§7.5平面及其方程 、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 自
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 §7.5 平面及其方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、平面的点法式方程 今法线向量 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的 法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 今唯一确定平面的条件 2 个法线向量n=(4,B,O为已知时,平面Y% 当平面/上一点M(x02y0,=0)和它的 的位置就完全确定了 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的 法线向量. ❖法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 当平面上一点M0 (x0 , y0 , z0 )和它的 一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面 的位置就完全确定了. ❖唯一确定平面的条件 下页
、平面的点法式方程 平面的点法式方程 已知Mx0,y2=0)为平面/上一点,n=(A,B,C为平面/的 个法线向量 设Mx,y,z)是平面I上的任一点,则有 nMoM=O 因为 n=(A,B,C), 丌 M M0M=(x-x0,y-y,2-20) 所以 A(x-x)+B(-y0)+C(z-0)=0 这就是平面/的方程,称为点法式方程 y 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 已知M0 (x0 , y0 , z0 )为平面上一点, n=(A, B, C)为平面的 一个法线向量. 设M(x, y, z)是平面上的任一点,则有 因为 n=(A, B, C), ❖平面的点法式方程 所以 A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )=0. 这就是平面的方程,称为点法式方程. 下页 → nM0 M =0 . → ( , , ) 0 0 0 0 M M = x-x y- y z-z , 一、平面的点法式方程
今平面的点法式方程 过点Mx2y0,=0)且法线向量为n=(A,B,C的平面的方程 为A(x-x0)+B(=y10)+C(-=0)=0 例1求过点(2,-3,0)且以n(1,-2,3)为法线向量的平面的 方程 解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+32=0, x-2y+3z8=0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 过点M0 (x0 , y0 , z0 )且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )=0. (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的 方程. 解 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 下页 ❖平面的点法式方程
今平面的点法式方程 过点Mx2y0,=0)且法线向量为n=(A,B,C的平面的方程 为A(x-x0)+B(=y0)+C(-=0)=0. 例2求过三点M(2,-1,4)、M2(-1,3,2)和MO,2,3)的平 面的方程 解我们可以用MM2×M,M2作为平面的法线向量n 因为M1M2=(-3,4,-6),M1M3=(-2,3-1), 所以 n=M1M2×M1M3=34-6=14+9-k 23 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z4)=0,即14x+9y2-15=0 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 → → i j k i j k n = + - - - = = - - 14 9 2 3 1 M1 M2 M1 M3 3 4 6 . 例2 求过三点M1 (2,-1, 4)、M2 (-1, 3,-2)和M3 (0, 2, 3)的平 面的方程. 解 所以 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 首页 过点M0 (x0 , y0 , z0 )且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )=0. ❖平面的点法式方程 解 我们可以用 → → M1 M2 M1 M3 作为平面的法线向量 n. 因为 → ( 3, 4, 6) M1 M2 = - - , → ( 2, 3, 1) M1 M3 = - - , 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0. 因为 → ( 3, 4, 6) M1 M2 = - - , → ( 2, 3, 1) M1 M3 = - - , → → i j k i j k n = + - - - = = - - 14 9 2 3 1 M1 M2 M1 M3 3 4 6 . → → i j k i j k n = + - - - = = - - 14 9 2 3 1 M1 M2 M1 M3 3 4 6
二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图 形总是一个平面 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为 (A, B, C) 例如,方程3x4y+2-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平 面的一个法线向量 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示. 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图 形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为 n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平 面的一个法线向量. 下页
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A,B,C 讨论: 1.填写下表 平面方程法线向量法线向量垂直于平面平行于 By+Cz+D=0n(0,B,C)x轴 Ax+Cz+D=0 n=(A,0, c) y4 Ax+B+D=0n=(4,B,0)轴 轴轴轴 Cz+D=0 n=(0,0,C x轴和y轴 xOy平面 Ax+D=0 n=(4,0,0)y轴和轴 yO平面 B3+D=0 n=(O,B,0)x轴和z轴 zOx平面 2平面Ax+By+Cz=0有什么特点? 提示:D=0,平面过原点 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 n=(0, B, C) n=(A, 0, C) n=(A, B, 0) n=(0, 0, C) n=(A, 0, 0) n=(0, B, 0) x轴 y轴 z轴 x轴和y轴 y轴和z轴 x轴和z轴 讨论： 1.填写下表: 提示： D=0, 平面过原点. 2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？ 下页
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A,B,C 例3求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程 解可设此平面的方程为 By+Cz=0 又因为此平面通过点(4,-3,-1),所以有 3B-C=0 将C=3B其代入所设方程,得 By-3 B2=0 于是所求的平面方程为 3z=0. 提示:平面通过x轴,表明A=0(它的法线向量垂直于x轴)且 D=0(它通过原点 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示：平面通过x轴, 表明A=0(它的法线向量垂直于x轴)且 D=0(它通过原点). 可设此平面的方程为 By+Cz=0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0. 将C=-3B其代入所设方程, 得 By-3Bz=0. 于是所求的平面方程为 y-3z=0. 下页 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解
例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(O,0,c),求此平面的方程(a≠0,b≠0,c≠0) 解设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 因为点P、Q、R都在这平面上,所以 A2 它们的坐标都满足所设方程,即有 aA+D=0. bB+D=0. cC+D=0 由此得A B D b 将其代入所设方程,得 DD b J--z+D=0 a b 上述方程叫做平面的截距式方程,而a、b、c依次叫做平 面在x、y、z轴上的截距 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、 Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a0, b0, c0). 将其代入所设方程, 得 下页 解 由此得 a D A=- , b D B=- , c D C=- . 因为点P、Q、R都在这平面上, 所以 它们的坐标都满足所设方程,即有 aA+D=0, bB+D=0, cC+D=0, 设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0. - - - z+D=0 c D y b D x a D , 即 + + =1 c z b y a x - - - z+D=0 . c D y b D x a D , 即 + + =1 c z b y a x . 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平 面在x、y、z轴上的截距
、两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角(通常指锐 角)称为两平面的夹角 设平面/1和/的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1) n2=(A2,B2,C2) 那么平面/和/的夹角6应满足 cose=cos(n, n2) 1A A2+B,B2+CC 42+B2+C2·√4+B2+ 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1 , B1 , C1 ), n2=(A2 , B2 , C2 ), 那么平面1和2的夹角应满足 下页 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ^ 1 | | cos |cos( , )| A B C A B C A A B B C C + + + + + + = n n = . 两平面的法线向量的夹角(通常指锐 角)称为两平面的夹角