《线性代数》第二章 矩阵（2.2）分块矩阵

第二节.分块矩阵

第二节 分块矩阵

令在理论研究及一些实际问题中,经常遇到阶数 很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵,在运 算时常常采用分块法,使大矩阵的运算化成小 矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵

❖ 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数 很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运 算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小 矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的 子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵

100:32 010:-2-5 A=001 000 5-08 令按虚线所示,矩阵A被 000:4 分成4个子块,则 E A1=010|=E2,A A 000 60 000 2×3:2122

1 0 0 3 2 0 1 0 2 5 0 0 1 5 5 0 0 0 6 0 0 0 0 4 8 A     − −   =           ❖ 按虚线所示，矩阵A被 分成4个子块 ，则 11 3 12 1 0 0 3 2 A 0 1 0 E ,A 2 5 , 0 0 1 5 5         = = = − −             21 2 3 22 0 0 0 6 0 , 0 0 0 4 8 A A      = = =         0 11 12 3 12 21 22 02 3 22 A A E A A A A  A     = =        

分块矩阵的基本运算 令分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类 似 1.加法 2.转置 分块矩阵转置时,不但要将分块“行列”互换 而且行列互换后的各子矩阵都要转置。 3.乘法

分块矩阵的基本运算 ❖ 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类 似 1. 加法 2. 转置 分块矩阵转置时，不但要将分块“行列”互换， 而且行列互换后的各子矩阵都要转置。 3. 乘法

令设A为mxs矩阵,B为s×n矩阵, A1A2…A1 B, B 12 Br A21A2…A2B31B2 B a= B= BB pt

11 12 1 11 12 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 , t t r p p pt t t tr A A A B B Br A A A B B B A B A A A B B B             = =                 ❖ 设A为ms矩阵，B为sn矩阵

A为mxS子块(=1,2,……,p;j1,2,… t),且m1+m2+…+mp=m,S1+S2+…+ 为sXn子块(j=1,2, 1 ■■■ 9 ),且k1+k2+…+k=n,S1+S2 令AB=C,则

❖ Aij为misj子块（i=1，2，…，p；j=1，2，…， t），且m1 + m2 + … +mp = m，s1 + s2 + … + st= s； ❖ Bjk为 sjnk子块（ j=1，2， …， t； k=1 ， 2，…，r），且k1 + k2 + … + kr = n，s1 + s2 + … + st= s。 ❖ 令AB = C，则

12 22 AB=C= 21 2r Cn=AB1+AB2+?+AB=∑AB(=12…,Pj=12…) k=1

11 12 1 21 22 2 1 2 , r r p p pr C C C C C C AB C C C C       = =         ( ) t ij i1 1j i2 2j it t i kj j k k 1 C A B A B ? A B A B 1,2, , ; 1,2, , i p j r = = + + + = = = 

令分块矩阵的行列式与 Laplace定理 1.设A为n阶方阵,M为A的一个k阶子式,在A 中去掉M所在的k行和k列的元素,由剩下的元 素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式N, 称为k阶子式M的余子式 2.如果k阶子式M在A中所在的行和列的标号分别 为i1,i2,…,ik;j1,i2,…,j,则称 B (+12++ik)+(n+2++jk) 为k阶子式M的代数余子式

❖ 分块矩阵的行列式与Laplace定理 1. 设A为n阶方阵，M为A的一个k阶子式，在A 中去掉M所在的k行和k列的元素，由剩下的元 素按原来的相对位置组成的n−k阶行列式N， 称为k阶子式M的余子式。 2. 如果k阶子式M在A中所在的行和列的标号分别 为i1，i2，…，ik；j1，j2，…，jk，则称 为k阶子式M的代数余子式 ( ) ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 i i i j j j k k B N + + + + + + + = −

定理( Laplace定理)设n阶矩阵A=(a) 在A中任意取定k行(1≤k≤n),由这k行组成 的所有k阶子式M1(i=1,2,……,t)与它们的 代数余子式B1(i=1,2,…,t)的乘积之和等 于detA,即 det A=M,B,+m,B,++M B,,(t=Cn) 其中B是子式M的代数余子式(i=1,2,…

❖ 定理（Laplace定理）设n阶矩阵A=(aij)， 在A中任意取定k行（1 k n），由这k行组成 的所有k阶子式Mi（i=1，2，…，t）与它们的 代数余子式Bi（i=1，2，…，t）的乘积之和等 于detA，即 其中Bi是子式Mi的代数余子式（i=1，2，…， t）。 1 1 2 2 det , ( C ) k A M B M B M B t t t n = + + + =

分块对角矩阵(准对角矩阵) 形如 A10 0 0 A 0 00 其中A1(i=1,2,…,s)均为方阵,且其 余子块均为零矩阵的分块矩阵,称为分块 对角矩阵或准对角矩阵

分块对角矩阵（准对角矩阵） 形如 其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其 余子块均为零矩阵的分块矩阵，称为分块 对角矩阵或准对角矩阵。 1 2 s A A A A     =           0 0 0 0 0 0