《线性代数》第三章 向量组的线性相关性（3.3）向量组的最大无关组和秩

第三节向量组的最大无关组和秩

第三节 向量组的最大无关组和秩

行向量组a1=(a1a123…,an) i=1,2,…,m可以构成矩阵 a a a 22 2n am am2 称矩阵A是由向量组a,Q2,…,αm所构成的 矩阵,而向量组α1,Q2,…,am称为矩阵A的 行向量组

行向量组αi ＝（ai1 , ai2 , …，a in）, i = 1, 2, …，m可以构成矩阵 称矩阵A是由向量组α1，α2，…，αm所构成的 矩阵，而向量组α1，α2，…，αm称为矩阵A的 行向量组。 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 a a a a a a a a a n n m m m mn A            = =                    

列向量组 B 也可以构成矩阵 2 a n mI 2 向量组β1,β2,…,阝称为矩阵A的列向量 组

❖ 列向量组 也可以构成矩阵 向量组β1，β2，…，βn称为矩阵A的列向量 组。 1 j 2 j mj a a j 1,2, . a j  n       = =           11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 a a a a a a a a a n n n m m mn A        = =          

个m×n矩阵A有m个n维行向量,同时也有n 个 m维列向量。 由向量组线性相关的定义可知,矩阵A的列向 量组β1,阝2,…,βn线性相关的充分必要条件 是齐次方程组 β1+x2β2 βn=0 有非零解,也就是齐方程组 A,B,…,月1]:=0x=0有非0解

一个m×n矩阵A有m个n维行向量，同时也有n 个 m维列向量。 由向量组线性相关的定义可知，矩阵A的列向 量组β1，β2，…，βn线性相关的充分必要条件 是齐次方程组 x1β1 + x2β2 + … + xnβn = 0 有非零解，也就是齐次方程组   1 2 1 2 , , , 0 0 n n x x x x          = =         即A 有非0解

而一个列向量b可以用列向量组β1,阝2,…,阝n 表示的充分必要条件是线性方程组 x1B1+x22+…+XnPn=b即Ax=b 有解(不一定是唯一解)。 完全类似,矩阵A的行向量组α12,…, n线性相关的充分必要条件是齐次方程组 X1Q4+X22+∴+Xn0n=0 有非零解

而一个列向量b可以用列向量组β1，β2，…，βn 表示的充分必要条件是线性方程组 x1β1 + x2β2 + … + xnβn = b 即Ax＝b 有解（不一定是唯一解）。 完全类似，矩阵A的行向量组α1 , α2 , …， αm线性相关的充分必要条件是齐次方程组 x1α1 + x2α2 + … + xmαm = 0 有非零解

也就是方程组 0即xA=0或Ax=0有非0解 而一个行向量a可以用行向量组a1a2…,am 表示的充分必要条件是线性方程组 X,a 22 即xA=a(或者Ax=a) 有解(不一定是唯一解)

❖ 也就是方程组 而一个行向量a可以用行向量组α1 , α2 , …，αm 表示的充分必要条件是线性方程组 x1α1 + x2α2 + … + xmαm = a 即 x′A＝a ( 或者 A′x＝a′ ) 有解（不一定是唯一解）。   1 2 1 2 , , , 0 ' 0 ' 0 n n x x x x A A x          = = =         即 或 有非0解

定义1设有两个n维向量组 AB 0 1302:: 15|2 如果向量组A中的每个向量都能由向量组B 中的向量线性表示,则称向量组A能由向量 组B线性表示。如果向量组A能用向量组B 线性表示,并且向量组B也能用向量组A线 性表示,则称向量组A和向量组B等价 (equivalent)

定义1 设有两个n维向量组 A： α1 , α2 , …，αr ; B： β1 , β2 , …，βs . 如果向量组A中的每个向量都能由向量组B 中的向量线性表示，则称向量组A能由向量 组B线性表示。如果向量组A能用向量组B 线性表示，并且向量组B也能用向量组A线 性表示，则称向量组A和向量组B等价 （equivalent）

下面我们将讨论怎样用矩阵记号表示“向量组A 用 向量组B线性表示”这件事。设向量组A能由向 量 组B线性表示,则存在r组数k1,k2…,ks (i=1,2,…,r)使 a=k1B,+ ki2B2+ +k ISTS r 当向量组AB是行向量维时矩阵 B B

下面我们将讨论怎样用矩阵记号表示“向量组A 用 向量组B线性表示”这件事。设向量组A能由向 量 组B线性表示，则存在r 组数ki1 , ki2 , …, kis (i=1,2,…,r)使 αi = ki1β1 + ki2β2 + …… + kisβs 。 （i=1, 2, …, r ）. 当向量组A, B是行向量组时 1 ，令矩阵 1 2 2 , r s A B               = =                    

则上述a用β1,β2,…,阝线性表示的r个式 子合在一起表示为矩阵等式即是说,存在r×s矩 阵K=(k×s,使得 ksB k2|B2 KB 令当向量组A,B是列向量组时,令矩阵 A=[a1a2…,a,B=[β1阝2…,βsl,则 存在s×矩阵K=(kx使得A=BK 其中K的第冽元素就是向量α用β1,β2,…, β线性表示的系数

❖ 则上述αi用β1 , β2 , …，βs线性表示的r个式 子合在一起表示为矩阵等式即是说，存在r×s矩 阵K= (kij) r×s , 使得 ❖ 当向量组A, B是列向量组时，令矩阵 A＝[α1 , α2 ,…，αr ], B= [β1 , β2,…，βs ], 则 存在s×r矩阵K′＝(kji)s×r , 使得 A=BK′ 。 其中K′的第i列元素就是向量αi用β1 , β2 , …， βs线性表示的系数。 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 k k k k k k KB. k k k s s r r r rs s A                   = = =                              

显然,向量组之间的等价关系具有如下性质: 1)反身性:向量组A与向量组A等价。 2)对称性:若向量组A与向量组B等价,则向量 组B与向量组A等价。 3)传递性:若向量组A与向量组B等价,且向量 组B与向量组c等价,则向量组A与向量组C等 价 数学中,常常把具有上述三条性质的关系称为等 价关系

显然，向量组之间的等价关系具有如下性质： 1)反身性：向量组A与向量组A等价。 2)对称性：若向量组A与向量组B等价，则向量 组B与向量组A等价。 3)传递性：若向量组A与向量组B等价，且向量 组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C等 价。 数学中，常常把具有上述三条性质的关系称为等 价关系