冷第六章线性变换
❖ 第六章 线性变换
教学要求 1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现 2、把握LV)与M(F)的一一对应关系和结论的互相转 换 3、掌握线性变换与矩阵的对应关系,会求线性变换 的矩阵。 4、掌握坐标变换公式及应用。 5、灵活应用特征多项式及有关性质,会求特征根, 特征向量 6、掌握值域与核的定义、求法,线性变换与它的 象、核的关系 7、掌握可以对角化条件及具体方法
教学要求 1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。 2、把握L(V)与Mn (F)的一一对应关系和结论的互相转 换。 3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。 4、掌握坐标变换公式及应用。 5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根， 特征向量。 6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。 7、掌握可以对角化条件及具体方法。
重点难点 教学重点:线性变换及其矩阵,值域与核的性质,特 征根、征向量,可以对角化矩阵 教学难点:值域与核的性质及其应用,特征根、特征 向量的求法及其应用
重点 难点 教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。 教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用
§6.1线性映射 定义61.1沏、W是数域,设F上的两个向量空间,O是 J到W的一个映射。如果下列条件被满足,则称 σ是到W的一个线性映射: (1)V5,∈V,(5+m)=()+() Va∈F,V5∈,O(a5)=a0( 说萌:①定义中(1)(2)称为映射的线性性 质。②定义中(1)(2)成立 台Va,b∈F,V5,n∈V,有a(a5+bm)=a()+bo(7) (加以说明)
说明：①定义中（1）（2）称为映射的线性性 质。②定义中（1）（2）成立 （加以说明） a,b F,, V,有（a + b）= a ( ) + b (); 定义6.1.1 是 V 到 W 的一个映射 。如果下列条件被满足，则称 设 V W、 是数域，设 F 上的两个向量空间， 是 V 到 W 的一个线性映射： (1) + = + , , ( ) ( ) ( ) V (2) = a F V a a , , ( ) ( ) §6.1线性映射
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量,即: (O)=0 性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变,即 O(a141+…+a non )=a0(51)+…+an0( n 定义62.1设是V到W的一个线性映射,如果VcV则: GE}cW是W的一个子集,叫V在σ之下 的象记作(V) 另一方面,设WsW则{∈|o(5)∈W}是的一个子集, 叫W在σ之下的原象
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即 ： 性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即： (0) 0 = ( ) ( ) ( ) 1 1 n n 1 1 n n a ++ a = a ++ a 叫 在 之下的原象。 另一方面，设 ，则 是 的一个子集， ‘ ‘ ‘ W W W { V | ( ) W } V 是 到 的一个线性映射，如果 ' V V V 则： ' V 定义6.2.1 设 W ' { ( ) | } V W 是 W 的一个子集，叫 在 之下 的象记作 ' ( ) V
定理6.1.1 设V和W是户上的向量空间,是V到W的一个线性映射 则V的任意子空间在σ之下的象是w的一个子空间而W 的任一子空间在σ之下的原象是的一个子空间
定理6.1.1 空间. 则V的任意子空间在 而 的任一子空间在 之下的原象是 的一个子 之下的象是W 的一个子空间, 设V和W是F上的向量空间， V W 是V到W的一个线性映射.
证明 设Ⅴ是V的一个子空 现在证明:a(V')是W的子空间 V5,m′∈o(),则5,m∈V,30(5)=5,0()=n, 是线性变换,Va,b∈F,有 a95+b=a0(5)+b0(m)=o(a5+bm)e(V) (V)是W的子空间
证明 : 现在证明： (V) 是W的子 空间 , , ( ) , ( ) , ( ), , V 则$ V ' = = 设V 是V的一个子空间, ) ∵ 是线性变换， a, b F，有 : a b a ( ) b ( ) (a b ) (V ) + = + = + (V )是W的子空间. \
说明: ①线悝映射把子空间映成子空间,如果象是子空间, 则原象也是子空间 ②特别在之下的象是的一个子空间一个的象, 记们m()即mG)= 另一方面的零子空间0在之下的原象是V的个子空间 它叫做的核。记核er()=5ew()=0 注意m()∈W,ker(o)V
注意:Im() W, ker() V. 说明: ①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。 记作Im( )..即Im( ) ( )。 ② ¢特 别 在 之下的象 是的一个子空间一个 的象， V V (V) = 做 的核。记核ker( ) = { V | ( ) 0}。 另一方面W ，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一 = 它叫
定理6.12: 设σ是V→>W的一个线性映射,则: (1)σ是满射Im(a)=W; (2)O是单射令>ker(σ)={0}
定理6.1.2： (1 ) Im( ) ; 是满射 =W (2) 是单射 ker( ) ={0}. 设 是 V →W 的一个线性映射，则：
证明: (1)若σ是满满射。 V"∈W,35∈V,3(5)=5∈Im(G) 又Im(o)W, m()=W 反之:若Im=W,即V′∈W,有,a()=.5∈V o是满射
证明： . :若I = ， 即 ， 有 ， ( ) . 是满射 反之 \ m W W = V W W W V ∴Im( ) = 又 Im( ) , , , ( ) = Im( ) （1）若 是满满射。 $ '
