§2,2外测度与测度的延拓 教学目的本节讨论如何将环R上的测度延拓到生成的σ-代数上 去这是定义测度常用的方法下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue测 本节要点本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难.应注意讲 青主要思路,定理的证明应注意交代主要思想 在§2.1中我们给出了几个简单的测度的例子.但一般说来,要在一个比较复杂的集 类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非易事.设界是一个环,O()是由 生成的σ-代数.一般情况下,σ()要比大得多.显然,在上定义一个测度要比直 接在σ()定义容易.因此,如果我们要在σ()定义一个满足某些特定条件的测度,我 们可以先在上定义这个测度,然后再设法延拓到σ()上去.本节将证明,若是定 义在环上的测度,则总可以延拓到一个包含()的σ-代数上去.大体上按照如 下步骤进行:设是定义在环上的测度,用覆盖的方式将4延拓为(X)上的集函数, 得到一个外测度.外测度一般不是可数可加的,因而一般不是一个测度.将这个外测度限 制在一个适当的较小的集类上,外测度在这个集类上是可数可加的,因而得到一个测度 这个集类一般比σ()要大,从而扩大了测度的定义域.这是一种常用的方法.许多重 要的测度可以用这种方法构造出来 本节仍设X是一固定的非空集,刃(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,ACX.若{An}是C中的有限或无穷序列,使得 AcUA,(或Ac∪)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以写成可数 并(只要令A=A4(n>k),则UA,=U4,)因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖 设是环上的测度.对每个A∈X,令 4)=inf∑m(4n):{4}是A的覆盖} 若A无覆盖,则令'(A)=+∞.这样定义的是定义在P(X)上的非负值集函数 称为由导出的外测度
47 2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意讲 清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 在 2.1 中我们给出了几个简单的测度的例子. 但一般说来, 要在一个比较复杂的集 类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非易事. 设R 是一个环, σ (R ) 是由R 生成的σ -代数. 一般情况下, σ (R ) 要比R 大得多. 显然, 在R 上定义一个测度要比直 接在σ (R ) 定义容易. 因此, 如果我们要在σ (R ) 定义一个满足某些特定条件的测度, 我 们可以先在R 上定义这个测度, 然后再设法延拓到σ (R ) 上去. 本节将证明, 若 µ 是定 义在环R 上的测度, 则 µ 总可以延拓到一个包含σ (R ) 的σ -代数上去. 大体上按照如 下步骤进行: 设 µ 是定义在环R 上的测度, 用覆盖的方式将 µ 延拓为P (X ) 上的集函数, 得到一个外测度. 外测度一般不是可数可加的, 因而一般不是一个测度. 将这个外测度限 制在一个适当的较小的集类上, 外测度在这个集类上是可数可加的, 因而得到一个测度. 这个集类一般比σ (R ) 要大 , 从而扩大了测度的定义域. 这是一种常用的方法. 许多重 要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X ) 是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 U k n A An =1 ⊂ (或 U ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数 并(只要令 A A (n k), n = k > 则U U ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. 设 µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集函数. 称 ∗ µ 为由 µ 导出的外测度
定理1设是环上的测度.4为由导出的外测度.则满足 (i).4'(②)=0 (i)单调性:若AcB,则*(A)≤H'(B) (i)次可数可加性:对X中的任意一列集{A}成立 ((A,)≤∑u'(An) 证明由于{}是空集必的一个覆盖,故'(⑦)≤川()=0.因此4'()=0 设AcB,则B的每个界覆盖也是A的覆盖这蕴涵'(A)≤'(B).下面证明p 具有次可数可加性.设{An}是X的一列子集.不妨设'(A)0.由的定义,对每个n≥1,存在An的一个覆盖 {Cnk}k21,使得 ∑ACn)≤A(A,)+5 由于(Cnk,nk≥1是An的一个界覆盖,由(2)得到 (U4)22(Cn)(4)+2)=2(4)+E 由于E>0是任意的,因此得到 (∪4)≤∑'(4) 即具有次可数可加性 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上.但的定义域 太大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ-代数.将限制在这个 a-代数上,凵满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这个a一代数一般要比 的定义域要大,于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环上的测度,是由导出的外测度.又设EcX.若对任意 AcX,均有 (A)='(A∩E)+'(A∩E) (图2-1)则称E是p-可测集.p可测集的全体所成的集类记为 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件).由于外测度p具有次可数可加性, 因此对任意AcX成立 (A)=(A∩E)∪(AnE)≤(AE)+p(A∩E)
48 定理 1 设 µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ U ≤ µ (1) 证明 由于{∅}是空集∅ 的一个R 覆盖, 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个R 覆盖也是 A 的R 覆盖. 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨设 ( ) 0. 由 ∗ µ 的定义, 对每个 n ≥ 1, 存在 An 的一个 R 覆盖 { } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2) 由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是U ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k UAn C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ UAn µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性. 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的定义域 太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓 可测集 这些集构成一个σ − 代数. 将 ∗ µ 限制在这个 σ − 代数上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ − 代数 一般要比 µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对任意 A ⊂ X , 均有 ( ) ( ) ( ). c A = A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) ( 图 2 1)则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R 等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ). c c A = A ∩ E ∪ A ∩ E ≤ A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ
A∩E A∩E 图 所以(3)式等价于 (A)≥4(A∩E)+'(A∩E 因此集E是可测的当且仅当对任意AcX,(4)式成立.又由于当'(A)=+∞时(4) 总是成立的,因此若对任意AcX,当'(4)<+∞时(4)式成立,则E是p可测的 显然,空集必和全空间X是μ'-可测集.又由p的单调性和(4)可以看出若 '(E)=0,则E是μ-可测集 思考题证明集E是可测集当且仅当对任意AcE和BCEC成立 A∪ 引理3设E1,…,En是互不相交的可测集.则对任意AcX,成立 (An(UE)=∑(A∩E) 证明用数学归纳法.当n=1时(5)显然成立.假定(5)对n=k时成立.因为 E1,…,E,是互不相交的.所以 A∩(U EOE,=AoE k+1 A∩(UE k+1 A∩(UE) 于是由Ek+1的-可测性和归纳法假设,我们有 AUE=A∪UE +AmUE|⌒Ek
49 图 2 1 所以(3)式等价于 ( ) ( ) ( ). c A ≥ A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X , (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4) 总是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X , 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集 ∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 思考题 证明:集 E 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意 A ⊂ E 和 C B ⊂ E 成立 (A B) (A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ + µ 引理 3 设 E En , , 1 L 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A ∩ Ei = ∑ A ∩ E = ∗ = ∗ µ U µ (5) 证明 用数学归纳法. 当 n = 1 时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 L 是互不相交的. 所以 ( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1 的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有 ∩ + ∩ + ∩ = ∩ ∩ + + = ∗ + + = ∗ + = ∗ c k k i i k k i i k i i A E E A E A E E 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U µ µ µ A E C A ∩ E A ∩ E
(A∩E1) (2 ∑山(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立■ 定理4设H是环上的测度,是由p导出的外测度,是可测集的全体 所成的集类.则有 (i).”是σ-代数 (i).限制在是”上是一个测度 证明(i)先证明”是一个代数.由于空集和全空间X是'-可测集故非 空.由可测集的定义立即可以看出若E是4-可测的,则E也是可测的,因 此对余运算封闭.往证对有限并的封闭性.设E1,E2∈.令E=E1∪E2,注 意到E=E1∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX,我们有 (A∩E)+'(A∩E) ≤['(AnE1)+(A∩E∩E2)+'(A∩E∩E2) =(A∩E1)+[(A∩E1nE2)+'(∩E)∩E2 =(A∩E1)+4(AE)='(A A∩EC=A∩E1∩E2 AAE1X∩E∩ 图2 (参见图2-2)即E满足卡氏条件(4)式.这表明E=E1∪E2∈”.因此是一个代数 为证是一个-代数,只需再证明R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题
50 ( ). ( ) . 1 1 1 1 ∑ + = ∗ = ∗ + ∗ = ∩ = ∩ + ∩ k i i k i k i A E A E A E µ µ µ U 因此当 n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体 所成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度. 证明 (i).先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非 空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 µ∗ −可测的, 则 c E 也是 ∗ µ -可测的, 因 此 ∗ R 对余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注 意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 A E A E A A E A E E A E E A E A E E A E E A E A E c c c c c c c c ( ) ( ) ( ( ) [ (( ) ) (( ) )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∩ + ∩ = = ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ ≤ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ + ∩ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 图 2 2 (参见图 2 2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题 A E1 E2 C c c A∩ E = A∩ E1 ∩ E2 A ∩ E1 A E1 E2 C ∩ ∩
第20题)设En}R,并且E∩E=(i≠)令E=UE,由于R是代数 故UE,∈R,n21.利用引理223,对任意ACX,我们有 A)=HAQUE, ∩(UE) ≥川AUE|+(A∩E) ∑山(A∩E)+'(A∩E) (6)式对任意n都成立.在(6)中令n→>∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 4)≥∑(AnE)+(A∩E)≥'(A∩E)+'(A∩E°) 上式表明E满足卡氏条件(4)式因此E=∪En∈R这就证明了”是a代数 (i).为证是”上的测度,只需证明在”上是可数可加的.设{En}c界 并且E,∩E,=(≠八)由外测度的次可数可加性,我们有(UE)≤∑(E) 另一方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E)=A'(UE)≤(UE) 上式中令n→>∞,得到 ∑'(E,)≤'(UE 因此 UE,)=∑(E) 即'在”上是可数可加的所以是”上的测度■ 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论(i)和(i)并不依赖于环咒上的测度 ,只用到了定理1中'所满足的性质因此,我们可以定义任何满足定理1中的 (i),(i)和(i)的集函数为外测度然后和定义2一样定义山可测集则定理4的结 论对这样定义的一般的外测度仍成立 测度的延拓由定理4知道”是一个a-代数,限制在”上是一个测度,一个
51 第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 U ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代数, 故 ∈ = U n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X , 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ U U U (6) (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式 因此 = ∈ ∞ = U n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ UEi µ E 另一方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 U U ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 U ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ UEi µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度. 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的 (i),(ii) 和(iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结 论对这样定义的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓 由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个
自然的问题是,在上是否等于?有多大?下面的定理回答了这两个问题 定理5设是环只上的测度,4'是由导出的外测度.是4-可测集的全 体所成的集类.则 (i).'在上的限制等于4,即当A∈R时4'(A)=(A) (i).a()c 证明(1)设A∈,由于{A}是A的一个覆盖,故'(A)≤(A).另一方面 对A的任意一个?覆盖{An},由于A=U(A∩A),我们有 4)=∪(A∩A)s∑(AnA)≤∑(An) 对A的所有覆盖取下确界即得(A)≤'(A).因此'(A)=4(A) (i)先证明cR.设E∈R.又设AcX,并且'(A)0,存在A的一个覆盖{An},使得 (A1n)0的任意性得到 (AAE)+山(A∩E)≤p'(A) 即E满足卡氏条件(4,故E是μ可测集.这表明c.由定理4,是一个-代 数.因此σ()∈ 设和是两个环并且c咒,山1和/2分别是和上的测度.如果对任 意A∈,成立H1(A)=p2(A),则称2是1在2上的延拓
52 自然的问题是, 在R 上 ∗ µ 是否等于 µ ? ∗ R 有多大? 下面的定理回答了这两个问题. 定理 5 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 µ∗ −可测集的全 体所成的集类. 则 (i). ∗ µ 在R 上的限制等于 µ , 即当 A∈ R 时 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). σ (R ) ⊂ ∗ R . 证明 (i) 设 A∈ R, 由于{A}是 A 的一个 R 覆盖, 故 µ (A) ≤ µ(A). ∗ 另一方面, 对 A 的任意一个R 覆盖{ }, An 由于 U ∞ = = ∩ 1 ( ), n A A An 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 n n n n n A A An ∑ A A ∑ A ∞ = ∞ = ∞ = ≤ ∩ ≤ µ = µ U ∩ µ µ 对 A 的所有R 覆盖取下确界即得 (A) (A). ∗ µ ≤ µ 因此 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). 先证明 R ⊂ ∗ R . 设 E∈R. 又设 A ⊂ X , 并且 ( ) 0, 存在 A 的一个R 覆盖{ }, An 使得 ( ) ( ) . 1 µ 0的任意性得到 (A E) (A E ) (A). ∗ c ∗ µ ∩ + µ ∩ ≤ µ 即 E 满足卡氏条件(4), 故 E 是 ∗ µ 可测集. 这表明R ⊂ ∗ R . 由定理 4, ∗ R 是一个σ -代 数. 因此σ (R ) ⊂ ∗ R . 设R1和R2 是两个环并且R1 ⊂ R2 , µ1和 µ 2 分别是R1和R2 上的测度. 如果对任 意 A∈ R1 , 成立 ( ) ( ), µ1 A = µ 2 A 则称 µ 2 是 µ1在R2 上的延拓
设是环上的测度,4是由导出的外测度由定理4,限制在R”上是 个测度,又由定理5,()c”并且在R上4=4.因此”上的测度是p的延 拓.延拓后的测度仍记为.这表明定义在上的测度总可以延拓为一个包含()的 σ-代数上去.一般情况下,延拓测度可能不是唯一的.但我们有如下结果 定理6(延拓测度的唯一性)设是一个环,并且全空间X可表为中一列互不相 交的集的并,H1和2是()上的两个测度并且在上是G有限的.若在上 1=2,则在()上1=42 证明由于全空间X可表为中一列互不相交的集的并,并且在R上是a有限 的,容易证明存在中一列互不相交的集{En},使得 X=UEn并且以(En)<+O,n≥1 见本章习题第11题).对每个n≥1,令 n={A∈a():H(A∩En)=2(A∩En) 若A∈,则A∩En∈,于是由假设条件有 H1(A∩En)=2(A∩E 因此A∈n这表明∈,容易证明是一个λ类.由§13推论12, ()c,即对每个A∈O(R)成立 H1(A∩En)=2(A∩En),n≥1 对n求和,即得1(A)=2(4).因此在()上1=2 结合定理5和定理6知道,若是环上的σ有限测度,则可以唯一地延拓成 为(R)上的测度(事实上,可以延拓成为更大的a-代数即R”上的测度).测度的延拓过 程如图2—3 环上的扩大 外测度·缩小”上的 (X)上的 ()上的 缩小 测度 测度 测度 图2—3 半环上的测度及延拓上面讨论了定义在环上的测度的延拓.但有时验证环上的 个集函数是一个测度也并非易事.下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度 设C是一个半环,=R(C)是由C生成的环,即 ={4=U4:其中A1…,A属于C并且互不相交,k≥1
53 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 由定理 4, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一 个测度. 又由定理 5, σ (R ) ⊂ ∗ R 并且在R 上 µ = µ. ∗ 因此 ∗ R 上的测度 ∗ µ 是 µ 的延 拓. 延拓后的测度仍记为 µ . 这表明定义在R 上的测度总可以延拓为一个包含σ (R ) 的 σ -代数上去. 一般情况下, 延拓测度可能不是唯一的. 但我们有如下结果. 定理 6 (延拓测度的唯一性)设R 是一个环, 并且全空间 X 可表为R 中一列互不相 交的集的并, µ1 和 µ 2 是 σ (R ) 上的两个测度并且在 R 上是 σ 有限的. 若在 R 上 , µ1 = µ 2 则在σ (R ) 上 . µ1 = µ 2 证明 由于全空间 X 可表为R 中一列互不相交的集的并, 并且 µ 在R 上是σ 有限 的, 容易证明存在R 中一列互不相交的集{ } En , 使得 U ∞ = = n 1 X En 并且 (E ) < +∞, n ≥ 1. µ n (见本章习题第 11 题). 对每个n ≥ 1, 令 { ( ) : ( ) ( )}. Fn = A∈σ R µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En 若 A∈ R, 则 A ∩ En ∈ R, 于是由假设条件有 ( ) ( ). µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En 因 此 A∈ . Fn 这表明 R ⊂ . Fn 容易证明 Fn 是一个 λ 类 . 由 1.3 推 论 12, σ (R ) ⊂ . Fn 即对每个 A∈ σ (R ) 成立 ( ) ( ), 1. µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En n ≥ 对 n 求和, 即得 ( ) ( ). µ1 A = µ 2 A 因此在σ (R ) 上 . µ1 = µ 2 结合定理 5 和定理 6 知道, 若 µ 是环R 上的σ 有限测度, 则 µ 可以唯一地延拓成 为σ (R ) 上的测度(事实上, 可以延拓成为更大的σ -代数即 ∗ R 上的测度). 测度的延拓过 程如图 2 3. 图 2 3 半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓. 但有时验证环上的一 个集函数是一个测度也并非易事. 下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度. 设C 是一个半环, R = R (C ) 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A A A A k k k i R U i 其中 L 属于C 并且互不相交 环 上的 R 测度 µ → 扩大 → → P (X )上的 外测度 ∗ µ 缩小 ∗ R 上的 测度 ∗ µ σ (R ) 上的 测度 ∗ µ 缩小
(参见§1.3)称A=UA1为A的一个分解式又设是C上的非负值集函数并且满足 ()=0和有限可加性.按下面的方式将延拓到上对每个A∈,若A的一个 分解式为A=∪4,则令 H(4)=∑(4) 由于对给定的A∈R,A的分解式A=U4不是唯一的.因此需要证明如下的引理 引理7设H是半环C上的非负值集函数并且满足/(⑦)=0和有限可加性.则由(8) 式定义的集函数μ的值不依赖于集的分解式的选取 证明设A∈R,A=UA和A=∪B,是A的两个分解式令 E=A∩B,i=1…,k,j=1…,m 则{E,1≤i≤k,1sj≤m是C中的一组互不相交的集。并且对每个1≤≤k和 ≤j≤m,成立 A,=UE,, B=UE 由于在C上是有限可加的,我们有 ∑m(4)=∑∑以(En)=∑∑(E1)=∑m(B 这表明(A)的值不依赖于A的分解式的选取■ 在§2.1中我们定义了环上的测度.同样,若是半环C上的非负值集函数满足 (⑦)=0和可数可加性,则我们称是C上的测度 定理8设是半环C上的测度.是由C生成的环.则由(8)式定义的集函数是 环R上的测度 证明由引理7,对任意A∈,μ(A)的值不依赖于A的分解式的选取.因此p在
54 (参见 1.3). 称 U k i A Ai =1 = 为 A 的一个分解式. 又设 µ 是C 上的非负值集函数并且满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 按下面的方式将 µ 延拓到R 上. 对每个 A∈ R , 若 A 的一个 分解式为 U k i A Ai =1 = , 则令 ( ) ( ). 1 ∑= = k i µ A µ Ai (8) 由于对给定的 A∈ R , A 的分解式 U k i A Ai =1 = 不是唯一的. 因此需要证明如下的引理. 引理 7 设 µ 是半环C 上的非负值集函数并且满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 则由(8) 式定义的集函数 µ 的值不依赖于集的分解式的选取. 证明 设 A∈ R , U k i A Ai =1 = 和 U m j A Bj =1 = 是 A 的两个分解式. 令 E A B , i 1, , k, j 1, ,m. ij = i ∩ j = L = L 则 {E , 1 i k, 1 j m} ij ≤ ≤ ≤ ≤ 是C 中的一组互不相交的集. 并且对每个 1 ≤ i ≤ k 和 1 ≤ j ≤ m, 成立 U m j Ai Eij 1 , = = U k i Bj Eij 1 . = = 由于 µ 在C 上是有限可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = = = = = m j j m j k i ij k i m j ij k i µ Ai µ E µ E µ B 这表明 µ(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取. 在 2.1 中我们定义了环上的测度. 同样, 若 µ 是半环C 上的非负值集函数满足 µ(∅) = 0 和可数可加性, 则我们称 µ 是C 上的测度. 定理 8 设 µ 是半环C 上的测度. R 是由C 生成的环. 则由(8)式定义的集函数 µ 是 环R 上的测度. 证明 由引理 7, 对任意 A∈ R, µ(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取. 因此 µ 在
上的定义是确定的.为证H是环上的测度,只需证明在上是可数可加的设 An}是中的一列互不相交的集,使得A=UA∈R设A和A,(n≥1的分解式分 别为 A=∪E,A,=UF,n≥1 则{Fn,:1≤j≤kn,n≥1}是C中的一列互不相交的集我们有 E,=Uc 其中C,1≤≤k,1≥1是由{F:1sj≤kn,n≥1}重新编号得到的.由于在C 上是可数可加的,我们有 以(4=S(E)=∑(CD)=∑∑以(F1)=∑(4) 即在上是可数可加的.因此μ是环上的测度 定理8使得我们构造一个测度时更加容易.在§23和§4.6我们将看到这个定理的 应用. 测度的完备性下面我们考虑测度的完备性.设(x,,)为一测度空间,ECX 若存在A∈丌,μ(A)=0,使得EA,则称E为μ-可略集.在有些问题中会涉及到 关于μ-可略集可测性的讨论如果μ-可略集不一定是可测集,有时会带来一些不便.然 而对一般的测度空间而言,4-可略集不一定是可测集 例1设X=[0,1,分={x,则}令(X)=()=0,则是σ-代数上的测 度.令E=[0,,则E是μ-可略集,但Eg了 定义9设(X,,)为一测度空间.若每个μ可略集E都是可测集即E∈牙) 则称了关于测度是完备的,或称测度空间(X,,p)是完备的 例如,例2中的分关于4不是完备的 定理10设是环上的测度,是由导出的外测度.R是4-的全体所成的 集类.则R”关于测度是完备的 证明设E是μ-可略集.则存在A∈”,使得(A)=0并且EcA.由外测 度的单调性得到(E)=0.显然此时E满足卡氏条件,故E∈R”.因此关于测度 是完备的.定理证毕
55 R 上的定义是确定的. 为证 µ 是环R 上的测度, 只需证明 µ 在R 上是可数可加的. 设 { } An 是R 中的一列互不相交的集, 使得 = ∈ ∞ = U n 1 A An R. 设 A 和 A (n ≥ 1) n 的分解式分 别为 , 1 U k i A Ei = = , 1. 1 = , ≥ = A F n n k j n U n j 则{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 是C 中的一列互不相交的集. 我们有 , 1, , . 1 , E C i k l i =U i l = L ∞ = 其中{ , 1 , 1} Ci,l ≤ i ≤ k l ≥ 是由{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 重新编号得到的. 由于 µ 在C 上是可数可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 , 1 1 , 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = = = ∞ = = = = = = n n n k j n j k i l i l k i A Ei C F A n µ µ µ µ µ 即 µ 在R 上是可数可加的. 因此 µ 是环R 上的测度. 定理 8 使得我们构造一个测度时更加容易. 在 2.3 和 4.6 我们将看到这个定理的 应用. 测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性. 设(X , F ,µ) 为一测度空间, E ⊂ X. 若存在 A∈ F , µ(A) = 0, 使得 E ⊂ A, 则称 E 为 µ -可略集. 在有些问题中会涉及到 关于 µ -可略集可测性的讨论. 如果 µ -可略集不一定是可测集, 有时会带来一些不便. 然 而对一般的测度空间而言, µ -可略集不一定是可测集. 例 1 设 X = [0, 1], F ={X , ∅}.令 µ(X ) = µ(∅) = 0, 则 µ 是σ -代数F 上的测 度. 令 E [0, ]2 1 = , 则 E 是 µ -可略集, 但 E ∉ F . 定义 9 设(X , F ,µ) 为一测度空间. 若每个 µ -可略集 E 都是可测集(即 E ∈ F ), 则称F 关于测度 µ 是完备的, 或称测度空间(X , F ,µ) 是完备的. 例如, 例 2 中的F 关于 µ 不是完备的. 定理 10 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -的全体所成的 集类. 则 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 证明 设 E 是 µ −可略集. 则存在 A∈ ∗ R , 使得 ( ) = 0 ∗ µ A 并且 E ⊂ A. 由外测 度的单调性得到 ( ) = 0. ∗ µ E 显然此时 E 满足卡氏条件, 故 E ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 定理证毕
以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明 设是环R上的测度,是由4导出的外测度,是可测集的全体所成的 a-代数.由定理5,'是上的测度并且()cM,一般情况下()关于 不一定是完备的而由定理10,咒”关于测度山总是完备的因此一般情况下集类 要比o()大下面的定理表明中的集与a()中的集至多相差一个零测度集 定理11设是环上的测度.则对任意E∈R,存在F∈a(),使得F→E 并且4'(F)=(E).特别地当(E)0,存在E的一个覆盖{E},使得 ∑(E)0,存在A∈o(),使得AE并且'(A)<'(E)+E.于是对每 个k21,存在A1∈o()使得A=E并且(4)<(E)+1 令F=∩4.则F∈()并且FE.我们有 1(E)≤4'(F)≤'(A1)<4'(E)+ 令k→+即得到'(F)=(E)由于在”上是一个测度,故当'(E)<+ 时 (F-E)=(F)-(E)=0 定理12设是环上σ-有限的测度则对任意E∈,存在F∈(),使 得F→E并且(F-E)=0 证明由于μ是环界上的a-有限测度,故存在中的一列集{En}使得 H(E)<切并且E=∪En由定理112对每个n21存在Fn∈a()使得 FnEn并且4(F-En)=0.令F F,则F∈(),FE.由于
56 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所成的 σ -代数. 由定理 5, ∗ µ 是 ∗ R 上的测度并且σ (R ) ⊂ ∗ M µ . 一般情况下σ (R ) 关于 ∗ µ 不一定是完备的. 而由定理 10, ∗ R 关于测度 ∗ µ 总是完备的. 因此一般情况下集类 ∗ R 要比σ (R ) 大. 下面的定理表明 ∗ R 中的集与σ (R ) 中的集至多相差一个零测度集. 定理 11 设 µ 是环R 上的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得 F ⊃ E 并且 (F) (E). ∗ ∗ µ = µ 特别地当 0, 存在 E 的一个R 覆盖{ }, Ei 使得 ( ) ( ) . 1 µ 0, 存在 A∈ σ (R ), 使得 A ⊃ E 并且 µ ( ) < µ ( ) + ε. ∗ ∗ A E 于是对每 个 k ≥ 1, 存在 Ak ∈σ (R ), 使得 Ak ⊃ E 并且 . 1 ( ) ( ) k Ak < E + ∗ ∗ µ µ 令 . 1 I ∞ = = k F Ak 则 F ∈ σ (R ) 并且 F ⊃ E. 我们有 . 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k E ≤ F ≤ Ak < E + ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ 令 k → +∞ 即得到 (F) (E). ∗ ∗ µ = µ 由于 ∗ µ 在 ∗ R 上是一个测度, 故当 < +∞ ∗ µ (E) 时, ( − ) = ( ) − ( ) = 0. ∗ ∗ ∗ µ F E µ F µ E 定理 12 设 µ 是环R 上σ -有限的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使 得 F ⊃ E 并且 ( − ) = 0. ∗ µ F E 证明 由 于 µ 是 环 R 上 的 σ - 有限测度 , 故存在 R 中的一列集 { } En 使 得 µ(En ) < +∞ 并 且 . 1 U ∞ = = n E En 由定理 11, 对每个 n ≥ 1, 存 在 Fn ∈ σ (R ), 使 得 Fn ⊃ En 并且 ( − ) = 0. ∗ µ Fn En 令 . 1 U ∞ = = n F Fn 则 F ∈ σ (R ), F ⊃ E . 由于
