第四节行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开
般说来,低阶行列式的计算要比高阶行列式的 计算要简便,于是我们自然地考虑到用低阶的行列式 来表示高阶的行列式的问题。为此,先引入余子式和 代数余子式的概念。 定义在n阶行列式D=(冲,把元素在的 第i行、第j列划去,剩下的元素按原来的相对位置形 成的n-1阶行列式叫做元素的余子式,记作ME称 A=(-)叫做元素c的代数余子式 例如四阶行列式 1 4 22 D 23 41 43
一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的 计算要简便，于是我们自然地考虑到用低阶的行列式 来表示高阶的行列式的问题。为此，先引入余子式和 代数余子式的概念。 定义 在n阶行列式 中，把元素 所在的 第i行、第j列划去，剩下的元素按原来的相对位置形 成的n-1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 ；称 叫做元素 的代数余子式。 ( ) ij D = a ij a ij a M ij ij i j Aij M + = (−1) ij a 例如 四阶行列式 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D =
中元素a32的余子式和代数余子式分别为 -d 2 34 34 引理设D= det(a是n阶行列式,如果其中第i行 (或第j列)元素除外都为零,则D=an4 证:先证明特殊情况,设 00 D 23 n2
中元素 a34 的余子式和代数余子式分别为 41 42 43 21 22 23 11 12 13 34 a a a a a a a a a M = 34 34 3 4 34 A = (−1) M = −M + 引理 设 D = det(aij) 是n阶行列式，如果其中第i行 (或第j列)元素除 aij 外都为零，则 D = aijAij 证 ：先证明特殊情况，设 n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 3 21 22 23 2 11 0 0 0 =
D=∑(- P1"2P2 p P, P,"P ∑(-1) h1∑(-y P2 这里t是排列PP2Pn的逆序数,当p=1时,就是排 列的P2…P逆序数,故 D=a1∑(-1)an…an2 1+1
则 ( ) = − n n n p p p p p p t D a a a 1 2 1 1 2 2 1 ( ) = − n p p p np t n a a a 2 1 1 2 2 1 1 ( ) = − n p p p np t n a a a 2 2 2 1 11 1 这里t是排列 的逆序数，当p=1时，就是排 列的 逆序数，故 p1 p2 pn p2 pn ( ) = − n p p p n p t n D a a a 2 11 2 2 1 11 11 11 11 1 1 11 11 = a M = (−1) a M = a M +
再证一般情况,设 1j-1 1j+ i-1j-1 D=0 0 0 h+1-1a+1ja7+1j+1 把D的行列作如下调换:把D的第行依次与第i1 行、第ⅰ-2行、…、第1行对调,这样m就调到原来 a的位置上,调换的次数为-1再把第列依次与第」-1 列、第」-2列、…第1列对调,这样就调到了左上角,调换
再证一般情况，设 n n j n j n j n n i i j i j i j i n i j i i j i j i j i n j j j n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 − + + + − + + + + − − − − − + − − + = 把D的行列作如下调换：把D的第i行依次与第i−1 行、第i−2行、…、第1行对调，这样 就调到原来 的位置上，调换的次数为i-1.再把第j列依次与第j−1 列、第j−2列、第1列对调,这样就调到了左上角,调换 ij a j a1
的次数为j-1。总之,经过+j次调换,把a调到了 左上角,所得的行列式D=(-y2D=(-mD,而元素an 在D1中的余子式仍然是a在D中的余子式M 利用前面结果,有 于是 D=(-1)D=(-1)anMn 定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和,即 D=anA1+a242+…+anln(=1,2,…,n)(按行展开式) 或 D=a1A1+a2A2+…+anA(=1,2,…,m)(按列展开式
的次数为j-1。总之，经过i+j-2次调换，把 调到了 左上角，所得的行列式 ij a D D D i+ j− i+ j = (−1) = (−1) 2 1 在D1中的余子式仍然是 在D中的余子式 。 ，而元素 ij a ij a M ij 于是 利用前面结果，有 D1 = aijMij i j i j i j i j i j i j D = − D = − a M = a A + + ( 1) ( 1) 1 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和,即 ( 1,2, , ) D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 ++ ai nAi n i = n （按行展开式） 或 ( 1,2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ an jAn j j = n （按列展开式）
证 D=a+0+…+0a+0+…+0…a+0+…+0 a o 0+0 0
证： n n n n i i i n n a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = + 0 + + 0 + 0 + + 0 + 0 + + 0 n n n n i n n n n n i n a a a a a a a a a a a a a a 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 = 0 0 + 0 0
+…+|00 根据引理,即得 D=a1A 1+a2A2 类似地,若按列证明,可得 D j21 ∴+a 该定理叫做行列式按行(列)展开法则。显然,行 列式按行(列)展开法则提供了计算n阶行列式的一种 方法:通过反复运用该法则,将一个n阶行列式归结
n n n n in n a a a a a a a 1 2 1 1 1 2 1 + + 0 0 根据引理,即得 ( 1,2, , ) D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 ++ ai nAi n i = n 类似地,若按列证明,可得 ( 1,2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ an jAn j j = n 该定理叫做行列式按行(列)展开法则。显然，行 列式按行(列)展开法则提供了计算n阶行列式的一种 方法：通过反复运用该法则，将一个n阶行列式归结
为n!项的代数和,每一项是n个不同行不同列的元素 的乘积。 推论行列式任一行列)的元素与另一行(列的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 D=anAn+a2A2+…+anAn=0(≠j 或 +a,A,,+∴+ =0(i≠j 证:把行列式D=A(an)按第行展开,有
为n!项的代数和，每一项是n个不同行不同列的元素 的乘积。 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 0( ) 1 1 2 2 D a A a A a A i j = i j + i j ++ i n j n = 或 0( ) 1 1 2 2 D a A a A a A i j = i j + i j ++ n i n j = 证: 把行列式 D = (aij) 按第j行展开，有
anAn+a2Aa+…+a1Am 在上式中把成a1(k=1,…,坷得 aa +aa +...+aA
n n n j j n i i n n a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1 j1 j1 j2 j2 jn A jn a A + a A + + a = 在上式中把 a 换成 ik ajk (k =1, ,n , ) 可得 n n n i in i in n a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1 i1 j1 i2 j2 in jn a A + a A + + a A =