第三章向量组的线性相关性
第三章 向量组的线性相关性
第三节n维向量
第三节 n维向量
冷定义1n个有顺序的数a1,a2…,an所组成的有序数 组 0 a 1=2 a 称为n维向量。数a1,a2,…,an叫做向量a的分量,a 称为向量α的第个分量。若一个向量的分量都为实 数,则称此向量为实向量;若向量的分量为复数, 则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一般我 们用小写黑体字母α,β,V或带箭头的小写字 母 ,B,表示向量
❖ 定义1 n个有顺序的数a1 , a2 , …, a n所组成的有序数 组 α＝（a1 , a2 , …, a n） 称为n维向量。数a1 , a2 , …, an叫做向量α的分量，ai 称为向量α的第i个分量。若一个向量的分量都为实 数，则称此向量为实向量；若向量的分量为复数， 则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一般我 们用小写黑体字母α,β，γ…… 或带箭头的小写字 母 …… , , 表示向量
当n维向量a记为=(a1a2,…,an)时,称 它为n维行向量。行向量其实就是行矩阵。当n 维向量Q记为 时,称为n维列向量。列向量其实就是列矩阵
❖ 当n维向量α记为α＝（a1 , a2 , …, a n）时，称 它为n维行向量。行向量其实就是行矩阵。当n 维向量α记为 时，称为n维列向量。列向量其实就是列矩阵。 1 2 a a a n =
行向量和列向量可以通过转置运算互换。若单 就向量的概念而言,它强调的是n个数排成的 有序数组,它可以排成行向量的形式,也可以 排成列向量的形式。 令当对向量进行运算时,我们实际上是把行向量 和列向量分别看成是行矩阵和列矩阵来进行运 算的,因此这时α和它的转置向量αT是两个不 同的向量。行向量即行矩阵,列向量即列矩阵
❖ 行向量和列向量可以通过转置运算互换。若单 就向量的概念而言，它强调的是n个数排成的 有序数组，它可以排成行向量的形式，也可以 排成列向量的形式。 ❖ 当对向量进行运算时，我们实际上是把行向量 和列向量分别看成是行矩阵和列矩阵来进行运 算的，因此这时α和它的转置向量αT是两个不 同的向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩阵
对于一个m行n列的矩阵A,它的每一行 都是一个n维向量,而其每一列都是 n维向量,我们分别称之为A的行向量和 列向量。 令注意:n维向量作为3维向量的直接推广 有很多性质是和3维向量类似的。但是, 三维向量可以用空间中的有向线段直观 地表示出来,而n维向量(当n>3时)就 没有这种直观的几何意义了,只是沿用 几何的术语而也。以后大家在学习n维向 量的性质时,如果要分析其几何意义, 那么最好是回到三维的情形来思考
❖ 对于一个m行n列的矩阵A，它的每一行 都是一个n维向量，而其每一列都是一个 m维向量，我们分别称之为A的行向量和 列向量。 ❖ 注意：n维向量作为3维向量的直接推广, 有很多性质是和3维向量类似的。但是， 三维向量可以用空间中的有向线段直观 地表示出来，而n维向量（当n > 3时）就 没有这种直观的几何意义了，只是沿用 几何的术语而也。以后大家在学习n维向 量的性质时，如果要分析其几何意义， 那么最好是回到三维的情形来思考
定义2设=(a1a2…,an),阝=(b1 bn)是两个n维向量,如果这两个向量的 应分量相等,即 b,(j=1,2,…,n) 则称a=β。分量全为0的向量称为零向量,记 为0 定义3设α=(a1,a2,…,an), 阝=(b1,b2…,bn) 是两个n维向量,是一个实数,则: (1)向量(a1+b1a2+b2,…,an+bn)称为 向量α,β的和,记为a+β。即
定义2 设α＝（a1 , a2 , …, an），β＝（b1 , b2 , …, bn）是两个n维向量，如果这两个向量的 对应分量相等，即 aj ＝bj , ( j＝1, 2, …， n ) 则称α＝β。分量全为0的向量称为零向量，记 为0。 定义3 设α＝（a1 , a2 , …, a n）， β＝（b1 , b2 , …, b n） 是两个n维向量，λ是一个实数，则: （1）向量（a1 + b1 , a2 + b2 , …, a n + b n）称为 向量α，β的和，记为α＋β。即
a+β=(a1+b1a2+b2;…an+bn) (2)向量(Aa1Aa23…,Aan)称为数入与向量a的 乘积,记为入a或a入,即 Aa=aA=(Aa1Ma23…,Aan)。 (3)向量(-a1-a2,…,-an)称为向量a的负向量 记为-α,即:一α=(-a1-a2…,-an)。 求向量的和向量的运算称为向量加法,求数与向 量的乘积运算称为向量乘数或向量的数乘。向量的 加 法和向量的数乘运算统称为向量的线性运算
α＋β＝（a1+ b1 , a2 + b2 , …, a n + b n）。 （2）向量（λa1 , λa2 , …, λa n）称为数λ与向量α的 乘积，记为λα或αλ，即 λα＝αλ＝（λa1 , λa2 , …, λa n）。 （3）向量（−a1 , −a2 , …, −a n）称为向量α的负向量， 记为－α，即:－α＝（−a1 , −a2 , …, −an）。 求向量的和向量的运算称为向量加法，求数与向 量的乘积运算称为向量乘数或向量的数乘。向量的 加 法和向量的数乘运算统称为向量的线性运算
设a,β,Y为三个n维向量,A和p为两个实数,则: (D)a+β=β+a; ()(a+β)+y=a+(β+y); (Ⅲ)a+0=a; (Ⅳ)a+(-a)=0 (V)1a=a; (Ⅵ)A(pa)=(Np)a; (Ⅶ)(A+pa=Aa+pa; (VⅢ)M(a+β)=Aa+Aβ。 上述八条规律中,(D),(Ⅲ)是向量加法的交换律和结 合 律;规律(Ⅲ),(ⅣV)是保证加法有逆运算;(V)保证 非零数乘有逆运算;(V)~(V)是数乘运算的结合律 和分配律。把满足上述八条规律的运算称为线性运算
设α，β，γ为三个n维向量，λ和μ为两个实数，则： （I） α＋β＝β＋α； （II） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）； （III） α＋0 ＝α； （IV） α＋（－α）＝ 0; （V） 1α＝α； （VI） λ(μα)＝ (λμ)α； （VII） (λ＋μ)α＝λα＋μα； （VIII） λ(α＋β)＝λα＋λβ。 上述八条规律中，（I），（II）是向量加法的交换律和结 合 律 ；规律（III），（IV）是保证加法有逆运算；（V）保证 非零数乘有逆运算；（VI）～（VIII）是数乘运算的结合律 和分配律。把满足上述八条规律的运算称为线性运算