第四章线性方程组
第四章 线性方程组
本章主要研究以下三个问题: (1)线性方程组有解的充分必要条件是什么? (2)如果线性方程组有解,其有多少解?如 何求得其解? 冷(3)如果线性方程组有多个解,如何将其解 用通解表示出来?
本章主要研究以下三个问题 : ❖ （1）线性方程组有解的充分必要条件是什么？ ❖ （2）如果线性方程组有解，其有多少解？如 何求得其解？ ❖ （3）如果线性方程组有多个解，如何将其解 用通解表示出来？
第一节克莱姆法则
第一节 克莱姆法则
在前面的几节中,我们已经讨论了行列式的基本 理论及其运算法则,在此节中,我们将行列式的理论 及运算应用于解决n个变量、n个方程的线性方程组的 求解问题 设有n个变量x2x2…,x的n个方程的线性方程组: a1X1+41X+…+a1x =b1 a21x1+a2x2+…+a2nx=b2 ax, tax+.+a nn n 若有某b≠0(=1,2,…m),则称此线性方程组为n元 非齐次线性方程组
在前面的几节中，我们已经讨论了行列式的基本 理论及其运算法则，在此节中，我们将行列式的理论 及运算应用于解决n个变量、n个方程的线性方程组的 求解问题。 n x , x , , x 设有n个变量 1 2 的n个方程的线性方程组： (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 若有某 ,则称此线性方程组为n元 非齐次线性方程组。 b 0(i 1,2, .n) i =
由它的系数a组成的n阶行列式 2 2 2 称为线性方程组(1)的系数行列式。 定理(克莱姆法则)如果线性方程组(1)的系 数行列式D≠0,则方程组(1)有唯一解 D D XI D D D (2) 其中D(=12…m)是将D的第列元素a1a2,an分别换 成常数项bb2,…b后所得到的n阶行列式,即
由它的系数 aij 组成的n阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为线性方程组（1）的系数行列式。 x1=D1/D x2=D2/D ……xn=Dn/D (2) 定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系 数行列式D≠0，则方程组（1）有唯一解 D D x D D x D D x n = , = , , n = 2 2 1 1 其中 是将D的第j列元素 分别换 成常数项 后所得到的n阶行列式,即 D ( j 1,2, .n) j = a j a j anj , 1 , 2 b b bn , 1, 2
b 21 a2y-1b2a2/+1 nn 证: 设方程组(1)有解,即有一组数x1x2 满足方程组(1)。用x乘系数行列式,并利用行列 式性质3可得 12
n n j n n j n n j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D 1 , 1 , 1 2 1 2, 1 2 2, 1 2 1 1 1, 1 1 1, 1 1 − + − + − + = 证： 设方程组（1）有解，即有一组数 n x , x , , x 1 2 满足方程组（1）。用 乘系数行列式，并利用行列 式性质3可得 1 x n n n n n n a a a a a a a a a Dx 1 2 21 22 2 11 12 1 1 =
+ax a c1+x2C2|a21x1+a2x2a22…a2n r,tanx an? C,+x2c a1x1+a12X+…+a1nxna1 2 CI+x,cn lax +ax +.+ax an1x1+an2x2+…+anx,a 2 2 a
1 2 2 c + x c n n n n n n n a x a x a a a x a x a a a x a x a a 1 1 2 2 2 21 1 22 2 22 2 11 1 12 2 12 1 + + + 1 3 3 c + x c n n c + x c 1 n n n n n n n n n n n n n n a x a x a x a a a x a x a x a a a x a x a x a a 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 + + + + + + + + + 1 2 2 22 2 1 12 1 D b a a b a a b a a n n nn n n = =
所以,对x有: 一般地,对x有: Dx;=D,(j=1,2,…,n) 当D≠0时,有: D 这说明,线性方程组(1)当D≠0时,如果有解,这 解就只能是(2)。下面我们验证(2)是方程组(1) 的解,即证明下式成立 a +…+a b(=1,2,…,n) D 观察以下两行相同的n+1阶行列式:
所以，对 x1 有： Dx1 = D1 一般地，对 x j 有： Dx D ( j 1,2, ,n) j = j = 当D≠0时，有： D D x D D x D D x n = , = , , n = 2 2 1 1 这说明，线性方程组（1）当D≠0时，如果有解，这 解就只能是（2）。下面我们验证（2）是方程组（1） 的解，即证明下式成立 ( 1,2, , ) 2 2 1 1 b i n D D a D D a D D a i n i + i ++ i n = = 观察以下两行相同的n+1阶行列式：
1 其中=1,2n。它的值为零,将它按第一行展开,由于 第一行中的代数余子式为 +j+1
n n nn i i i n n i i i n b a a b a a b a a b a a 1 1 1 11 1 1 其中i=1,2,…,n。它的值为零,将它按第一行展开,由于 第一行中 ij 的代数余子式为 a n n n j n j n n j j n j j n i j b a a a a b a a a a b a a a a 1 , 1 , 1 2 2 1 2, 1 2, 1 2 1 1 1 1, 1 1, 1 1 1 ( 1) − + − + − + + + −
(-1)"2(-1)D,=-D 所以有 0=6.,D il i2 ∴+a D D 此说明(2)确实是方程组(1)的解。 当方程组(1)右端的常数均是零时,(1)变成 a1x1+a12x2+…+anxn=0 aX2+…+a2x.=0 +anx2+…+anxn=0
j j j j − − D = −D +2 −1 ( 1) ( 1) 所以有 此说明(2)确实是方程组(1)的解。 0 = bi D − ai1 D1 −− ai nDn 即 ( 1,2, , ) 2 2 1 1 b i n D D a D D a D D a i n i + i ++ i n = = 当方程组(1)右端的常数均是零时,(1)变成 (3) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x
