第二章随机变量及其分布 第2.1节随机变量 例2.1.1(1)随机的掷一颗骰子,o表示所有的样本点, o:出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点 X(o): 3 4 6 2)某人接连不断地对同一目标进行射击直至射中为止,o表示射 击次数,则射击1次射击2次…射击n次 X(o)1 n (3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车旅客在任意时间到达 车站,表示该旅客的候车时间,。候车时间 随机变量的概念: x(o)[0,101 1定义:取值具有随机性的变量称为随机变量, (1)多样性 它是定义在样本空间上的实单值函数 随机变量一般用XY,Z,或ξη,等表示 (2)随机性 离散型 连续型 2分类 非离散型奇异型
第二章 随机变量及其分布 第2.1节 随机变量 例2.1.1 (1)随机的掷一颗骰子，ω表示所有的样本点, ω: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点 X(ω): 1 2 3 4 5 6 (2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射 击次数，则 ω 射击1次 射击2次 ...... 射击n次 ...... X(ω) 1 2 ...... n ...... (3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达 车站,ω表示该旅客的候车时间, ω 候车时间 X(ω) [0, 10] 1.定义:取值具有随机性的变量称为随机变量, 它是定义在样本空间上的实单值函数 . 随机变量一般用X,Y,Z,或ξ,η,ζ等表示 (1)多样性 (2)随机性 非离散型 ⒉分类 离散型 连续型 奇异型 一.随机变量的概念:
第2.2节、离散型随机变量的概率分布 定义:只可能取有限个或至多可列个值的随机变量 概率分布:设随机变量X一切可能值为x1,x2…,x…,则 p=p(x=x1,k=1,2,,n,称为x的概率函数或概率分布 或者X p P 3性质:(1)p1≥0,n=1,2,(2)p1+p2+…+pn+,=1 (3PX∈A=∑P{x=x} X|12|345 例1(1)中X的概率分布 为 P1/61/61/61/61/61/6 设A表示出现奇数点,则P(A=PX∈A} P{X=1}+P{X=3}+P{x=5}=13
第2.2节、离散型随机变量的概率分布 一、定义: 只可能取有限个或至多可列个值的随机变量. 二、概率分布: 设随机变量X一切可能值为x1 ,x2 ,...,xn ,...,则 pk=p(x=xk ),k=1,2,...,n,...,称为X的概率函数或概率分布. 或者 X x1 x2 ... xn ... P p1 p2 ... pn ... 三、3.性质:(1)pn≥0,n=1,2,... (2)p1+p2+...+pn+…=1 (3)P{X∈A}= = x A i i P{x x } 例1(1)中X的概率分布 为 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 设A表示出现奇数点,则P(A)=P{X∈A} =P{X=1}+P{X=3}+P{x=5}=1/3
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求 (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)利用古典概型计算每个取值点的概率 (3)列出随机变量的概率分布表 例222某实验成功的概率为p现进行一次实验求实验结果的概率分 解:设随机变量X表实验结果,X=0表示实验“失败”,X=1表示实验“ 功 (X-1)p,P(X=0)ln听NN的注:1分布用于描述实验只有两 P 种对立结果,“成功”概率为参数 p p p的概率分布 两点分布 P 1-pp
注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)利用古典概型计算每个取值点的概率 (3)列出随机变量的概率分布表.. 例2.2.2.某实验成功的概率为p,现进行一次实验,求实验结果的概率分布. 解:设随机变量X表实验结果, X=0表示实验“失败”,X=1表示实验“成 功” X 0 1 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为: P 1-p p 0-1分布 特别: X x0 x1 P 1-p p 两点分布 注:0-1分布用于描述实验只有两 种对立结果,“成功”概率为参数 p的概率分布
例223假定一个实验成功的概率为p(0<p<1),不断重复 进行实验直到首次成功为止,求实验次数的概率分布 解:设X表示实验次数X取值为1,2,,n, y···9 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,…,P(X=n)=(1-p)nlp灬, 记q=1-p,则X的概率分布为 几何分布 P{X=n}=qp,(n=1,2,,) Possion分布 定义:若随机变量X的概率分布为P=m∥/m-x(m=012,…,n 则称X服从参数为的Poso分布记为X-P()
例2.2.3 假定一个实验成功的概率为p(0<p<1),不断重复 进行实验,直到首次成功为止,求实验次数的概率分布. 解:设X表示实验次数,X取值为1,2,...,n,..., P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, ..., P(X=n)=(1-p)n-1p,..., 记 q=1-p, 则X 的概率分布为: 几何分布 P{X=n}=qn-1p, (n=1,2,...) Possion分布 定义:若随机变量X的概率分布为 e ( m 0,1,2, ,n, ), m! P( X m ) m = = − = 则称X服从参数为λ的Possion分布,记为X~P(λ)
例22.4某射手在相同条件下独立地进行5次射击每次击中目标的 概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布 解X的可能取值为0,1,2,3,4,5,设事件A表示第次射中,(i=1,2,,5 则A相互独立, P(X=0)=P(工)=10.65=04=C5×060×(1-06 P(X=1)=P(AA2A3A443+A42A2A,45+A42A3A,45+AA243A1A 类推得 +44)=5×06×(10.6)=C3×D6×(1-06 P(x=2)=C3×062×(1-06)P(x=3)=C3×063×(1-06 即: P(X=4)=C3×0.6×(/-0.6 =i)=0k×0.6×(1-0.6)51 P(X=5)=C3×063×(1-0.6 i=0,1,2,3,4,5
例2.2.4 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的 概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布. 解:X的可能取值为0,1,2,3,4,5,设事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5), 则Ai相互独立, P(X=0)= ( ) P A1 A2 A3 A4 A5 =(1-0.6)5 =0.45 P(X=1)= A A A A A ) P( A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 + + + + =5×0.6×(1-0.6)4 0 0 5 5 = C 0.6 (1− 0.6 ) 1 1 4 5 类推得 = C 0.6 (1− 0.6 ) : P(X=3) 3 3 2 5 = C 0.6 (1− 0.6 ) P(X=4) 4 4 1 5 = C 0.6 (1− 0.6 ) P(X=5) 5 5 0 5 = C 0.6 (1− 0.6 ) 即: i i 5 i 5 P(X i ) C 0.6 ( 1 0.6) − = = − i=0,1,2,3,4,5 P(X=2) 2 2 3 5 = C 0.6 (1− 0.6 )
一般地若在一次实验中成功的概率为p0<p<1),独立重复进行次 这n次中实验成功的次数X服从的分布为:记为X~B(①,p) P(X=m)=Cmp"(1-p)"nm=0,1,2…,n 注:(1)随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数; (2)该实验模型称为n次独立重复实验模型或n重 Bernoul实验模型 (3)若A和A是n重 Berno实验的两个对立结果,“成功”可以指二 者中任意一个,是“成功”的概率 例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得合格 品件数X,以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布, X对应的实验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=08, 所以,X~B(4,0.8)类似Y~B(4,0.2)
一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的次数X服从的分布为: P( X m ) C p (1 p ) m 0,1,2,...,n m m n m = = n − = − 注:(1)随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数; (2)该实验模型称为n次独立重复实验模型或n重Bernoulli实验模型; (3)若A和Ac是n重Bernoulli实验的两个对立结果,“成功”可以指二 者中任意一个,p是“成功”的概率. 例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件, 取得合格 品件数X,以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布, 记为 X~B(n,p) X对应的实验次数为n=4, “成功”即取得合格品的概率为p=0.8, 所以,X~B(4,0.8) 类似,Y~B(4,0.2)
例2.2.5袋内有5个黑球,3个白球,每次抽取一个,不放回, 直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数, 求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率 解:(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/8×7=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)(8×7×6)=5/56,P(X=3)=156, 所以X的概率分布为 X 0 3 P5/815/565/561/56 (2)Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有 P(Y=3)=P(X=2)=556,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为 234 3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4) P5/815/565/561/56 =6/56
(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4) =6/56 例2.2.5 袋内有 5个黑球，3个白球，每次抽取一个，不 放 回， 直 到 取得黑球为至。记X为取到白球的数目，Y为抽取次数， 求X、Y 的概率分布及至少抽取3次的 概率。 解:(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有 P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为 Y 1 2 3 4 P 5/8 15/56 5/56 1/56
课堂练习 1.PX=i}=2a,i=l,2,……,求常数a 2下面给出的数列能否成为某一随机变量的分 布列:0.1,0.2,0.3,0.4 3设随机变量X的概率分布为 X 0 2 3 P1/83/8 3/8 求:(1)a的值;(2)P(X≤1);(3)P(≤X<3) 4某射手在相同条件下独立地进行5次射击每次击中目标 的概率是06,求击中目标次数X的概率分布
P{ X i} 2a ,i 1,2, , = = i = 求常数a. 2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分 布列:0.1,0.2,0.3,0.4. 课堂练习: 1. 3.设随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 a 求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4.某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标 的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布
第23节随机变量的分布函数 分布函数 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x},-0<x<+∞ 为随机变量X的分布函数 2.分布函数的性质: 1)F(x)是x的单调不减函数; (2)0≤F(x)≤1,-∞<X<+∞ F(oo)= lim F(x=0, F(+oo) =lim F(x=1; x→+0 (3)F(x)是右连续的,即 F(x+0)=F(x) 注Pa<X<b}=P{X≤b}P{X≤a}=F(b)-F(a PXa=l-PIXsa=1-F(a:
第2.3节 随机变量的分布函数 1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞ 为随机变量X的分布函数. (1) F(x)是x的单调不减函数; (2) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞ (− ) = lim ( ) = 0, (+ ) = lim ( ) = 1; →− →+ F F x F F x x x (3)F(x)是右连续的,即: F(x+0)=F(x) 注:P{aa}=1-P{X≤a}=1-F(a); 2. 分布函数的性质: 一、分布函数
例23.1设随机变量X服从参数为03的0-1分布,即: X01 求X的分布函数 P|0.30.7 解(1)当x<0时F(x)=PX}=∑PX=x}=0 ≤ (2)当0≤x时,F(x)=PNs=∑PX=x}=P{x=01=0.3 ≤x (3)当1≤x时F(PX≤x}=∑P{X=x} =P{X=0}+P{X=1} 分布函数图形如下 F(x) 0.3
例2.3.1.设随机变量X服从参数为0.3的0-1分布,即: X 0 1 P 0.3 0.7 ,求X的分布函数. 解:(1) 当x<0时,F(x)=P{X≤x}= = x x i i P{X x } =0 (2)当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= = x x i i P{X x } =P{x=0}=0.3 (3)当1≤x时,F(x)=P{X≤x}= = x x i i P{X x } =P{X=0}+P{X=1}=1 分布函数图形如下 x F(x) 1 1 0.3 0