《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.1）多元函数的基本概念

§8.1多元函数的基本概念 、平面点集n维空间 二、多元函数概念 多元函数的极限 四、多元函数的连续性 自

§8.1 多元函数的基本概念 一、平面点集 n维空间 二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、平面点集n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集 记作 E={(x,y)(x,y)具有性质P} 小: 集合R2=R×R={(x,y),y∈R}表示坐标平面 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 一、平面点集 n维空间 下页 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集 记作 E={(x y)| (x y)具有性质P} 集合R2=RR={(x y)|x yR}表示坐标平面

、平面点集n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集 记作 E={(x,y)(x,y)具有性质P} 例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 是 C-Ox, y)lx2+y2<r2), EiC-Pl lOPkr) 其中P表示坐标为(x,y)的点,OP表示点P到原点O的距离 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、平面点集 n维空间 下页 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集 记作 E={(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C={(x y)| x 2+y 2<r 2} 或C={P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离

今邻域 设P(x0,y0)是xO平面上的一个点,C是某一正数.点P0的δ 邻域记为UPo,O,它是如下点集: U(P,O)=PllPPK8 或U(P)={xy)√x-x0)2+(y-1)2<6} 点Po的去心δ邻域,记作U(B,O),即 U(2)={P|04B0PK P U(Po, d 注:如果不需要强调邻域的半径则用P)表示点P的某个 邻域,点P的某个去心邻域记作U 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注： 设P0 (x0  y0 )是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0  ) 它是如下点集 ❖邻域 ( , ) { || | } U P0  = P PP0   或 ( , ) {( , )| ( ) ( ) } 2 0 2 U P0  = x y x−x0 + y− y   点 P0 的去心  邻域 记作 ( , ) U P0    即 ( , ) { | 0 | | } U P0  = P  P0 P    如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0 )表示点P0的某个 邻域 点P0的某个去心邻域记作 ( ) U P0  下页

今点与点集之间的关系 任意一点P∈R2与任意一个点集ECcR2之间必有以下三种 关系中的一种 点边界点 内点:如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)<E,则称P为E的内点; 外点:如果存在点P的某个邻域U(P 使得UP)⌒E=,则称P为E的外点; 边界点:如果点P的任一邻域内既有属 E内恩 于E的点,也有不属于E的点,则称P点为 E的边点 E的边界点的全体,称为E的边界,记作OE 提问:E的内点、外点、边界点是否都必属于E? 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种 关系中的一种 ❖点与点集之间的关系 •内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 •外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E= 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点    边界点 内点 外点 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？ E的边界点的全体 称为E的边界 记作E

聚点 如果对于任意给定的80,点P的去心邻域U(P,)内总 有E中的点,则称P是E的聚点 点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E 例如,设平面点集 E={(x,y)1<x2+y2≤2} 满足1<x2+y2<2的一切点(x,y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x,y)都是E的边界点,它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x,y)也是E的边界点,它们都属于E; 点集E以及它的界边OE上的一切点都是E的聚点 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域U(P, )  内总 有E中的点 则称P是E的聚点 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集 E={(x y)|1x 2+y 22} 满足1x 2+y 22的一切点(x y)都是E的内点 满足x 2+y 2=1的一切点(x y)都是E的边界点它们都不属于E 满足x 2+y 2=2的一切点(x y)也是E的边界点它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点 下页

今开集 如果点集E的点都是内点,则称E为开集 闭集 如果点集的余集E为开集,则称E为闭集 今区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域.> 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 举例: 点集E={(x,y)1<x2+y2<2}是开集也是开区域 点集E={(x,y)1≤x2+y2≤2}是闭集也是闭区域 点集E={(x,y)1<x2+y2<2}既非开集,也非闭集 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖开集 如果点集E的点都是内点则称E为开集 下页 ❖闭集 如果点集的余集Ec为开集 则称E为闭集 举例 点集E={(x y)|1>>连通性

今有界集 对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得 EccO, r) 其中O是坐标原点,则称E为有界点集 今无界集 个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集 举例 点集{(x,y)1x2+y2≤4}是有界闭区域; E 点集{(x,y)x+y>1}是无界开区域; 点集{(x,y)x+y21}是无界闭区域 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r使得 EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集 ❖无界集 一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集 点集{(x y)| x+y1}是无界闭区域 点集{(x y)| x+y1}是无界开区域 举例 点集{(x y)|1x 2+y 24}是有界闭区域 下页

2.n维空间 我们把n元有序实数组(x1,x2,……·,x)的全体所构成的集 记为Rn,即 R=R×Rx……×R={(x1,2x2,……·,xn)x1∈R,=1,2,……,n} x=(x1,x2,…,x)称为R中的一个点或一个n维向量; x称为点x的第个坐标或n维向量x的第个分量 0=(0,0,……,0)称为R中的原点或n维零向量 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们把n元有序实数组(x1  x2      xn )的全体所构成的集 合记为Rn  即 Rn=RR  R={(x1  x2      xn )| xiR i=1 2    n} 2.n维空间 x=(x1  x2      xn )称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 0=(0 0     0)称为Rn中的原点或n维零向量 下页

2.n维空间 我们把n元有序实数组(x1,x2,……·,x)的全体所构成的集 记为Rn,即 R=R×R×…×R={(x1,x2,…,xn)x1∈R,i=1,2,…,n} 线性运算 设x=(x1,x2,……,xn),y=(1,y2,……,yn)为R中任意两个元 素,λ∈R,规定 x(4x1,=∴,xr/×yn) x+y=(x1+y1,x2+y2,……,x 这样定义了线性运算的集合R称为n维空间 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们把n元有序实数组(x1  x2      xn )的全体所构成的集 合记为Rn  即 Rn=RR  R={(x1  x2      xn )| xiR i=1 2    n} •线性运算 设x=(x1  x2      xn ) y=(y1  y2      yn )为Rn中任意两个元 素 R 规定 x+y=(x1+y1  x2+y2      xn+yn ) x=(x1  x2      xn ) 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间 2.n维空间 下页