第三章矩阵 教学目标: 使学生了解矩阵的相关概念,熟练的掌握矩阵的 各种运算法则和运算规律 重点: 矩阵的乘法运算和相关性质。 难点: 矩阵的乘法法则和运算律
一、教学目标： 使学生了解矩阵的相关概念，熟练的掌握矩阵的 各种运算法则和运算规律。 二、重点： 矩阵的乘法运算和相关性质。 三、难点： 矩阵的乘法法则和运算律。 第三章 矩阵
30矩阵的概念及应用 3.1矩阵的运算 32可逆矩阵矩阵乘积的行列式 33矩阵的分块
◼ 3.0 矩阵的概念及应用 ◼ 3.1 矩阵的运算 ◼ 3.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 ◼ 3.3 矩阵的分块
3.0矩阵的概念 引言 矩阵这概念最早由1850年,英国数 学家西尔维斯特( 1.. Sylvester,14-1897) 最先使用了“矩阵”一词。1858年, 英国数学家凯莱( A Cayley,1821-1895) 首先将矩阵作为一个独立的数学对 象加以研究,因而被认为是矩阵论 的创立者
3.0 矩阵的概念 引言 矩阵这概念最早由1850年，英国数 学家西尔维斯特 最先使用了“矩阵”一词。1858年， 英国数学家凯莱 首先将矩阵作为一个独立的数学对 象加以研究，因而被认为是矩阵论 的创立者。 ( . . ,1814 1897) J J Sylvester − ( . ,1821 1895) ACayley −
矩阵的应用 随着社会的进步和科学技术的发展,矩阵在现 实生活,国民经济和现代科技中有着特殊重要 的地位和广泛的应用 我们在讨论线性方程组时已经看到矩阵所起的 作用,但是矩阵的应用不仅限于线性方程组, 而是多方面的。因此矩阵已成为线性代数的主 要研究对象之一。 在矩阵的理论中,矩阵的运算起着重要的作用 我们在这一章里,将要讨论有关矩阵运算的 些基本事实
矩阵的应用 ◼ 随着社会的进步和科学技术的发展，矩阵在现 实生活，国民经济和现代科技中有着特殊重要 的地位和广泛的应用。 ◼ 我们在讨论线性方程组时已经看到矩阵所起的 作用，但是矩阵的应用不仅限于线性方程组， 而是多方面的。因此矩阵已成为线性代数的主 要研究对象之一。 ◼ 在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用。 我们在这一章里，将要讨论有关矩阵运算的一 些基本事实
3.1矩阵的运算 令F是一个数域。用F的元素作成的一个m行 n列矩阵叫做一个F上的矩阵。 1 刀1 叫做一个F上的矩阵。A也记作(a)。为了 指明A的行数和列数,有时也把它记作Amn 或(qb)m
= m m m n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3.1 矩阵的运算 令F是一个数域。用F的元素 作成的一个m行 n列矩阵叫做一个F上的矩阵。 叫做一个 F上的矩阵。 A 也记作 。为了 指明A的行数和列数，有时也把它记作A 或 mn aij ( ) aij mn ( )ij a
个m行n列矩阵称为一个m×n矩阵。特别,把一个 n×n矩阵叫做一个n阶方阵,或n阶矩阵。 B om= pg p,n=g,a 以下我们引入三种运算: 数与矩阵的乘法, 矩阵的加减 矩阵的乘法
◼ 一个m行n列矩阵称为一个m×n矩阵。特别，把一个 n×n矩阵叫做一个n阶方阵，或n阶矩阵。 ◼ 以下我们引入三种运算： ◼ 数与矩阵的乘法， ◼ 矩阵的加减 ◼ 矩阵的乘法。 Amn = pq i j i j m = p,n = q,a = b
定义1 数域F的数a与F上一个m×n矩阵A=(a;)的乘积aA指 的是m×n矩阵(a)i求数与矩阵乘积的运算叫做数 与矩阵的乘法 注意,用a去乘以的每一个元素a 定义2两个m×n矩阵A=(a.)的和A+B指的 是m×n矩阵(an+bn),求两个矩阵和的运算 叫做矩阵的加法 注意,我们只能把行数相同,列数相同的两个 矩阵相加(同型可加性)
◼ 定义1 数域F的数a与F上一个m×n矩阵A=（a ）的乘积a A指 的是m×n矩阵（a） 。求数与矩阵乘积的运算叫做数 与矩阵的乘法。 ◼ 注意，用a去乘以的每一个元素a ij ij ij ◼ 定义2 两个m×n矩阵A=（a ）的和 指的 是m×n矩阵（a ，求两个矩阵和的运算 叫做矩阵的加法 ◼ 注意，我们只能把行数相同，列数相同的两个 矩阵相加（同型可加性） ij + ) ij +bij
我们把由F的n个数所组成的数列a12a2,…,n叫 做F上一个n元数列。这样的一个n元数列可以 理解为 行n列矩阵 (a ■也可以理解为一个n行一列矩阵
◼ 我们把由F的n个数所组成的数列α 叫 做F上一个n元数列。这样的一个n元数列可以 理解为一个一行n列矩阵 （ α ）， ◼ 也可以理解为一个n行一列矩阵 n ,a , ,a 1 2 a an , , , 1 2 an a a 2 1
这样,作为以上定义的矩阵运算的特例,就得 到F的数与n元数列的乘法以及两个n元数列的 加法: =(aa. aa +(b1 22b …bn)=(a1+b1,a2+b2…,an+b) 现在回到一般的矩阵,我们把元素全是零的矩 阵叫做零矩阵,记作O,如果矩阵=(ai), 我们就把(-an)叫做的负矩阵,记作A
◼ 这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得 到F的数与n元数列的乘法以及两个n元数列的 加法： a（a ）=（aa （a ） + （b ◼ 现在回到一般的矩阵，我们把元素全是零的矩 阵叫做零矩阵，记作O，如果矩阵=（a ）， 我们就把（-a ）叫做的负矩阵，记作-A。 a an , , , 1 2 , , , ), 1 aa2 aan a an , , , 1 2 , , , ) ( , , , ) 1 2 n 1 1 2 2 n n b b = a + b a + b a + b ij ij
由定义1和2,容易推出以下运算规律: A+B≡B+A (A+B)+C=A+(B+C) 0+A=A A+(-A)=0 a(a+b)=aa+ ab Ca+bA=aA+ bA a(ba)=(aba 这里A,B和C表示任意m×n矩阵,而a和b表示F 中的任意数
由定义1和2，容易推出以下运算规律： 这里 和C表示任意m×n矩阵，而a和b表示F 中的任意数 = + = + + = + + − = + = + + = + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) a b ab a b a b a a a C C
