了次 ，则A在n次试验中发生的频率 A n
F, (A= 我们知道,频率F(4)越大(或小),事件A发生 的可能性就越大(或小),即,A的概率就越大 (或小).可见,频率是概率的一个很好反映但 是,频率却不能因此作为概率,因为概率应当是 个确定的量,不应象频率那样随重复试验和重 工工工 复次数的变化而变化不过,即使这样,频率还是 可以作为概率的一个估计,而且是一个有客观依 落的估计,这个依据就是所谓的频率稳定性:当 A发生 F 王会在某个确定的常数附近摆动,并渐趋稳定这 王页下
我们知道，频率 越大（或小），事件A发生 的可能性就越大（或小），即，A的概率就越大 （或小）. 可见，频率是概率的一个很好反映.但 是，频率却不能因此作为概率，因为概率应当是 一个确定的量，不应象频率那样随重复试验和重 复次数的变化而变化. 不过，即使这样，频率还是 可以作为概率的一个估计，而且是一个有客观依 据的估计，这个依据就是所谓的频率稳定性：当 试验或观察次数n较大时，事件A发生的频率 会在某个确定的常数p附近摆动，并渐趋稳定.这 n n F A A n ( ) = F (A) n F (A) n
王是人们通过长期研究和观察总结得出的结果,在 一定程度上揭示了事件发生的统计规律性 根据频率稳定性,我们可以对概率给出一个 c客观描述,这就是概率的统计定义:一个事件 概率P(A)就是该事件的频率稳定值p,即,PA=p. 应当看到概率的统计定义在一定程度上说明 了概率具有客观性,并不是人们主观想象的产物. 但这个定义仍有其局限性,因为它并没有提供 个确定频率稳定值的方法而且人们无法将一个试 验无限次地重复下去,从而也就不能严格确定出 任何一个事件的概率,也就是说,还是没有解决 c如何定义概率的间题不过,通过用频率估计概 率、用频率稳定值描述概率已经使我们对概率 上页
是人们通过长期研究和观察总结得出的结果，在 一定程度上揭示了事件发生的统计规律性. 根据频率稳定性，我们可以对概率给出一个 客观描述，这就是概率的统计定义：一个事件A的 概率 就是该事件的频率稳定值p，即， . 应当看到概率的统计定义在一定程度上说明 了概率具有客观性，并不是人们主观想象的产物. 但这个定义仍有其局限性，因为它并没有提供一 个确定频率稳定值的方法而且人们无法将一个试 验无限次地重复下去，从而也就不能严格确定出 任何一个事件的概率，也就是说，还是没有解决 如何定义概率的问题. 不过，通过用频率估计概 率、用频率稳定值描述概率已经使我们对概率 P(A) P(A) = p
王本质的认识更进了一步,为引出概率的公理化定 义 奠定了基 础 王容易验证,频率具有以下三个基本性质 F(1)非负性:F(A>0; (2)规范性:E(=1 (3)可加性:当A和B互斥时,有 Fn(A+ B)=F,(A+ F(B) 考虑到概率是频率的稳定值,自然可设想概率也 应具有类似的基本特征.二十世纪三十年代,著名 王数学家柯尔莫哥洛夫( Kolmogorov)找到了概率 中本质的特征并首次提出了概率的公理化定义,使 概率论作为一门严谨的数学分支从此得以迅速发 展.这是概率论发展史上的一个里程碑 上页
本质的认识更进了一步，为引出概率的公理化定 义奠定了基础 容易验证，频率具有以下三个基本性质. （1）非负性： ≥0； （2）规范性： =1； （3）可加性： 当A和B互斥时，有 = + . 考虑到概率是频率的稳定值，自然可设想概率也 应具有类似的基本特征. 二十世纪三十年代，著名 数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）找到了概率 本质的特征并首次提出了概率的公理化定义，使 概率论作为一门严谨的数学分支从此得以迅速发 展. 这是概率论发展史上的一个里程碑. F (A) n () Fn F (A B) n + F (A) n F (B) n
二、概率的公理化定义 定义设9是试验E的样本空间,B是Q上的事件 组成的集合,对任一事件∈B,如果定义在B上的 实值函数A)满足下面三个公理 平公理(I)非负性:P(A)≥0, (Ⅱ)规范性:P(_2)=1, (Ⅲ)完全可加性:当事件组A,A2…,互斥时, 总有 P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…, (12) T则称为事件A的概率. 上页
二、概率的公理化定义 定义1.1 设 是试验E的样本空间, B是 上的事件 组成的集合, 对任一事件 B,如果定义在B上的 实值函数 满足下面三个公理 公理（Ⅰ）非负性： , （Ⅱ）规范性： , （Ⅲ）完全可加性： 当事件组 互斥时， 总有 , （1-2） 则称为事件A的概率. A P(A) P(A) 0 P() = 1 , , , A1 A2 P(A1 + A2 +) = P(A1 ) + P(A2 ) +
王特别要注意,公理(Ⅲ)的(12)式要求对无限 多个互斥事件也成立,这不同于通常的频率可加 性.另外,虽然这个定义从形式上没有解决在特定 场合下如何确定事件概率的问题,但它却从本质 上明确了概率所必须满足的一些一般特征.以下, 根据定义1.1,进一步导出概率的一些重要性质 上页
特别要注意，公理（Ⅲ）的（1-2）式要求对无限 多个互斥事件也成立，这不同于通常的频率可加 性. 另外，虽然这个定义从形式上没有解决在特定 场合下如何确定事件概率的问题，但它却从本质 上明确了概率所必须满足的一些一般特征. 以下， 根据定义1.1，进一步导出概率的一些重要性质
王三、概率的重要性质 性质1 P(∞)=0. (1-3) 性质2若事件组A1,A2,…An互斥,则 P(4+A2+…An)=P(A1)+…+P(n).(1-4) 性质3 P(A)=1-P(A) (1-5) 上页
三、概率的重要性质 性质1 . （1-3） 性质2 若事件组 互斥，则 . （1-4） 性质3 . （1-5） P() = 0 A A An , , , 1 2 ( ) ( ) ( ) P A1 + A2 +An = P A1 ++ P An P(A) = 1− P(A)
性质4(减法公式) P(B-A)=P(B)-P(AB)(1-6) 不特别地,当A三B时,P(B4)=P(B)-P(A,P(4)≤PO 性质5(加法公式) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).(1-7) 下从而,P(AUB≤P(4)+P(B 上页
性质4（减法公式） . （1-6） 特别地，当 时， , . 性质5（加法公式） .（1-7） 从而， . P(B − A) = P(B) − P(AB) A B P(B − A) = P(B) − P(A) P(A) P(B) P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) P(A B) P(A) + P(B)