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数学建模概论 浙江大学数学建模实践基地
§11数学模型与数学建模 数学模型( Mathematical mode) 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客 观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 >数学建模( Mathematical Modeling) 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程
➢ 数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 ➢ 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。 §1.1 数学模型与数学建模
画例(万有+定律的线) 开普勒三大定律 ◆十五世纪中 1行星轨道是一个椭圆,太 说。 ◆丹麦著名的 间 观察纪录下 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 青况。 ◆第谷的学生2行星在单位时间内扫过的年时 间的分析计面积不变。 ◆牛顿根据开3行星运行周期的平方正比微积分 方法推导出于椭圆长半轴的三次方, 歉不随行星而改变 这其中必定是某一力学 规律的反映,哼哼,我 要找出它
例（万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时 间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。 1.行星轨道是一 个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 2.行星在单位时间内 扫过的 面积不变。 3.行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变 （绝对常数） 开普勒三大定律 这其中必 定是某一 力学 规律 的反映，哼哼，我 要找出它
‖简单推导如下: 如图,有椭圆方程:F= 1-e cos 6 矢径所扫过的面积A的微分为:aA=-r2ad6 dA 1 由开普勒第二定律: r2v=常数 立即得出:0=(r21)=2r+r2形 行星 即 2rwtrw=o 太阳 椭圆面积mb=/dA t rwT 由此得出y210-2mb 常数
如图，有椭圆方程 : 1 e cos p r − = dA r d 2 2 1 矢径所扫过的面 积A的微分为: = 由开普勒第二定 律: = r w = dt dA 2 2 1 常数 立即得出: • • = r w = rr w+ r w dt d 2 2 0 ( ) 2 即: 2 + = 0 • • r w r w 椭圆面积 dt r wT dt dA ab T 2 0 2 1 = = 由此得出 = = T ab r w 2 2 常数 简单推导如下： 行星 r 太阳
我们还需算出行星的加速度,为此需要建立两种 不同的坐标架。第一个是固定的,以太阳为坐标原点 沿长轴方向的单位向量记为i,沿短轴方向的单位向量记 为j,于是 r=rcos6 irsina j 进而有加速度 d(rcos 8)i+(rsing) j (r-n2)(cos日i+sinθj+(2r+rw)(-sini+cosb 以行星为坐标原点建立活动架标,其两个正交的单位向 量分别是 e, cos 8 i+sing j 因此得出 由于2rw+r=0 a=(r-rw)e
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是： r = r cos i+r sin j 进而有 加速度 ( )(cos sin ( 2 )( sin cos · (r sin ) dt d (r cos ) dt d 2 2 2 2 2 i j) i j) a r i j = − + + + − + = = + •• • • •• r rw r w r w 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是 e = cos i + sin j e = − sin i + cos j r , θ 因此得出 r a ( r rw )e 2 = − •• 由于 2 + = 0 • • r w r w
再将椭圆方程 r(l-ecos 0) 两边微分两次,得(-m2)P+(y)2=0 2ab b 将前面得到的结果r21= 和焦参数P= T 4兀 23 代入,即得r-n 2 也就是说行星的加速度为 4丌a a 4丌2a 由开普勒第三定律知a3/72为常数。若记φ M 那么就导出者名的F=-G Mn 万有引力定律:
也就是说行星的加速度为 r T r a a e 2 2 2 3 4 1 = − • 由开普勒第三定律知 3 2 a /T 为常数。若记 2 2 3 4 MT a G = 那么就导出著名的 万有引力定律： 再将椭圆方程 p = r(1− ecos ) 两边微分两次，得 ( ) 0 1 ( ) 2 2 3 2 − + = •• r w r r p r rw 将前面得到的结果 和焦参数 代入，即得 2 2 2 3 2 T r a r rw 4 1 − = − • •• T ab r w 2 2 = a b p 2 = r r Mm F G e 2 = −