《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.5）极限运算法则

§1.5极限运算法则 今无穷小的性质 今极限的四则运算法则 自贝

❖无穷小的性质 ❖极限的四则运算法则 §1.5 极限运算法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃

今无穷小的性质 °定理1有限个无穷小的和也是无穷小 证明仅就两个x→>x时的无穷小情形证明 设a及B是当x>x0时的两个无穷小,则vE>0, 彐61>0,当00,当0x0时的无穷小 举例:当x>0时,x与sinx都是无穷小,所以x+sinx也是当 k>0时的无穷小 首页页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 设及是当x→x0时的两个无穷小 则 0 10 当0|x−x0 |1 时 有||  20 当0|x−x0 |2 时 有||  取 =min{1  2 } 则当0|x−x0 |时 有 这说明+ 也是当x→x0时的无穷小 |+|||+||2  •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明 举例: 当x→0时 x与sin x都是无穷小 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小 下页

今无穷小的性质 °定理1有限个无穷小的和也是无穷小 °定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数在x0的某一去心邻域{x(00,使当0x0时的无穷小,即VE0,存在a>0,使当 0x时的无穷小 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|x−x0 | 1 }内 有界 即M0 使当0|x−x0 |1时 有|u|M 又设是当x→x0时的无穷小 即0 存在20 使当 0|x−x0 |2时 有||  取=min{1  2 } 则当0|x−x0 | 时 有 |u|=|u|||M  这说明u 也是当x→x0时的无穷小 证明 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 下页

今无穷小的性质 °定理1有限个无穷小的和也是无穷小 °定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 举例:当x→时,是无穷小, arctan x是有界函数 所以1 arctan x也是无穷小 首页上页返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例 : 当 x→时 x 1 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 x 1 arctan x 也是无穷小 •推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 •推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 首页

今极限的四则运算法则 ●定理3 如果limf(x)=A,img(x)=B,那么 (1)liml(x)+g(x)=limf(x)tling(x)=A+B>>> (2)lim f(x) g(x)=im f(x).lim g(x)=A.B (3)im f(x) lim f(x n(B≠0 g(x) lim g(x) B 推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则 lim[c f(x)=c limf(x) 推论2如果 limf(x)存在,而n是正整数,则 limff(x)=limf(x)Im 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB •推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]=climf(x) •推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n  •定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 下页 ❖极限的四则运算法则 (3) B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim (B0) (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB >>>

今数列极限的四则运算法则 定理4设有数列{xn}和{yn}.如果 lim x=A, lim y=B n→00 n→)00 那么 (1)lim(xn+yn)=A±B n→00 (2)lim(n.n)=A. B n→00 (3)当y≠0(=1,2,…)且B≠0时,m B 今不等式 °定理5如果o(x)≥v(x),而limg(x)=a,im(x)=b,那么a≥b 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数列极限的四则运算法则 •定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab ❖不等式 (1) xn yn A B n  =  → lim ( )  (2) xn yn A B n  =  → lim ( )  (3)当 0 n y (n=1 2   )且 B0 时 B A y x n n n = → lim  •定理4 设有数列{xn }和{yn } 如果 xn A n = → lim  yn B n = → lim  那么 下页

今求极限举例 例1求lim(2x-1) x→ Hif lim(2x-1)=lim 2x-lim 1-2 lim x-1-21-1=1 讨论若 P(x)=aorn+a1rn-l+..xxd Dl D/x-9 x→)x 提示mP(x)=P(x) x→x 例2求lim-x x2x2-5x+3 lim(x3-1) 解 2 23-1 x→)2x2-5x+3li(x2-5x+3)22-10+33 x→ 上页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖求极限举例 •讨论 •提示 例 1 求 lim (2 1) 1 − → x x 例1  解 下页 若 n n P(x)=a0 x n +a1 x n−1 +  +a −1 x+a  则 lim ( ) ? 0 = → P x x x lim ( ) ( )0 0 P x P x x x = → >>>  解 lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − =  例 2 求 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 例2  解 解  lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − =  提问 lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x 

例3求lim x-3 解 x-3 x-3 x->3x 9x3(x-3(x+3)x3x+3 lim 1 =-x-)3 in(x+3)6 x-)3 2x-3 例4求im2-5x+4 解因为imnx2-5 +41 x-12x 3 2-51+4-0 21-3 根据无穷大与无穷小的关系得 lin 2x-3 x-)1x2 5x+4 首页 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 3 3 求 9 3 lim 2 3 − − → x x x  解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x  解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x  解 例 例 4 4 求 5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x  解 0 2 1 3 1 5 1 4 2 3 5 4 lim 2 2 1 =  − −  + = − − + → x x x x  5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x = 根据无穷大与无穷小的关系得 解 0 2 1 3 1 5 1 4 2 3 5 4 lim 2 2 1 =  − −  + = − − + → x x x x  下页 因为 提问

讨论 有理函数的极限lnP(x)_? x→>xQ(x) 提示 当Q(x0)≠0时 P(x) P(xo) >x9(x)Q(x) 当Q(x0)=0且P(x0)≠0时,im P(x) =0 x-X O() 当Qx)=P(x)=0时,约去分子分母的公因式(x-x) 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 有理函数的极限 ? ( ) ( ) lim 0 = → Q x P x x x •讨论 •提示 当Q(x0 )=P(x0 )=0时 约去分子分母的公因式(x−x0 )  当 ( ) 0 Q x0  时 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 Q x P x Q x P x x x = →  当Q(x0 ) = 0 且 P(x0 )  0 时 = → ( ) ( ) lim 0 Q x P x x x  下页

例5求、3+4x2+2 x→007x3+5x2-3 解先用x3去除分子及分母,然后取极限 3+4+2 li 3x3+4x2+2 Im XX x->07x3+5x2-3x>0,5 7 37 例6求Mm-3x2-2x-1 x→>∞2x3-x2+5 解:先用x3去除分子及分母,然后取极限: 321 lim 3x2-2x Im XX x→)02x3-x2+5 X→00 2 2×个 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 先用x 3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x 3去除分子及分母 然后取极限 例 例 5 5 求 7 5 3 3 4 2 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x  解: 7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x  7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x  7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x  例 例 6 6 求 2 5 3 2 1 lim 3 2 2 − + − − → x x x x x  0 2 0 1 5 2 3 2 1 lim 2 5 3 2 1 lim 3 2 3 3 2 2 = = − + − − = − + − − → → x x x x x x x x x x x 0  2 0 1 5 2 3 2 1 lim 2 5 3 2 1 lim 3 2 3 3 2 2 = = − + − − = − + − − → → x x x x x x x x x x x 0  2 0 1 5 2 3 2 1 lim 2 5 3 2 1 lim 3 2 3 3 2 2 = = − + − − = − + − − → → x x x x x x x x x x x  下页