引言 在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann积分. Riemann积分对处理连续函数和几何, 物理中的计算问题时候是很有效的.但是 Riemann积分在理论使存在一些缺陷.主要表 现在以下几个方面 1.可积函数对连续性的要求 设f(x)是定义在区间[a,b]上的有界实值函数.又设 a=x0<x1<…<xn=b 是[a,b]的一个分划.对每个i=1…,k,令, m=inf(f(x): xELx-I,x,l, M=sup(f(x) xE[x-x,1) 并且令=maxx1-x1.则f(x)在[ab]上可积的充要条件是 lim∑(M1-m) (1) M 其几何意义就是曲线y=f(x)的下方图形(曲边梯形)的外接阶梯形与内接阶梯形面积之 差趋于零(如图).因此为保证f(x)在[a,b]上可积,f(x)在[a,b]上的不连续点不能太 多或者说,f(x)在[a,b]上基本上是连续的(f(x)在[a,b上可积的一个充分条件是 ∫(x)在[a,b]上连续或分段连续).由于 Riemann积分对被积函数的连续性要求太强,这 样就性质了 Riemann积分的应用.例如 Dirichlet函数 若x为有理数 x) 0若x为无理数
1 引 言 在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann 积分. Riemann 积分对处理连续函数和几何, 物理中的计算问题时候是很有效的. 但是 Riemann 积分在理论使存在一些缺陷. 主要表 现在以下几个方面: 1. 可积函数对连续性的要求. 设 f (x) 是定义在区间[a, b] 上的有界实值函数. 又设 a x x x b = 0 < 1 < L < n = 是[a, b] 的一个分划. 对每个i = 1,L, k, 令, inf{ ( ) : [ , ]}, sup{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i i i 1 i m f x x x x M f x x x x = ∈ − = ∈ − 并且令 1 1 max − ≤ ≤ = i − i i n λ x x . 则 f (x) 在[a, b] 上可积的充要条件是 ∑= − → − − = n i i i i i M m x x 1 1 0 lim ( )( ) 0 λ . (1) 其几何意义就是曲线 y = f (x)的下方图形(曲边梯形)的外接阶梯形与内接阶梯形面积之 差趋于零(如图). 因此为保证 f (x) 在[a, b] 上可积, f (x) 在[a, b] 上的不连续点不能太 多,或者说, f (x) 在[a, b] 上基本上是连续的 ( f (x) 在[a, b] 上可积的一个充分条件是 f (x) 在[a, b] 上连续或分段连续). 由于 Riemann 积分对被积函数的连续性要求太强, 这 样就性质了 Riemann 积分的应用. 例如 Dirichlet 函数 = 0 . 1 ( ) 若 为无理数 若 为有理数 x x D x X Y O 1 a x b f (x) 2 x i−1 x i x n−1 x mi Mi
在[0,1上不满足条件(1)因此D(x)在上不是 Riemann可积的 2.积分与极限顺序的交换 在数学分析中,经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题.设{J(x)}是 [a,b]上的连续函数列,并且在[a,b]上∫(x)处处收敛于∫(x).一般情况下,f(x)未必 在[a,b]上可积即使f(x)在[a,b]上可积也未必成立 lim[ f(xdr=/(xd 为使∫(x)在[a,b]上可积并且(2)成立的一个充分条件是{n(x)}在[a,b]上一致收敛于 f(x)(这不是必要条件,例如考虑函数[0,1]上的函数列fn(x)=x"(m=1,2,…))这 个条件太强并且不易验证 3.可积函数空间的完备性 设R[a,b]是[a,b]上 Riemann可积函数的全体.在R[a,b]上定义距离 d( 8)=(1(x)-8() dx)2, f,g E R[a, b] 则R[a,b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述)设{fn}是R[a,b中序 列,∫∈R[a,b若limd(n,∫)=0,则称{fn}按距离收于∫.R[a,b]中序列{fn} 称为是 Cauchy序列,若对任意E>0,存在N>0,使得当m,n>N时,d(fm,fn)<E 有例子表明,在R[a,b中并非每个 Cauchy序列都是收敛的,即R[a,b]不是完备的空间 而空间的完备性在泛函分析理论中是非常重要的.因此R[a,b]不是作为研究对象的理 想空间 以上几点表明, Riemann积分有不少缺陷,这就限制了 Riemann积分的应用,因此有 必要加以改进二十世纪初,法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之为 Lebesgue积分. Lebesgue积分理论是 Riemann积分理论的推广于发展.并且克服 了 Riemann积分的上述缺陷 下面介绍推广 Riemann积分的大体思路,为节省篇幅,这里没有也不可能很完整和 严密的叙述.设f(x)在[a,b上连续并且f(x)≥0.对[a,b]的一个分划 x0<x1 作阶梯函数∫n(x),使得当x∈(x-1,x;]时,Jn(x)=m;,其中 m2=inf{f(x):x∈[x-1,x,]}.则 f(x)x=∑m(x1-x)=∑m(x-1,x
2 在[0, 1]上不满足条件(1). 因此 D(x) 在上不是 Riemann 可积的. 2. 积分与极限顺序的交换 在数学分析中, 经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题. 设{ f (x)} n 是 [a, b] 上的连续函数列,并且在[a, b] 上 f (x) n 处处收敛于 f (x). 一般情况下, f (x) 未必 在[a, b] 上可积. 即使 f (x) 在[a, b] 上可积,也未必成立 lim ( ) ( ) . ∫ ∫ = →∞ b a b a n n f x dx f x dx (2) 为使 f (x) 在[a, b] 上可积并且(2)成立的一个充分条件是{ f (x)} n 在[a, b] 上一致收敛于 f (x) (这不是必要条件, 例如考虑函数[0, 1] 上的函数列 n n f (x) = x (n = 1, 2,L)). 这 个条件太强并且不易验证. 3. 可积函数空间的完备性. 设 R[a, b]是[a, b] 上 Riemann 可积函数的全体. 在 R[a, b]上定义距离 1 2 2 ( , ) ( ( ) ( ) ) ∫ = − b a d f g f x g x dx , f , ] g ∈ R[a, b . 则 R[a, b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述). 设{ }n f 是 R[a, b]中序 列, f ∈ R[a, b]. 若 lim ( , ) = 0, →∞ d f f n n 则称{ }n f 按距离收于 f . R[a, b]中序列{ }n f 称为是 Cauchy 序列, 若对任意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当m,n > N 时, ( , ) < ε. m n d f f 有例子表明, 在 R[a, b]中并非每个Cauchy序列都是收敛的, 即 R[a, b]不是完备的空间. 而空间的完备性在泛函分析理论中是非常重要的. 因此 R[a, b]不是作为研究对象的理 想空间. 以上几点表明, Riemann 积分有不少缺陷, 这就限制了 Riemann 积分的应用, 因此有 必要加以改进. 二十世纪初, 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之为 Lebesgue 积分. Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广于发展. 并且克服 了 Riemann 积分的上述缺陷. 下面介绍推广 Riemann 积分的大体思路, 为节省篇幅, 这里没有也不可能很完整和 严密的叙述. 设 f (x) 在[a, b] 上连续并且 f (x) ≥ 0. 对[a, b] 的一个分划 a x x x b = 0 < 1 < L < n = , 作阶梯函数 f (x) n , 使 得 当 ( , ] i 1 i x x x ∈ − 时 , ( ) . n mi f x = 其 中 inf{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i m f x x x x = ∈ − 则 ∫ ∑ ∑= − = = − − = n i i i i n i i i i b a n f x dx m x x m x x 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ]
若当n越大时,分割越来越细,并且当n→∞时,A=maxx-x-1|→0,则{fn}单 调上升趋近于∫,并且由 Riemann积分的定义得到 inJn(x)d=」f(x)t 其几何意义就是曲线y=f(x)的下方图形的面积可以由其内接阶梯形的面积逼近(如上 图)这启发我们用下述方式重新定义 Riemann积分 设l1…是b的n个互不相交的子区间,并且ab=Um1若f(x)是一 非负阶梯函数,当x∈1时,f(x)=a1则定义 ∫(xlk=∑m (3) 其中是区间l的长度,若f(x)是非负函数并且存在一列单调上升的非负阶梯函数 n}使得imf(x)=f(x)2并且im(x)<∞,则定义 lim f, (x)dx= f(x)du 一般情形,令 f(x)=maxf(x),0), f(x)=max(-f(x), O) 则∫(x),f(x)是非负函数,并且f(x)=f(x)-f(x).若∫(x)和∫(x)都可积 则定义 ∫(x)dx=J(xk-Jr(x)t 这种方式定义的积分于 Riemann积分是一样的按照这种定义方式,一个非负函数可积 必须能够用单调上升的非负阶梯函数列逼近∫.这就要求∫基本上是连续函数 为对更一般的函数定义积分,现在将阶梯函数改为更一般的函数.设A1…,A是 ab]的n个互不相交的子集,并且[ab]=Um4.若f(x)是ab]上的函数,当 x∈A时,f(x)=a1(a1≥0)(暂称之为一般简单函数)形式上仿(3)式定义 ∫(x)=∑m4 问题是这里A不一定是区间,4表示什么?4应该是一种类似区间长度的东西如 果我们能够给出A确切涵义,使得4满足区间长度类似的性质我们就能用(6)式定 义上述一般非负简单函数的积分.然后利用(4)和(5)式定义一般函数的积分.由于一般简 单函数比阶梯函数更一般,因此能够被一般简单函数逼近的函数也更多,因此可以对更
3 若当 n 越大时, 分割越来越细, 并且当 n → ∞ 时, max 0, 1 1 = − − → ≤ ≤ i i i n λ x x 则{ }n f 单 调上升趋近于 f , 并且由 Riemann 积分的定义得到 lim ( ) ( ) . ∫ ∫ = →∞ b a b a n n f x dx f x dx 其几何意义就是曲线 y = f (x) 的下方图形的面积可以由其内接阶梯形的面积逼近(如上 图). 这启发我们用下述方式重新定义 Riemann 积分. 设 n I , ,I 1 L 是[a, b] 的 n 个互不相交的子区间, 并且[ , ] . U 1 n i i a b I = = 若 f (x) 是一 非负阶梯函数, 当 i x ∈ I 时, ( ) .i f x = a 则定义 ∫ ∑= = n i i i b a f x dx m I 1 ( ) . (3) 其中 i I 是区间 i I 的长度. 若 f (x) 是非负函数并且存在一列单调上升的非负阶梯函数 { }n f 使得 lim f (x) f (x), n n = →∞ 并且 < ∞ ∫ →∞ b a n n lim f (x)dx , 则定义 lim ( ) ( ) . ∫ ∫ = →∞ b a b a n n f x dx f x dx (4) 一般情形, 令 f (x) = max{ f (x), 0}, f (x) = max{− f (x), 0} + − . 则 f (x), + f (x) − 是非负函数, 并且 f (x) f (x) f (x). + − = − 若 f (x) + 和 f (x) − 都可积. 则定义 ( ) ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ + − = − b a b a b a f x dx f x dx f x dx (5) 这种方式定义的积分于 Riemann 积分是一样的.按照这种定义方式, 一个非负函数可积 必须能够用单调上升的非负阶梯函数列逼近 f .这就要求 f 基本上是连续函数. 为对更一般的函数定义积分, 现在将阶梯函数改为更一般的函数.设 A An , , 1 L 是 [a, b] 的 n 个互不相交的子集, 并且[ , ] . U 1 n i a b Ai = = 若 f (x) 是[a, b] 上的函数, 当 Ai x ∈ 时, ( ) = ( ≥ 0) i i f x a a (暂称之为一般简单函数). 形式上仿(3)式定义 ∫ ∑= = n i i i b a f x dx m A 1 ( ) . (6) 问题是这里 Ai 不一定是区间, Ai 表示什么? Ai 应该是一种类似区间长度的东西. 如 果我们能够给出 Ai 的确切涵义, 使得 Ai 满足区间长度类似的性质, 我们就能用(6)式定 义上述一般非负简单函数的积分. 然后利用(4)和(5)式定义一般函数的积分. 由于一般简 单函数比阶梯函数更一般, 因此能够被一般简单函数逼近的函数也更多, 因此可以对更
一般的函数定义积分 上述新积分的定义过程并不是轻而易举立即可以实现的.这里关键的问题是,对直 线上比区间更一般的集A给出一种类似于区间长度的度量.这就是本课程要介绍的 Lebesgue测度理论.由于测度理论要经常地遇到和集和集的运算,因此本课程首先要介 绍集合论的知识.然后介绍测度理论.由于测度理论并不能给直线上的每个集定义测度 只能对一部分集即所谓’“可测集”给出测度,因此上述简单函数中必须要求每个A1是 可测的,这样的函数称之为(可测)简单函数.能够用简单函数逼近的函数称为可测函数 只有对可测函数才有可能定义新的积分,因此在定义新积分之前需要讨论可测函数的性 质在作了这些准备后,就可以定义新的积分即 Lebesgue积分,并讨论 Lebegue积分的 性质.事实证明 Lebesgue积分理论是 Riemann积分理论的推广于发展.并且克服了 Riemann积分的上述缺陷 Lebesgue积分是现代分析数学不可缺少的基础,并且极大地促 进了现代分析数学的发展 本课程的内容就是围绕建立 Lebesgue积分理论而展开的.学习了本课程后,将会对 这里所述内容有更好的理解
4 一般的函数定义积分. 上述新积分的定义过程并不是轻而易举立即可以实现的. 这里关键的问题是, 对直 线上比区间更一般的集 A 给出一种类似于区间长度的度量. 这就是本课程要介绍的 Lebesgue 测度理论. 由于测度理论要经常地遇到和集和集的运算, 因此本课程首先要介 绍集合论的知识. 然后介绍测度理论. 由于测度理论并不能给直线上的每个集定义测度, 只能对一部分集即所谓’ 可测集 给出测度, 因此上述简单函数中必须要求每个 Ai 是 可测的, 这样的函数称之为(可测)简单函数. 能够用简单函数逼近的函数称为可测函数. 只有对可测函数才有可能定义新的积分, 因此在定义新积分之前需要讨论可测函数的性 质. 在作了这些准备后, 就可以定义新的积分即 Lebesgue 积分, 并讨论 Lebegue 积分的 性质. 事实证明 Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广于发展. 并且克服了 Riemann 积分的上述缺陷. Lebesgue 积分是现代分析数学不可缺少的基础, 并且极大地促 进了现代分析数学的发展. 本课程的内容就是围绕建立 Lebesgue 积分理论而展开的. 学习了本课程后, 将会对 这里所述内容有更好的理解
第一章集与集类R"中的点集 集与集的运算是测度与积分理论的基础.本章先介绍集论的一些基本内容,包括集 与集的运算,可数集和基数,一些具有某些运算封闭性的集类如环与σ一代数等.然后介 绍R中的一些常见的点集 §1.1集与集的运算 教学目的集合论是本课程的基础.本节将引入集的概念与集的运 算,使学生掌握集和集的运算的基本概念. 本节要点 De Morgan公式是以后常用的公式证明两个集的相等是 经常要遇到论证,应通过例子使学生掌握其基本方法集列的极限是一种 新型的极限,学生应注意理解其概念 集是数学的基本概念之一.它不能用其它更基本的数学概念严格定义之,只能给予 一种描述性的说明 集的定义以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合 例如,数学分析中的实数集,有理数集,函数的定义域和值域,满足某些给定条件的 数列或函数的全体所成的集等都是常用的集。几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平 面或空间的点所构成的集 般用大写字母如A,B,C等表示集,用小写字母如a,b,c等表示集的元素.若a是 集A的元素,则用记号a∈A表示(读作a属于A)若a不是集A的元素,则用记号 agA表示(读作a不属于A) 不含任何元素的集称为空集,用符号⑦表示约定分别用R,Q,N和Z表示实数 集,有理数集,自然数集和整数集 集的表示方法 第一种方法:列举法,即列出给定集的全部元素.例如 A=a,b,cl B={1,3,5…,2n-1, 第二种方法:描述法.当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时,用下面 的方式表示集A
5 第一章 集与集类 n R 中的点集 集与集的运算是测度与积分理论的基础. 本章先介绍集论的一些基本内容, 包括集 与集的运算, 可数集和基数, 一些具有某些运算封闭性的集类如环与σ − 代数等. 然后介 绍 n R 中的一些常见的点集. § 1.1 集与集的运算 教学目的 集合论是本课程的基础. 本节将引入集的概念与集的运 算, 使学生掌握集和集的运算的基本概念. 本节要点 De Morgan 公式是以后常用的公式. 证明两个集的相等是 经常要遇到论证, 应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种 新型的极限, 学生应注意理解其概念. 集是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予 一种描述性的说明. 集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合). 例如, 数学分析中的实数集, 有理数集, 函数的定义域和值域, 满足某些给定条件的 数列或函数的全体所成的集等都是常用的集. 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平 面或空间的点所构成的集. 一般用大写字母如 A, B, C 等表示集, 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的元素. 若a 是 集 A 的元素, 则用记号 a ∈ A 表示(读作 a 属于 A). 若 a 不是集 A 的元素, 则用记号 a ∉ A表示(读作 a 不属于 A). 不含任何元素的集称为空集, 用符号∅ 表示. 约定分别用 , 1 R Q , N 和 Z 表示实数 集, 有理数集, 自然数集和整数集. 集的表示方法 第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如 {1, 3, 5, ,2 1, }. { , , }. = L − L = B n A a b c 第二种方法: 描述法. 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构成时, 用下面 的方式表示集 A:
A={x:x具有性质P} 例如,设∫是定义在R上的实值函数,则∫的零点所成的集A可表示成 A={x:f(x)=0} 集的相等与包含设A和B是两个集.如果A和B具有完全相同的元素,则称A与 B相等,记为A=B.如果A的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记为AcB(读作 A包含与B),或B→A(读作B包含A)若AcB并且A≠B,则称A为B的真子集.按 照这个定义,空集②是任何集的子集由定义知道A=B当且仅当AcB并且BcA 集的运算 并运算与交运算设A和B是两个集.由A和B的所有元素所构成的集称为A与B 的并集,简称为并(图1-1),记为A∪B.即 A∪B={x:x∈A或者x∈B} 由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集,简称为交(图1-2),记为 A∩B.即 A∩B={x:x∈A并且x∈B} 若A∩B=②,则称A与B不相交此时称A∪B为A与B的不相交并 A∪B B B A∩B 图1-1 图1-2 设T是一非空集(T可以是有限集或无限集){A,}是一族集.这一族集的并集和 交集分别定义为 UA,={x:存在某个t∈T,使得x∈A4} ∩A={x:对每个t∈T,x∈A 当rN为自然数集时,∪A,和∩A分别记成∪4和门A,分别称为(4)的可数 并和可数交
6 A = {x : x具有性质P}. 例如, 设 f 是定义在 1 R 上的实值函数, 则 f 的零点所成的集 A 可表示成 A = {x : f (x) = 0}. 集的相等与包含 设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元素, 则称 A 与 B 相等, 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A ⊂ B(读作 A 包含与 B), 或 B ⊃ A (读作 B 包含 A). 若 A ⊂ B 并且 A ≠ B, 则称 A 为 B 的真子集. 按 照这个定义, 空集∅是任何集的子集. 由定义知道 A = B当且仅当 A ⊂ B 并且 B ⊂ A. 集的运算 并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素所构成的集称为 A 与 B 的并集, 简称为并(图 1 1), 记为 A ∪ B. 即 A ∪ B = {x : x ∈ A或者x ∈ B}. 由同时属于 A 和 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交(图 1 2), 记为 A ∩ B. 即 A ∩ B = {x : x ∈ A并且x ∈ B}. 若 A ∩ B = ∅, 则称 A 与 B 不相交.此时称 A ∪ B 为 A 与 B 的不相交并 图 1 1 图 1 2 设 T 是一非空集(T 可以是有限集或无限集), At t∈T { } 是一族集. 这一族集的并集和 交集分别定义为 U t T t At A x t T x ∈ = { : 存在某个 ∈ , 使得 ∈ }, I t T t At A x t T x ∈ = { : 对每个 ∈ , ∈ }. 当 T=N 为自然数集时, U n∈N An 和 I n∈N An 分别记成U ∞ n=1 An 和 , 1 I ∞ n= An 分别称为{ } An 的可数 并和可数交. A ∪ B B B A∩B A A
并与交的运算性质 (1)A∪A=A,A∩A=A.(幂等性) (2)A∪⑧=A,A∩⑧= (3)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(交换律) (4)(A∪B)∪C=A∪(B∪C (A∩B)∩C=A∩(B∩C.(结合律) (5)A∩(BuC)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)(A∪C).(分配率 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形 A∩(UB,)=U(A⌒B) AU∩B)=∩(4UB) 差运算与余运算设A和B是两个集.由A中的不属于B的那些元素所构成的集称 为A与B的差集(图1-3),记为A-B或AB.即 A-B={x:x∈A并且xgB 通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间.我们称全空间X 与子集A的差集X-A为A的余集(图1—4),记为AC.设A和B是两个集.称集 (A-B)∪(B-A)为A与B的对称差集,记为A△B B A-B A A X 图1—3 图1-4 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质 (6)A∪AC=X,A∩AC=② XC=必 X (8)A-B=A∩B
7 并与交的运算性质 (1) A ∪ A = A, A ∩ A = A. (幂等性) (2) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅. (3) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. (交换律) (4) (A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C), (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩ C). (结合律) (5) A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),. A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (分配率). 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形: U U( ) t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ ∩ ( ) = ∩ , U I I U t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ ( ) = ( ). 差运算与余运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 中的不属于 B 的那些元素所构成的集称 为 A 与 B 的差集(图 1 3), 记为 A − B 或 A\B. 即 A − B = {x : x ∈ A并且x ∉ B}. 通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集, X 称为全空间. 我们称全空间 X 与子集 A 的差集 X − A为 A 的余集(图 1 4), 记为 C A . 设 A 和 B 是两个集. 称集 (A − B) ∪ (B − A)为 A 与 B 的对称差集, 记为 A∆B. 图 1 3 图 1 4 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质: (8) . (7) , . (6) , . C C C C C A B A B X X A A X A A − = ∩ = ∅ ∅ = ∪ = ∩ = ∅ A B A − B A C A X
关于余运算还成立下面重要的运算法则 定理1( De morgan公式)设(A41)ar是一族集.则 ()(U4,)=∩4(并的余集等于余集的交) t∈T (i)(∩4)=U4(交的余集等于余集的并) 证明()设x∈(UA1),则x∪A.故对任意1∈T,xgA.即对任意 r∈T t∈T,x∈A.因此x∈∩4.这表明(UA)c∩4.上述推理可以反过来,即从 x∈∩4可以推出x∈(U4).这表明∩4c(4).因此()成立类似地可 以证明(i).■ 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法 例1设{fn}是定义在集X上的一列实值函数.令A={x: lim f,(x)=0.} A=∩Unax(x<k (1) 证明由于lmf(x)=0当且仅当对任意k≥1,存在m≥1,使得对任意n≥m成 立(x)<k因此我们有 x∈A<k21,3m≥1,使得n≥m,x∈{x:n(x) ek21m≥1使得x∈∩{x:(x)< Wk2Lx∈Unx( ex∈∩Unx()kh 因此(1)成立■ 在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集 {x:n(x)<}的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的 乘积集设A1,…,A为n个集称集 {(x1…,xn):x1∈A1,i=1,…,n}
8 关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理 1 (De Morgan 公式)设 At t∈T ( ) 是一族集. 则 U I t T C t C t T At A ∈ ∈ (i). ( ) = (并的余集等于余集的交), (ii) I U t T C t C t T At A ∈ ∈ ( ) = (交的余集等于余集的并). 证明 (i). 设 ( ) , C t T At x U ∈ ∈ 则 U . t T At x ∈ ∉ 故对任意 t ∈T, . At x ∉ 即对任意 t ∈T, . c At x ∈ 因此 I . t T c At x ∈ ∈ 这表明 (U ) I . t T c t C t T At A ∈ ∈ ⊂ 上述推理可以反过来, 即从 I t T c At x ∈ ∈ 可以推出 ( ) . C t T At x U ∈ ∈ 这表明 ( ) . C t T t t T c IAt UA ∈ ∈ ⊂ 因此 (i) 成立. 类似地可 以证明(ii). 定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例 1 设{ }n f 是定义在集 X 上的一列实值函数. 令 = { : lim ( ) = 0.}. →∞ A x f x n n }. 1 { : ( ) 1 1 IUI ∞ = ∞ = ∞ = = < km m n n k A x f x (1) 证明 由于 lim ( ) = 0 →∞ f x n n 当且仅当对任意 k ≥ 1, 存在 m ≥ 1, 使得对任意 n ≥ m 成 立 . 1 ( ) k f x n < 因此我们有 }. 1 { : ( ) } 1 1, { : ( ) } 1 1, 1, { : ( ) } 1 1, 1, , { : ( ) 1 1 1 IUI UI I ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ⇔ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∈ < ∈ ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∀ ≥ ∈ < km m n n m m n n n m n n k x x f x k k x x f x k k m x x f x k x A k m n m x x f x 使得 使得 因此(1)成立. 在 例 1 中 , 集 A 的表达式 (1) 看起来较复杂 , 但它是通过比较简单的集 } 1 { : ( ) k x f x n < 的运算得到的, 以后会看到集的这种表示方法是很有用的. 乘积集 设 A An , , 1 L 为 n 个集. 称集 {( , , ) : , 1, , } 1 x x x A i n L n i ∈ i = L
为4,…,A的乘积集简称为乘积,记为A1x…xA或者。4 例如,二维欧氏空间R2可以看作是R与R的乘积,即R2=R×R(见图1-5) 又例如,E=[a,b×[c,d]就是平面上的长方形 RI (x1,x2) O XI 图 集列的极限设{A}是一列集.称集 {x:x属于无穷多个An,n≥1} 为集列{An}的上极限,记为 lim a称集 {x:x至多不属于有限多个An,n≥1} 为集列{A}的下极限,记为limA显然 lim a clim a若imAn= lim a,则称集 n→ 列{An}存在极限,并称A= lim a=limA,为集列{An}的极限,记为imA 定理2设{An}是一列集.则 imA=∩UA,ImA,=U∩A 证明我们有 imAn={x:x属于无穷多个An,n≥1} ={x:对任意n≥1,存在k≥n,使得x∈Ak} ={x:对任意n2xeU4}=∩UA 类似地可证明第二式■ 设{A4n}是一列集.若对每个n≥1,均有 A cA(相应地 A, CA),则称{An} 是单调增加的,记为A↑(相应地,单调减少的,记为A1↓).单调增加和单调减少的集列
9 为 A An , , 1 L 的乘积集(简称为乘积), 记为 A1 ×L× An 或者∏= n i Ai 1 . 例如, 二维欧氏空间 2 R 可以看作是 1 R 与 1 R 的乘积, 即 2 1 1 R = R × R (见图 1 5). 又例如, E = [a,b]×[c, d]就是平面上的长方形. 图 1 5 集列的极限 设{ } An 是一列集. 称集 {x : x 属于无穷多个 A , n ≥ 1} n 为集列{ } An 的上极限, 记为 lim . n n A →∞ 称集 {x : x 至多不属于有限多个 A , n ≥ 1} n 为集列{ } An 的下极限,记为 lim . n n A →∞ 显然 ⊂ →∞ n n lim A lim . n n A →∞ 若 = →∞ n n lim A lim , n n A →∞ 则称集 列{ } An 存在极限, 并称 A = = →∞ n n lim A n n A →∞ lim 为集列{ } An 的极限, 记为lim . n n A →∞ 定理 2 设{ } An 是一列集. 则 IU UI ∞ = ∞ = →∞ ∞ = ∞ = →∞ = = 1 1 lim , lim . n n k n k n n n k n k n A A A A 证明 我们有 { : 1, } . { : 1, , } lim { : , 1} 1 U IU ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = ≥ ∈ = = ≥ ≥ ∈ = ≥ n n k k k n k k n n n x n x A A x n k n x A A x x A n 对任意 对任意 存在 使得 属于无穷多个 类似地可证明第二式. 设{ } An 是一列集. 若对每个 n ≥ 1, 均有 An ⊂ An+1 (相应地 An+1 ⊂ An ), 则称{ } An 是单调增加的, 记为 An↑ (相应地, 单调减少的, 记为 An ↓). 单调增加和单调减少的集列 O 1 x1 R 2 x ( , ) 1 2 x x 1 R 2 R
统称为单调集列 定理3单调集列必存在极限.并且 ()若A个,则mA,=UA (i)若A↓,则limA,=∩4 证明()因为A↑,故对任意n≥1,有∩4=A,∪A=U4.因此由定 理2得到 imA,=Un∩4=∪4 imA=∩UA=∩UA=U4 所以IimA=lmA=∪A这表明imA存在,并且imA,=∪A类似可证明结 论(i) 例2设A=(01-n1Bn=(01+n1则A个,B↓,并且 lim A,=UA, =(0, 1), lim B,=nB,=(0,1] 集的特征函数设A是X的子集.令 4(x)= 0若xgA 则A(x)为定义在X上的函数,称之为A的特征函数 小结本节介绍了集的基本概念,集的运算和运算性质.这些知识是本课程的基础.证 明两个集的相等是经常会遇到的,应掌握其证明方法. De morgan公式很重要,以后会经 常用到.例1中把一个集分解为一些较简单的集的运算,是应该掌握的有用的技巧.集列 的极限是一种与数列极限不同的极限,应正确理解其概念 习题习题一,第1题一第9题
10 统称为单调集列. 定理 3 单调集列必存在极限. 并且 (ii). , lim . (i). , lim . 1 1 I U ∞ = →∞ ∞ = →∞ ↓ = ↑ = n n n n n n n n n n A A A A A A 若 则 若 则 证明 (i). 因为 An↑ , 故对任意 n ≥ 1, 有 , n k n Ak = A ∞ = I . 1 U U ∞ = ∞ = = k k k n Ak A 因此由定 理 2 得到 lim . 1 1 UI U ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = n n n n k n k n A A A lim . 1 1 1 1 IU IU U ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = = k k n k k n n k n k n A A A A 所以 lim lim . 1 U ∞ = →∞ →∞ = = n n n n n n A A A 这表明 n n A →∞ lim 存在, 并且 lim . 1 U ∞ = →∞ = n n n n A A 类似可证明结 论(ii). 例 2 设 ]. 1 ], (0,1 1 (0, 1 n B n An = − n = + 则 ↑ , ↓ , An Bn 并且 lim (0, 1), 1 = = ∞ = →∞ U n n n n A A lim (0, 1]. 1 = = ∞ = →∞ I n n n n B B 集的特征函数 设 A 是 X 的子集. 令 ∉ ∈ = 0 . 1 ( ) x A x A I x A 若 若 则 I (x) A 为定义在 X 上的函数, 称之为 A 的特征函数. 小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础. 证 明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后会经 常用到. 例 1 中把一个集分解为一些较简单的集的运算, 是应该掌握的有用的技巧. 集列 的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念. 习 题 习题一, 第 1 题 第 9 题
